فيديو الدرس: التقعر ونقاط الانقلاب

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد تقعر الدالة ونقاط انقلابها باستخدام مشتقتها الثانية.

٢٠:٥٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد تقعر الدالة ونقاط انقلابها باستخدام المشتقة الثانية. نفترض أنك الآن على دراية تامة بكيفية إيجاد المشتقتين الأولى والثانية للدالة، باستخدام القواعد القياسية للاشتقاق، كما أنك متمرس في استخدام اختبار المشتقة الأولى لتحديد طبيعة النقاط الحرجة. سنتعرف الآن على المقصود بتقعر الدالة لأعلى أو لأسفل، أو بأن يكون لها نقطة انقلاب. كما سنتناول كيف يمكننا استخدام المشتقة الثانية كطريقة بديلة لاختبار المشتقة الأولى.

لننظر إلى بعض أشكال التمثيلات البيانية المعروفة. لدينا هنا التمثيل البياني لـ ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع، وﺭﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع، وﻝﺱ تساوي ﺱ تكعيب. ‏‏ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع مثال جيد على الدالة المقعرة لأعلى على مجالها كله. يتقعر المنحنى لأعلى على المجال كله، وتتزايد قيمة ميله. هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي القول إنه إذا كان منحنى الدالة يقع أعلى مماساته كلها في فترة ما، فإنه يكون مقعرًا لأعلى في هذه الفترة. وبالمثل، ﺭﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع مثال جيد للدالة المقعرة لأسفل. يتقعر المنحنى لأسفل على المجال كله، وتتناقص قيمة ميله.

هذه المرة، يمكننا القول إن هناك طريقة بديلة للتفكير في ذلك، وهي القول إنه إذا كان منحنى الدالة يقع أسفل مماساته كلها في فترة ما، فإنه يكون مقعرًا لأسفل في هذه الفترة. في الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع، النقطة الحرجة عند صفر، صفر، هي قيمة صغرى. وفي الواقع، هي قيمة صغرى مطلقة. إنها أدنى نقطة للمنحنى على مجاله كله. وبالنسبة للتمثيل البياني ﺭﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع، النقطة الحرجة عند صفر، صفر، هي قيمة عظمى مطلقة. وهي أعلى نقطة للمنحنى على مجاله كله.

لكن ﻝﺱ تساوي ﺱ تكعيب تمثل شيئًا مختلفًا قليلًا. نقطة التحول عند صفر، صفر، تعرف بنقطة الانقلاب. وهي نقطة حرجة يتغير عندها سلوك الدالة. إذ تتغير من التقعر لأسفل إلى التقعر لأعلى، أو العكس. والآن بعد أن أصبح لدينا تعريف، هيا نر كيف نحدد طبيعة النقطة الحرجة؛ ومن ثم، تقعر الدالة. لنلق نظرة على التمثيل البياني لـ ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع مرة أخرى. مشتقتها ﺩ شرطة لـ ﺱ تساوي اثنين ﺱ تسمى أحيانًا بدالة الميل؛ لأنها تخبرنا بانحدار أو ميل مماس المنحنى عند أي نقطة. يمكننا ملاحظة أن ميل مماس المنحنى عند النقطة ﺱ يساوي سالب واحد مثلًا قبل النقطة الحرجة مباشرة سيكون سالبًا. وميل مماس المنحنى عند نقطة تقع بعد النقطة الحرجة، فلنقل ﺱ يساوي واحدًا مثلًا، يكون موجبًا.

