نسخة الفيديو النصية
حل المعادلة اثنين ﺱ تربيع زائد ثمانية يساوي صفرًا في مجموعة الأعداد المركبة.
في هذا السؤال، المطلوب هو حل المعادلة. لذا سنحل المعادلة بالطريقة نفسها التي نحل بها أي معادلة. وسنتناول الجزء الثاني من السؤال لاحقًا. لنبدأ إذن بحل المعادلة.
أول ما سنفعله هو طرح ثمانية من طرفي المعادلة. وهذا يعطينا اثنين ﺱ تربيع يساوي سالب ثمانية. لننتقل الآن إلى الخطوة التالية. إذا قسمنا طرفي المعادلة على اثنين، فسنحصل على ﺱ تربيع يساوي سالب أربعة. عظيم! بالنسبة إلى الخطوة التالية، ما سنفعله هو أننا سنحسب الجذر التربيعي لكلا الطرفين. وهذا يعطينا ﺱ يساوي موجب أو سالب جذر سالب أربعة. في هذه المرحلة، عادة ما نكون قد انتهينا من الحل. ولكن لا يمكننا حل المعادلة أكثر من ذلك.
لكن نلاحظ أن الجزء الثاني من السؤال يطلب حل المعادلة في مجموعة الأعداد المركبة. هذا يعني أنه يمكننا الآن استخدام عدد تخيلي لمساعدتنا على حل هذه المعادلة. لكن قبل استخدام العدد التخيلي، يمكننا تطبيق قاعدة الجذر الأصم لتساعدنا أكثر على الحل. وتنص قاعدة الجذر الأصم التي سنطبقها على أن جذر ﺃﺏ يساوي جذر ﺃ مضروبًا في جذر ﺏ. إذن ما سنحصل عليه عند تطبيق قاعدة الجذر الأصم هو ﺱ يساوي موجب أو سالب جذر أربعة مضروبًا في جذر سالب واحد.
والسبب وراء اختيارنا جذر أربعة وجذر سالب واحد هو أنه عندما نحاول تقسيم الجذر الأصم إلى جزأين، فإننا نختار دائمًا أن يكون أحد الجزأين هو أكبر عدد مربع من عوامل ما تحت الجذر. ولذا في هذه الحالة، سيكون جذر أربعة هو أكبر عامل مربع. رائع! ها قد توصلنا إلى حل. وهو أن ﺱ يساوي موجب أو سالب اثنين جذر سالب واحد.
الآن يمكننا استخدام العدد التخيلي. ويمكننا فعل ذلك لأن ﺕ، وهو العدد التخيلي، يساوي جذر سالب واحد. وبما أننا نعرف أن ﺕ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد، يمكننا التعويض به، وهو ما سيعطينا ﺱ يساوي موجب أو سالب اثنين ﺕ.
ومن ثم يمكننا القول إن حل المعادلة اثنين ﺱ تربيع زائد ثمانية يساوي صفرًا في مجموعة الأعداد المركبة يعطينا ﺱ يساوي اثنين ﺕ وسالب اثنين ﺕ؛ حيث ﺕ عدد تخيلي يساوي جذر سالب واحد.
