فيديو السؤال: استخدام المتجهات لإيجاد المركبات المجهولة لرءوس شبه المنحرف الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟﺩ شبه منحرف رءوسه ﺃ ١٠، ١١ ؛ وﺏﻙ، ثمانية؛ وﺟ أربعة، سالب ١٢ ؛ وﺩ سالب اثنين، ستة. إذا كان المتجه من ﺃ إلى ﺏ موازيًا للمتجه من ﺟ إلى ﺩ، فأوجد قيمة ﻙ.

في هذا السؤال، لدينا إحداثيات الرءوس الأربعة لشبه منحرف، وأحد الإحداثيات عبارة عن قيمة مجهولة وهي ﻙ. علينا استخدام الإحداثيات الأربعة المعطاة وحقيقة أن المتجه من ﺃ إلى ﺏ يوازي المتجه من ﺟ إلى ﺩ لإيجاد قيمة ﻙ.

للإجابة عن هذا السؤال، سنبدأ بتذكر كيفية حساب المتجه بين نقطتين. نتذكر أنه بالنسبة إلى النقطتين ﻝ وﻥ، فإن المتجه من ﻝ إلى ﻥ هو متجه موضع ﻥ ناقص متجه موضع ﻝ. يمكن كتابة ذلك على الصورة ﻭﻥ ناقص ﻭﻝ. ولإيجاد متجه موضع نقطة ما، كل ما علينا فعله هو تكوين متجه باستخدام المركبات التي تساوي إحداثيات النقطة. يمكننا استخدام هذا لإيجاد تعبيرين للمتجه من ﺃ إلى ﺏ، والمتجه من ﺟ إلى ﺩ. لنبدأ بالمتجه من ﺃ إلى ﺏ.

بداية، هذا يساوي متجه موضع ﺏ ناقص متجه موضع ﺃ. سيكون لمتجه موضع ﺏ مركبتان تساويان إحداثيات النقطة ﺏ. هذا هو المتجه ﻙ، ثمانية. وبالمثل، ﺃ هي النقطة ١٠، ١١. إذن متجه موضع ﺃ سيكون المتجه ١٠، ١١. ومن ثم، فإن المتجه من ﺃ إلى ﺏ هو المتجه ﻙ، ثمانية ناقص المتجه ١٠، ١١. يمكننا بعد ذلك التبسيط أكثر. تذكر أنه لطرح متجهين، علينا طرح المركبات المتناظرة للمتجهين. بطرح المركبة الأولى لكل متجه، نحصل على ﻙ ناقص ١٠. وبطرح المركبة الثانية لكل متجه، نحصل على ثمانية ناقص ١١. إذن المتجه من ﺃ إلى ﺏ هو المتجه ﻙ ناقص ١٠، ثمانية ناقص ١١. وأخيرًا، يمكننا حساب قيمة المركبة الثانية، والتي تساوي ثمانية ناقص ١١، وهو ما يساوي سالب ثلاثة. وبذلك، يكون المتجه من ﺃ إلى ﺏ هو المتجه ﻙ ناقص ١٠، سالب ثلاثة.

يمكننا فعل الأمر نفسه تمامًا لإيجاد المتجه من ﺟ إلى ﺩ. وهو ما يساوي متجه موضع ﺩ ناقص متجه موضع ﺟ. مركبتا متجه موضع ﺩ ستساويان إحداثيات ﺩ. هذا سيعطينا المتجه سالب اثنين، ستة. وبالمثل، مركبتا متجه موضع ﺟ ستساويان إحداثيات ﺟ. هذا يعطينا المتجه أربعة، سالب ١٢. علينا طرح هذين المتجهين. وتذكر أنه لطرح متجهين، فإننا نطرح قيم مركباتهما المتناظرة.

بطرح المركبة الأولى لكل متجه، نحصل على سالب اثنين ناقص أربعة. وبطرح المركبة الثانية لكل متجه، نحصل على ستة ناقص سالب ١٢. وإذا حسبنا قيمة التعبير لكل من المركبتين، فسنجد أن المتجه من ﺟ إلى ﺩ هو المتجه سالب ستة، ١٨. والآن بعد أن أوجدنا تعبيرين لهذين المتجهين، لنفرغ بعض المساحة ثم نتذكر ما يعنيه أن يكون المتجهان متوازيين.

نقول إن المتجهين متوازيان إذا كان كل منهما مضاعفًا قياسيًّا للآخر. إذن عندما نقول إن المتجه من ﺃ إلى ﺏ يوازي المتجه من ﺟ إلى ﺩ، فهذا يعني أن هناك كمية قياسية ما ﻡ، بحيث يكون المتجه من ﺃ إلى ﺏ يساوي ﻡ في المتجه من ﺟ إلى ﺩ. يمكننا التعويض بالتعبيرين اللذين أوجدناهما للمتجه من ﺃ إلى ﺏ والمتجه من ﺟ إلى ﺩ في هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻡ. عندئذ، نحصل على المعادلة الآتية: المتجه ﻙ ناقص ١٠، سالب ثلاثة يساوي ﻡ مضروبًا في المتجه سالب ستة، ١٨.

يمكننا بعد ذلك تبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة بتذكر أنه عند ضرب المتجه في كمية قياسية، فإننا نضرب كلًّا من مركبتي المتجه في الكمية القياسية. وبذلك، نحصل على المتجه سالب ستة ﻡ، ١٨ﻡ. ونحن نعرف أن هذا المتجه لا بد أنه يساوي المتجه ﻙ ناقص ١٠، سالب ثلاثة. بما أن هذين المتجهين متساويان، فلا بد أن تكون المركبتان المتناظرتان لكل منهما متساويتين. يمكننا إذن إيجاد قيمة ﻡ عن طريق مساواة المركبة الثانية لكلا هذين المتجهين. نحصل إذن على سالب ثلاثة يساوي ١٨ﻡ. يمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة بالنسبة إلى ﻡ بقسمة كلا طرفيها على ١٨. عندما نفعل ذلك، نجد أن قيمة ﻡ تساوي سالب ثلاثة مقسومًا على ١٨، وهو ما يمكن تبسيطه لنحصل على ﻡ يساوي سالب سدس.

لكننا لم ننته بعد. تذكر أن السؤال يطلب منا إيجاد قيمة ﻙ. يمكننا إيجاد معادلة في ﻙ عن طريق مساواة المركبة الأولى للمتجهين. لدينا ﻙ ناقص ١٠ يساوي سالب ستة ﻡ. لكننا نعلم قيمة ﻡ. ‏ﻡ يساوي سالب سدس. ومن ثم، يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة. بإجراء ذلك، نحصل على ﻙ ناقص ١٠ يساوي سالب ستة مضروبًا في سالب سدس.

يمكننا إيجاد قيمة الطرف الأيسر من هذه المعادلة. سالب ستة مضروبًا في سالب سدس يساوي واحدًا. إذن، يمكن تبسيط المعادلة لتصبح ﻙ ناقص ١٠ يساوي واحدًا. يمكننا حل هذه المعادلة بإضافة ١٠ إلى كلا طرفيها، وهو ما يعطينا ﻙ يساوي ١١، وهي الإجابة النهائية. وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أنه إذا كان ﺃﺏﺟﺩ شبه منحرف رءوسه ﺃ١٠، ١١، وﺏ ﻙ، ثمانية، وﺟ أربعة، سالب ١٢، وﺩ سالب اثنين، ستة، وكان المتجه من ﺃ إلى ﺏ يوازي المتجه من ﺟ إلى ﺩ، فإن قيمة ﻙ يجب أن تساوي ١١.