كنا سابقًا نتحقق من صحة ذلك باستخدام اختبار المشتقة الأولى. كنا نعوض بهذه القيم في معادلة المشتقة الأولى، ونتحقق من أنها بالفعل سالبة قبل النقطة الحرجة وموجبة بعدها. لكن دعونا نفكر فيما يحدث للمشتقة بالفعل. إنها تتغير من عدد أصغر من صفر إلى عدد أكبر من صفر. بعبارة أخرى، الدالة ﺩ شرطة لـ ﺱ تتزايد. أو بطريقة أخرى، يمكن أن نقول إن مشتقة ﺩ شرطة لـ ﺱ يجب أن تكون أكبر من صفر. بعبارة أخرى، ﺩ شرطتان لـ ﺱ، وهي المشتقة الثانية للدالة، يجب أن تكون أكبر من صفر. وهذا هو اختبار المشتقة الثانية.

يمكننا إيجاد المشتقة الثانية عند النقطة الحرجة. وإذا كانت أكبر من صفر، فلدينا قيمة محلية صغرى. وهذا الاختبار يتيح لنا اختبار التقعر. إذا كانت المشتقة الثانية للدالة أكبر من صفر لجميع قيم ﺱ في الفترة ﻑ، فإن المنحنى مقعر لأعلى في هذه الفترة. يمكننا أيضًا أن نلقي نظرة على التمثيل البياني لـ ﺭﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع. قبل النقطة الحرجة مباشرة، يكون انحدار أو ميل المماس موجبًا. وبعد النقطة الحرجة مباشرة، يكون ميل المماس سالبًا. هذا يعني أن ﺩ شرطة لـ ﺱ تتناقص. بعبارة أخرى، مشتقة ﺩ شرطة لـ ﺱ يجب أن تكون أصغر من صفر. أو ﺩ شرطتان لـ ﺱ، أي المشتقة الثانية، يجب أن تكون قيمتها أصغر من صفر.

إذن، إذا أوجدنا قيمة المشتقة الثانية عند النقطة الحرجة وكانت أصغر من صفر، فهذا يعني أن لدينا قيمة عظمى محلية. نوسع هذه الفكرة ونقول إنه إذا كانت قيمة المشتقة الثانية للدالة أصغر من صفر لجميع قيم ﺱ في الفترة ﻑ، فإن المنحنى يكون مقعرًا لأسفل في هذه الفترة. لكن هناك شيء ناقص. ماذا لو كانت قيمة ﺩ شرطتان لـ ﺱ، أي المشتقة الثانية، تساوي صفرًا؟ إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا أو غير معرفة، فهذا يشير إلى احتمال وجود نقطة انقلاب. لكن يجب ألا نفترض أن أي نقطة عندها ﺩ شرطتان لـ ﺱ تساوي صفرًا هي نقطة انقلاب. بدلًا من ذلك، علينا في هذه الحالات أن نتحقق من طبيعة المشتقة الثانية على جانبي النقطة والتأكد من أن التقعر يتغير من كونه لأعلى ليصبح لأسفل، أو العكس. هيا نلق نظرة على مثال لكيفية تطبيق بعض هذه التعريفات.

‏أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ أس خمسة زائد ﺱ تكعيب مقعرة لأعلى أو مقعرة لأسفل.

تذكر أنه إذا كانت قيمة المشتقة الثانية للدالة، ﺩ شرطتين لـ ﺱ، أكبر من صفر لجميع قيم ﺱ في فترة ما ﻑ، فإن ﺩ مقعرة لأعلى في هذه الفترة. وبالمثل، إذا كانت قيمة المشتقة الثانية أصغر من صفر لجميع قيم ﺱ في فترة ما ﻑ، فإن ﺩ مقعرة لأسفل في هذه الفترة. إذن، علينا إيجاد المشتقة الثانية للدالة واستخدامها لتحديد الفترات التي تكون فيها قيمة ﺩ شرطتين لـ ﺱ أكبر من صفر أو أصغر من صفر.

