فيديو الدرس: الدوال الأسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعرف على الدوال الأسية، وكيف نكتبها ونوجد قيمتها ونحللها.

الدالة الأسية هي دالة قاعدتها تكتب على الصورة: ﺩﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ، ويسمى العدد الحقيقي الثابت ﺏ بالأساس، حيث ﺏ أكبر من صفر ولا يساوي واحدًا، وﺱ يسمى الأس، وهو ما يمكن أن يكون أي عدد حقيقي. لنلق نظرة على ﺩﺱ لبعض قيم الأعداد الصحيحة الموجبة لـ ﺱ. إذا كان ﺱ يساوي واحدًا، يكون لدينا ﺏ أس واحد، وهو ما يساوي ﺏ. وإذا كان ﺱ يساوي اثنين، يكون لدينا ﺏ أس اثنين أو ﺏ تربيع، وهو ما يساوي ﺏ في ﺏ. وإذا كان ﺱ يساوي ثلاثة، يكون لدينا ﺏ أس ثلاثة أو ﺏ تكعيب، وهو ما يساوي ﺏ في ﺏ في ﺏ. وإذا كان ﺱ يساوي أربعة، يكون لدينا ﺏ أس أربعة، وهو ما يساوي ﺏ في ﺏ في ﺏ في ﺏ.

يمكننا ملاحظة أن القيمة السابقة للدالة ﺩﺱ تضرب في ﺏ في كل مرة يزيد فيها ﺱ بمقدار واحد. إذن، ﺩ لاثنين يساوي ﺩ لواحد في ﺏ. وﺩ لثلاثة يساوي ﺩ لاثنين في ﺏ، وﺩ لأربعة يساوي ﺩ لثلاثة في ﺏ. ويشير ذلك إلى خاصية أعم للدالة الأسية. للدالة الأسية ﺩﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ، فإن قيمة ﺩﺱ تساوي دائمًا حاصل ضرب ﺩﺱ ناقص واحد في ﺏ؛ وهو ما يعني أن ﺏ دائمًا ما يساوي خارج قسمة ﺩﺱ على ﺩﺱ ناقص واحد. أي إن ﺩﺱ يساوي ﺩﺱ ناقص واحد في ﺏ، وهو ما يعني بدوره أن ﺏ يساوي ﺩﺱ مقسومًا على ﺩﺱ ناقص واحد. ولا ينطبق هذا على القيم الصحيحة لـ ﺱ فقط، وإنما أيضًا على أي قيمة حقيقية لـ ﺱ. ويمكننا عادة استخدام العلاقة بين ﺏ وﺩﺱ وﺩﺱ ناقص واحد لإيجاد قيمة ﺏ من تمثيل بياني أو من جدول.

لنتأمل التمثيل البياني الذي يوضح أن ﺹ يساوي ﺩﺱ يساوي ﺏ أس ﺱ، لقيمة محددة لـ ﺏ. نلاحظ أن المنحنى يقطع المحور ﺹ عند واحد. وهذا ينطبق على أي قيمة لعدد حقيقي لـ ﺏ، حيث ﺏ أكبر من صفر ولا يساوي واحدًا. يمكننا إيجاد قيمة ﺏ في الدالة التي يمثلها المنحنى باختيار نقطتين يمر بهما المنحنى، حيث يساوي الفرق بين الإحداثيين ﺱ لهما واحدًا. ولا يهم أي نقطتين نختار، لكن يجب أن يكون لكل منهما إحداثيان ﺱ وﺹ يسهل تحديدهما. وفي هذه الحالة، يكون من الأسهل علينا اختيار نقاط تكون إحداثيات ﺱ لها أعدادًا صحيحة متتالية. إذن، لنختر ﺱ يساوي سالب ثلاثة وﺱ يساوي سالب اثنين. من التمثيل البياني، يمكننا أن نلاحظ أن إحداثيي ﺹ لهاتين النقطتين هما ثمانية وأربعة، على الترتيب. ومن ثم، يكون لدينا ﺩ لسالب ثلاثة يساوي ثمانية، وﺩ لسالب اثنين يساوي أربعة.

