فيديو السؤال: إيجاد نهايات الدوال الكسرية عند نقطة الرياضيات

أوجد نها_(ﺱ → −١) ((ﺱ − ١)(ﺱ^٢ + ٢ﺱ + ١))‏/‏(ﺱ^٢ − ٦ﺱ − ٧).

٠٥:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد لـ ﺱ ناقص ستة في ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد واحد الكل مقسوم على ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ ناقص سبعة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة النهاية للدالة عندما يقترب ﺱ من سالب واحد. ويمكننا هنا ملاحظة أن بسط هذه الدالة هو كثيرة حدود تكعيبية، والمقام هو كثيرة حدود تربيعية. هذا يعني أن هذه دالة كسرية؛ فهي خارج قسمة كثيرتي حدود. وبما أننا نوجد قيمة النهاية لدالة كسرية، يمكننا إجراء ذلك بالتعويض المباشر. علينا التعويض عن قيمة ﺱ بسالب واحد في الدالة الكسرية. وبذلك، نحصل على سالب واحد ناقص ستة في سالب واحد تربيع زائد اثنين في سالب واحد زائد واحد الكل مقسوم على سالب واحد تربيع ناقص ستة في سالب واحد ناقص سبعة.

إذا أردنا إيجاد قيمتي كل من البسط والمقام بهذا المقدار، فسنحصل على صفر مقسوم على صفر. وهذه صيغة غير معينة. هذا يعني أنه لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر وحده. سنحتاج إلى استخدام صورة أخرى من العمليات الحسابية. وبما أننا نتعامل مع كثيرات حدود، يمكننا تجربة تحليل البسط والمقام. لذا، علينا تحليل المقدارين التربيعيين في كل من البسط والمقام تحليلًا كاملًا.

هناك طرق مختلفة لإجراء ذلك. يمكننا استخدام القانون العام، أو استخدام طريقة حل المعادلات التربيعية على الآلة الحاسبة. لكن هناك طريقة أخرى مفيدة سنتناولها. تذكر أنه عندما عوضنا عن ﺱ بسالب واحد في كل من المقدارين التربيعيين، حصلنا على صفر. وتخبرنا نظرية العوامل أنه إذا كان سالب واحد جذرًا لكثيرة حدود، فإن ﺱ زائد واحد لا بد أن يكون عاملًا لكثيرة الحدود هذه. لذلك، لا بد أن يكون ﺱ زائد واحد عاملًا لكلا المقدارين التربيعيين. يمكننا استخدام هذا لتحليل المقدارين التربيعيين لدينا.

سنبدأ بالمقام. إذا كان ﺱ زائد واحد عاملًا لهذا المقدار التربيعي، فالحد الأول سيكون ﺱ لأن ﺱ في ﺱ يساوي ﺱ تربيع. ولا بد أن نضرب الثابتين معًا لنحصل على سالب سبعة. لذا، لا بد أن يكون العامل الآخر ﺱ ناقص سبعة. ويمكننا فعل الأمر نفسه مع المقدار التربيعي في البسط. وبما أن حاصل ضرب الثابتين يساوي واحدًا، فإن الثابت في العامل الثاني سيكون واحدًا. وضرب حدي ﺱ يعطينا ﺱ تربيع. هذا يعني أن العامل سيكون ﺱ زائد واحد. يمكننا استخدام هذا لإعادة كتابة النهاية.

بتحليل البسط والمقام تحليلًا كاملًا، تمكنا من إعادة كتابة النهاية المعطاة لنا في السؤال لتصبح النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد لـ ﺱ ناقص ستة في ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ زائد واحد الكل مقسوم على ﺱ ناقص سبعة مضروبًا في ﺱ زائد واحد. حسنًا، ما زلنا لا نستطيع إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. وإذا حاولنا ذلك، فسنحصل على صفر في كل من البسط والمقام. وعليه، سنحصل مرة أخرى على الصيغة غير المعينة صفر على صفر.

لكن تذكر أنه عندما نريد إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد لدالة ما، فإننا نريد معرفة ما يحدث عندما يقترب ﺱ أكثر فأكثر من سالب واحد. ومن ثم، نحن لسنًا في حاجة إلى أن نساوي ﺱ بسالب واحد. لكن إذا كان ﺱ لا يساوي سالب واحد، فإن ﺱ زائد واحد لا يساوي صفرًا. لذا يمكننا حذف العامل المشترك ﺱ زائد واحد من كل من البسط والمقام. ولن يغير هذا من قيمة النهاية. ومن ثم، نجد أن هذا يساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد لـ ﺱ ناقص ستة في ﺱ زائد واحد الكل مقسوم على ﺱ ناقص سبعة. مرة أخرى، هذه نهاية دالة كسرية، لذا يمكننا محاولة إيجادها باستخدام التعويض المباشر. سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في الدالة الكسرية.

عندما نفعل ذلك، نحصل على سالب واحد ناقص ستة في سالب واحد زائد واحد الكل مقسوم على سالب واحد ناقص سبعة. وإذا حسبنا قيمة ذلك، فسنجد أن البسط به عامل يساوي صفرًا، ما يعني أن البسط يساوي صفرًا، والمقام يساوي سالب ثمانية. وبذلك، نجد أن هذا يساوي صفرًا مقسومًا على سالب ثمانية، وهو ما يساوي صفرًا بالطبع. إذن، بتحليل الدالة الكسرية تحليلًا كاملًا وتبسيطها وبالتعويض المباشر، تمكنا من إيجاد أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد لـ ﺱ ناقص ستة في ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد واحد الكل مقسوم على ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ ناقص سبعة، تساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.