سنبدأ بإيجاد المشتقة الأولى للدالة. وهي خمسة مضروبة في سالب أربعة ﺱ أس أربعة زائد ثلاثة في ﺱ تربيع، وهو ما يساوي سالب ٢٠ﺱ أس أربعة زائد ثلاثة ﺱ تربيع. نشتق مرة أخرى لإيجاد المشتقة الثانية. لدينا هذه المرة أربعة في سالب ٢٠ﺱ تكعيب زائد اثنين في ثلاثة ﺱ، وهو ما يساوي سالب ٨٠ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ. مهمتنا الآن هي تحديد الفترة التي تكون فيها قيمة هذه المشتقة أكبر من صفر، والفترة التي تكون فيها أصغر من صفر. نبدأ بمساواة المشتقة بصفر والحل لإيجاد قيمة ﺱ. يمكننا التحليل لنحصل على اثنين ﺱ في سالب ٤٠ﺱ تربيع زائد ثلاثة. بعد ذلك، نعلم أنه ليكون حاصل ضرب اثنين ﺱ وسالب ٤٠ﺱ تربيع زائد ثلاثة مساويًا لصفر، فإما أن اثنين ﺱ يساوي صفرًا، وهذا يعني أن ﺱ يساوي صفرًا، وإما أن سالب ٤٠ﺱ تربيع زائد ثلاثة يساوي صفرًا.

نحل بإضافة ٤٠ﺱ تربيع إلى الطرفين وقسمتهما على ٤٠، ثم إيجاد الجذر التربيعي، مع تذكر أننا نوجد الجذرين الموجب والسالب لثلاثة على ٤٠. يمكننا هنا إنطاق المقام، وسنحصل على ﺱ يساوي موجب أو سالب جذر ٣٠ على ٢٠. بعد ذلك، سنرسم منحنى ﺩ شرطتين لـ ﺱ ليساعدنا في تحديد الفترات التي تكون فيها الدالة أصغر من صفر أو تساوي صفرًا. إنه تمثيل بياني لدالة تكعيبية بمعامل سالب لـ ﺱ تكعيب، وله جذور هي سالب جذر ٣٠ على ٢٠، وموجب جذر ٣٠ على ٢٠، وصفر. سيبدو بهذا الشكل. نلاحظ أن قيمة ﺩ شرطتين لـ ﺱ أصغر من صفر هنا وهنا. وهي أكبر من صفر هنا وهنا. بما أن قيمة المشتقة الثانية أكبر من صفر في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى سالب جذر ٣٠ على ٢٠، والفترة المفتوحة من صفر إلى جذر ٣٠ على ٢٠، فإن ﺩﺱ مقعرة لأعلى في هاتين الفترتين. وبالمثل، تكون مقعرة لأسفل في الفترتين المفتوحتين من سالب جذر ٣٠ على ٢٠ إلى صفر، ومن جذر ٣٠ على ٢٠ إلى ما لا نهاية.

سنتناول في المثال التالي كيفية إيجاد نقاط انقلاب المنحنى.

أوجد نقاط انقلاب المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص خمسة.

تذكر أننا قلنا إنه يمكن أن يكون هناك نقطة انقلاب على المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا، أو إذا كانت المشتقة الثانية غير معرفة عند نقطة ما. دعونا نعبر عن ذلك بصورة منظمة. إذ يمكننا القول إنه إذا كانت ﻥ نقطة انقلاب على دالة متصلة ﺩ، فإن ﺩ شرطتين لـ ﺱ، أي المشتقة الثانية، تساوي صفرًا أو غير معرفة، ويتغير المنحنى من التقعر لأعلى إلى التقعر لأسفل أو العكس عند ﻥ. نبدأ كالمعتاد بتحديد مواضع النقاط الحرجة ثم تحديد طبيعتها. نشتق الدالة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. المشتقة الأولى هي اثنان ﺱ زائد اثنين.