نتذكر من التعريف السابق أن الأساس ﺏ يساوي ﺩﺱ مقسومًا على ﺩﺱ ناقص واحد بغض النظر عن قيمة ﺱ التي نختارها. وعليه، يمكننا اختيار قيمة ﺱ التي تساوي سالب اثنين. ومن ثم، فإن ﺱ ناقص واحد يساوي سالب ثلاثة. إذن، لدينا ﺏ يساوي ﺩ لسالب اثنين على ﺩ لسالب ثلاثة. وبالتعويض بهذه القيم التي حصلنا عليها من التمثيل البياني، نجد أن ﺏ يساوي أربعة على ثمانية. إذن، لدينا ﺏ يساوي نصفًا. ومن ثم، فإن ﺩﺱ يساوي نصفًا أس ﺱ.

بعد ذلك، لنلق نظرة على جدول يمثل الدالة ﺭﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ لقيمة محددة أخرى لـ ﺏ. إذا كان ﺱ يساوي واحدًا، فإن ﺭﺱ يساوي اثنين. وإذا كان ﺱ يساوي اثنين، فإن ﺭﺱ يساوي أربعة. وإذا كان ﺱ يساوي ثلاثة، فإن ﺭﺱ يساوي ثمانية. وإذا كان ﺱ يساوي أربعة، فإن ﺭﺱ يساوي ١٦. إذن، بما أن الفرق بين قيم ﺱ الموجودة في الجدول يساوي واحدًا، يمكننا استخدام الطريقة نفسها التي اتبعناها سابقًا لتحديد قيمة ﺏ، وإيجاد خارج قسمة أربعة على اثنين، أو ثمانية على أربعة، أو ١٦ على ثمانية. لكننا هذه المرة، وبدلًا من ذلك، سوف نعوض بالزوج الأول من قيم ﺱ وﺹ الموجودة بالجدول في القاعدة ﺭﺱ يساوي ﺏ أس ﺱ.

إذن، نعوض عن ﺱ بواحد وعن ﺭﺱ باثنين، وهذا يعني أن اثنين يساوي ﺏ أس واحد؛ ومن ثم فإن ﺏ يساوي اثنين. حتى الآن، لم نتناول سوى الدوال الأسية على هذه الصورة تحديدًا. لكن الدوال الأسية يمكن أن ترد في صورة أعم من ذلك. فيمكننا ضرب الأساس في ثابت ما، ﺃ، ويمكننا ضرب الأس في ثابت، 𝛼، كما يمكننا إضافة ثابت، 𝛽، إلى الأس. وأخيرًا، يمكننا إضافة ثابت، ﺙ، في نهاية الدالة. هذه هي فقط التحويلات الخطية القياسية لدالة ما، وفيها يمدد ﺃ منحنى الدالة على طول المحور ﺹ بمعامل قياس مقداره ﺃ، ويضغط 𝛼 منحنى الدالة على طول المحور ﺱ بمعامل قياس مقداره 𝛼، وينقل 𝛽 الدالة على طول المحور ﺱ بمعامل قياس مقداره سالب 𝛽، وينقل ﺙ الدالة على طول المحور ﺹ بمعامل قياس مقداره ﺙ.

وعليه، قد تتضمن الأمثلة الأخرى للدوال الأسية ﺭﺱ يساوي أربعة في اثنين أس ﺱ أو ﻕﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ زائد واحد، أو ﻙﺱ يساوي تسعة أس أربعة ﺱ زائد ثلاثة. ففي حالة ﺭﺱ، يظل الأساس اثنين، ويظل الأس ﺱ. وفي حالة ﻕﺱ، يكون الأساس هو ﻫ والأس هو ﺱ. وفي حالة ﻙﺱ، فإن الأساس هو تسعة، والأس هو أربعة ﺱ زائد ثلاثة. هيا نتناول مثالًا لكيفية إيجاد أساس الدالة الأسية وأسها.

