فيديو السؤال: تحديد إذا ما كانت الدالة أحادية أم لا الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

هل الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد دالة أحادية؛ حيث ‪𝑥‬‏ عنصر من عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية فرق المجموعة التي تحتوي على واحد؟

في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد إذا ما كانت الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ دالة أحادية أم لا. في البداية، نتذكر أنه لكي تكون ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ دالة، لا بد أن يناظر كل عنصر من عناصر المجال عنصرًا واحدًا فقط من عناصر المدى. إذا كانت الدالة أحادية، فإن كل عنصر من عناصر المدى يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر المجال.

بعبارة أخرى: بالنسبة إلى عنصري المجال ‪𝑥‬‏ واحد و‪𝑥‬‏ اثنين، إذا كانت ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ واحد تساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ اثنين، فإن ‪𝑥‬‏ واحدًا يجب أن يساوي ‪𝑥‬‏ اثنين. إذا كان ‪𝑥‬‏ واحد لا يساوي ‪𝑥‬‏ اثنين، فلا يمكن أن تكون الدالة أحادية؛ لأن عنصرين مختلفين من المجال سيناظران العنصر نفسه من المدى. هذا يعني أن دالة مثل ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ تربيع ليست دالة أحادية في مجموعة الأعداد الحقيقية؛ لأن العدد أربعة، وهو أحد عناصر المدى، يناظر عنصرين من المجال، وهما سالب اثنين وموجب اثنين.

إذن بالنسبة إلى الدالة المعطاة، أي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ ناقص واحد، عندما تكون ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ واحد مساوية لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ اثنين، علينا أن نحدد إذا ما كان ‪𝑥‬‏ واحد يساوي ‪𝑥‬‏ اثنين أم لا. إذن، دعونا نكتب المعادلة الابتدائية: ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑥‬‏ واحد تساوي ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑥‬‏ اثنين، باستخدام تعريف الدالة المعطاة. هذا يعطينا: واحد على ‪𝑥‬‏ واحد ناقص واحد يساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ اثنين ناقص واحد. تذكر أننا اخترنا ‪𝑥‬‏ واحدًا و‪𝑥‬‏ اثنين ليكونا عنصرين في مجال ‪𝑓‬‏، وهو ما يعني أنهما عددان حقيقيان ولا يساوي أي منهما واحدًا.

إذا استطعنا إيجاد قيمتين مختلفتين لـ ‪𝑥‬‏ واحد و‪𝑥‬‏ اثنين، تجعلان طرفي المعادلة متساويين، فلا بد أن نستنتج أن ‪𝑓‬‏ ليست دالة أحادية. لكن إذا تمكنا من إثبات أنهما متساويتان، يمكننا القول: إن ‪𝑓‬‏ دالة أحادية. نلاحظ أن البسطين متساويان. إذن، لتبسيط هذه المعادلة، يمكننا مساواة المقامين أيضًا. إذن، نحصل على ‪𝑥‬‏ واحد ناقص واحد يساوي ‪𝑥‬‏ اثنين ناقص واحد.

بعد ذلك، يمكننا تبسيط المعادلة أكثر بإضافة واحد إلى كلا الطرفين. وهذا يعطينا: ‪𝑥‬‏ واحد يساوي ‪𝑥‬‏ اثنين. ومن ثم، أوضحنا أنه بالنسبة إلى أي قيمتين في المجال، إذا كانت ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑥‬‏ واحد تساوي ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑥‬‏ اثنين، فلا بد أن يكون ‪𝑥‬‏ واحد و‪𝑥‬‏ اثنان متساويين، وهو ما يعني أن كل عنصر من عناصر المدى يناظره عنصر واحد من عناصر المجال.

إذن، نستنتج أن الإجابة هي نعم. ‏‪𝑓‬‏ دالة أحادية؛ حيث ‪𝑥‬‏ عنصر من عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء العدد واحد.