لإيجاد موضع أي نقاط حرجة، علينا أن نساوي ذلك بصفر. إذن، اثنان ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. وللحل لإيجاد قيمة ﺱ، نطرح اثنين من الطرفين. ثم نقسم الطرفين على اثنين. إذن هناك نقطة حرجة عند ﺱ يساوي سالب واحد. ماذا عن طبيعتها؟ هذه المرة سنوجد المشتقة الثانية. المشتقة الثانية للدالة تساوي اثنين ببساطة. من المثير للاهتمام أن المشتقة الثانية هنا عبارة عن ثابت. وهو أكبر من صفر. بعبارة أخرى، قيمة المشتقة الثانية أكبر من صفر على المجال كله. ‏‏ﺹ مقعر لأعلى والتقعر لا يتغير مطلقًا. وبالتالي يمكننا القول إن هذا المنحنى ليس له أي نقاط انقلاب.

في المثال التالي، سنتناول كيفية استخدام المشتقة الثانية لإيجاد نقطة الانقلاب على منحنى.

أوجد نقطة الانقلاب على منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب ناقص تسعة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ.

إذا كانت ﻥ نقطة انقلاب على دالة متصلة ﺩ، فإن قيمة المشتقة الثانية لـ ﺩﺱ تساوي صفرًا أو غير معرفة عند تلك النقطة. ويتغير تقعر المنحنى عند هذه النقطة. لحل هذا السؤال، نبدأ بإيجاد المشتقة الثانية للدالة. المشتقة الأولى تساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص اثنين في تسعة ﺱ زائد ستة، وهو ما يبسط إلى ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٨ﺱ زائد ستة. المشتقة الثانية تساوي ستة ﺱ ناقص ١٨. نعلم أنه من المحتمل وجود نقطة انقلاب عندما تكون قيمة المشتقة الثانية تساوي صفرًا. لذلك، نساوي هذا بصفر ونحل لإيجاد قيمة ﺱ. نضيف ١٨ إلى طرفي المعادلة ثم نقسم الطرفين على ستة. ونجد أن ﺱ يساوي ثلاثة.

لكن كون قيمة المشتقة الثانية لـ ﺩ لثلاثة تساوي صفرًا لا يضمن وجود نقطة انقلاب. سنتحقق مرة أخرى من تقعر المنحنى على جانبي هذه النقطة. نتحقق من ذلك بإيجاد ﺩ شرطتين لاثنين وﺩ شرطتين لأربعة. ‏‏ﺩ شرطتان لاثنين يساوي ستة في اثنين ناقص ١٨، وهو ما يساوي سالب ستة. وﺩ شرطتان لأربعة يساوي ستة في أربعة ناقص ١٨، وهو ما يساوي ستة. تكون قيمة المشتقة الثانية لـ ﺩ أصغر من صفر عند اثنين، وأكبر من صفر عند أربعة. يتغير سلوك المنحنى من التقعر لأسفل إلى التقعر لأعلى. إذن، ﺱ يساوي ثلاثة يمثل نقطة انقلاب بالفعل. والآن بعد أن عرفنا هذا، يمكننا التعويض عن ﺱ بثلاثة في المعادلة ﺩﺱ لإيجاد ﺩ لثلاثة. هذا يساوي ثلاثة تكعيب ناقص تسعة في ثلاثة تربيع زائد ستة في ثلاثة، وهو ما يساوي سالب ٣٦. إذن، نقطة انقلاب الدالة هي ثلاثة، سالب ٣٦.

في المثالين الأخيرين، نلقي نظرة على كيفية تطبيق القواعد القياسية للاشتقاق لتساعدنا في اختبار التقعر عند نقاط الانقلاب، ولا سيما بالنظر إلى الدوال المثلثية واللوغاريتمية.

إذا كانت ﺩﺱ تساوي جا أربعة ﺱ زائد جتا أربعة ﺱ؛ حيث ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من أو يساوي 𝜋 على اثنين، فأوجد نقاط انقلاب ﺩ.

تذكر أن نقطة الانقلاب على المنحنى هي النقطة التي يتغير عندها المنحنى من التقعر لأسفل إلى التقعر لأعلى، أو العكس. يحدث ذلك عندما تكون قيمة ﺩ شرطتين لـ ﺱ تساوي صفرًا أو غير معرفة. لكن تذكر أن كون ﺩ شرطتين لـ ﺱ تساوي صفرًا لا يضمن وجود نقطة انقلاب. لذلك، نجري دائمًا اختبارًا آخر للتأكد. لنبدأ بإيجاد المشتقة الأولى للدالة. يمكننا أن نذكر المشتقات القياسية لـ جا ﺃﺱ وجتا ﺃﺱ. نجد أن ﺩ شرطة لـ ﺱ تساوي أربعة جتا أربعة ﺱ ناقص أربعة جا أربعة ﺱ.

نوجد بعد ذلك المشتقة الثانية. ونجد أن ﺩ شرطتين لـ ﺱ تساوي سالب ١٦ جا أربعة ﺱ ناقص ١٦ جتا أربعة ﺱ. نريد إيجاد نقطة الانقلاب. إذن، نساوي ذلك بصفر ونحل لإيجاد قيمة ﺱ، مع ملاحظة أننا نبحث في الفترة المغلقة من صفر إلى 𝜋 على اثنين راديان. نقسم الطرفين على سالب ١٦ ثم نطرح جتا أربعة ﺱ من الطرفين. ثم نتذكر حقيقة أن ﺱ ظا يساوي جا ﺱ على جتا ﺱ. إذن، جا أربعة ﺱ على جتا أربعة ﺱ يساوي ظا أربعة ﺱ. ونجد أن ظا أربعة ﺱ يساوي سالب واحد. نوجد الدالة العكسية للظل لسالب واحد، التي نعرف أنها تساوي سالب 𝜋 على أربعة راديان.

ولكن تذكر أن ظا ﺱ دالة دورية طول دورتها 𝜋 راديان. هذا يشير إلى احتمال وجود أكثر من حل. نعدل هذه الفترة بالضرب في أربعة. ونجد أن أربعة ﺱ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من أو يساوي اثنين 𝜋. ونوجد جميع قيم أربعة ﺱ في هذه الفترة عن طريق إضافة مضاعفات 𝜋 إلى الحل. بإضافة 𝜋 إلى سالب 𝜋 على أربعة، نحصل على ثلاثة 𝜋 على أربعة. ثم نضيف 𝜋 مرة أخرى، لنحصل على سبعة 𝜋 على أربعة. وأخيرًا، نقسم الطرفين على أربعة ونجد أن ﺱ يساوي ثلاثة 𝜋 على ١٦ وسبعة 𝜋 على ١٦ راديان. تذكر أن كون المشتقة الثانية تساوي صفرًا لا يضمن وجود نقطة انقلاب. لذلك سنتحقق من التقعر على جانبي هاتين القيمتين.

يمكننا اختيار ﺱ يساوي ٠٫٥ وﺱ يساوي ٠٫٦. هاتان القيمتان على جانبي ثلاثة 𝜋 على ١٦. وسنتحقق أيضًا باستخدام ﺱ يساوي ١٫٣ وﺱ يساوي ١٫٤، وهما القيمتان على جانبي سبعة 𝜋 على ١٦. ‏‏ﺩ شرطتان لـ ٠٫٥ قيمة سالبة، وﺩ شرطتان لـ ٠٫٦ قيمة موجبة. وبالمثل، ﺩ شرطتان لـ ١٫٣ أكبر من صفر، وﺩ شرطتان لـ ١٫٤ أصغر من صفر. نلاحظ أنه عند النقطة ﺱ يساوي ثلاثة 𝜋 على ١٦، يتغير المنحنى من التقعر لأسفل إلى التقعر لأعلى. وعند ﺱ يساوي سبعة 𝜋 على ١٦، يتغير من التقعر لأعلى إلى التقعر لأسفل. وهاتان النقطتان هما نقطتا انقلاب. يمكن أن نعوض بالقيمتين في ﺩﺱ لإيجاد الإحداثيين ﺹ المناظرين. تقع نقطتا الانقلاب عند ثلاثة 𝜋 على ١٦، صفر، وسبعة 𝜋 على ١٦، صفر.

أوجد نقاط انقلاب ﺩﺱ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ، إن وجدت.

لإيجاد نقاط الانقلاب، نوجد المشتقة الثانية للدالة ونساويها بصفر. لاحظ أن الدالة حاصل ضرب دالتين. لذلك علينا استخدام قاعدة حاصل الضرب لنشتقها. وتنص على أنه لأي دالتين قابلتين للاشتقاق، ﻉ وﻕ، فإن مشتقة حاصل ضربهما تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. نجعل ﻉ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع وﻕ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ. إذن، ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ستة ﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ. إذن، ﺩ شرطة، أي المشتقة الأولى للدالة، تساوي ثلاثة ﺱ تربيع في واحد على ﺱ زائد ستة ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ أو ثلاثة ﺱ زائد ستة ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ. سنشتق هذا مرة أخرى.

نستخدم قاعدة حاصل الضرب لنجد أن مشتقة ستة ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ يساوي ستة زائد ستة في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ. والمشتقة الثانية تساوي تسعة زائد ستة في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ. نساوي هذا بصفر. للحل لإيجاد قيمة ﺱ، نطرح تسعة ثم نقسم الطرفين على ستة. رفعنا الطرفين ليكونا قوة لـ ﻫ. ثم قسمنا الطرفين على اثنين. إذن، هناك احتمال لوجود نقطة انقلاب عند ﺱ يساوي نصف ﻫ أس سالب ثلاثة على اثنين. لكن علينا أن نتحقق من أن هذه نقطة انقلاب بالفعل من خلال التحقق من قيم ﺩ شرطتين أو المشتقة الثانية على جانبي هذه النقطة.

نصف ﻫ أس سالب ثلاثة على اثنين يساوي ٠٫١١٢ تقريبًا. إذن، لنجرب ﺱ يساوي ٠٫١ وﺱ يساوي ٠٫١٢. قيمة المشتقة الثانية ﺩ شرطتين لـ ٠٫١ أصغر من صفر. وقيمة ﺩ شرطتين لـ ٠٫١٢ أكبر من صفر. يتغير المنحنى من التقعر لأسفل إلى التقعر لأعلى. وبالتالي يمكننا القول إن لدينا بالفعل نقطة انقلاب عند ﺱ يساوي نصف ﻫ أس سالب ثلاثة على اثنين. وبالتعويض بقيمة ﺱ هذه في الدالة الأصلية، نحصل على سالب تسعة على ثمانية ﻫ تكعيب. ‏‏ﺩ لها نقطة انقلاب عند ﻫ أس سالب ثلاثة على اثنين على اثنين، سالب تسعة على ثمانية ﻫ تكعيب.

في هذا الفيديو، عرفنا أنه إذا كانت المشتقة الثانية لـ ﺱ أكبر من صفر لجميع قيم ﺱ في الفترة ﻑ، يكون منحنى ﺩ مقعرًا لأعلى في الفترة ﻑ. كما عرفنا أيضًا أنه إذا كان العكس صحيحًا، تكون ﺩ مقعرة لأسفل في الفترة ﻑ. عرفنا كذلك أن نقطة الانقلاب تحدث عندما يتغير تقعر المنحنى. وهذا يحدث عندما تكون المشتقة الثانية تساوي صفرًا أو غير معرفة عند هذه النقطة. وعرفنا أن كون ﺩ شرطتين لـ ﺱ تساوي صفرًا أو غير معرفة لا يضمن وجود نقطة انقلاب. ولذلك، نجري اختبار المشتقة الثانية ونتحقق من التقعر على الجانبين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.