ما أساس وأس الدالة ﺩﺱ يساوي خمسة أس ﺱ ناقص خمسة؟

نتذكر أن الدالة الأسية في أبسط صورها تكون على الصورة ﺩﺱ يساوي ﺏ أس ﺱ، حيث ﺏ هو الأساس وﺱ هو الأس. ونعلم أن الأساس ﺏ عدد حقيقي، حيث ﺏ أكبر من صفر ولا يساوي واحدًا، وأن الأس ﺱ يمكن أن يكون أي عدد حقيقي. في الدالة المعطاة، لدينا الأساس خمسة، وهو مرفوع للقوة ﺱ ناقص خمسة. وهذا لا يزال يحقق معايير الدالة الأسية. إذن، الأساس خمسة، والأس ﺱ ناقص خمسة.

في المسألة التالية، لدينا جدول قيم لدالة أسية، ومطلوب منا إيجاد معادلة الدالة.

اكتب معادلة أسية على الصورة ﺹ يساوي ﺏ أس ﺱ من الأعداد الموجودة في الجدول. ‏ﺱ يساوي اثنين، وأربعة، وخمسة، وقيم ﺹ المناظرة لهذه القيم هي تسعة على ١٦، و٨١ على ٢٥٦، و٢٤٣ على ١٠٢٤.

نتذكر أن الدالة الأسية في أبسط صورها تكون على الصورة ﺹ يساوي ﺏ أس ﺱ، حيث ﺏ هو الأساس، وهو عدد حقيقي أكبر من صفر ولا يساوي واحدًا، وﺱ هو الأس، الذي يمكن أن يكون أي عدد حقيقي. علينا إذن إيجاد قيمة ﺏ من القيم الموجودة في الجدول لحل المسألة. لنبدأ بالتعويض بأحد أزواج القيم لـ ﺱ وﺹ الموجودة بالجدول في المعادلة ﺹ يساوي ﺏ أس ﺱ.

بالتعويض عن ﺱ باثنين وعن ﺹ بالقيمة المناظرة تسعة على ١٦، نحصل على تسعة على ١٦ يساوي ﺏ تربيع. وبالحل لإيجاد قيمة ﺏ، نحصل على ﺏ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لتسعة على ١٦. وباستخدام قواعد الجذور الصماء، نحصل على موجب أو سالب الجذر التربيعي لتسعة على الجذر التربيعي لـ ١٦. ويمكن تبسيط ذلك إلى موجب أو سالب ثلاثة أرباع. وبما أن ﺏ يجب أن يكون أكبر من صفر، فلا بد أن يكون ﺏ هو الجذر التربيعي الموجب. إذن، ﺏ يساوي ثلاثة أرباع. وبالتعويض بقيمة ﺏ هذه في معادلة الدالة، نحصل على الإجابة النهائية ﺹ يساوي ثلاثة أرباع أس ﺱ.

إحدى طرق التحقق من إجابتنا هي التحقق من القيم الأخرى الموجودة في الجدول. بالتعويض بقيم ﺱ وﺹ الأخرى، نحصل على ٨١ على ٢٥٦ يساوي ﺏ أس أربعة، و٢٤٣ على ١٠٢٤ يساوي ﺏ أس خمسة. وإذا قسمنا المعادلة الثانية على المعادلة الأولى، نحصل على ٢٤٣ على ١٠٢٤ مقسومًا على ٨١ على ٢٥٦ يساوي ﺏ أس خمسة على ﺏ أس أربعة. يبسط الطرف الأيسر هنا إلى ﺏ أس خمسة ناقص أربعة، وﺏ أس خمسة ناقص أربعة يساوي ﺏ أس واحد، وهو ما يساوي ﺏ. وبإيجاد خارج القسمة في الطرف الأيمن، نحصل على ثلاثة أرباع أيضًا.

في أثناء التحقق من إجابتنا، استخدمنا قاعدة القسمة، وهي إحدى خواص الأسس. وهي تنص على أنه عند قسمة مقدارين أسيين لهما الأساس نفسه، نحتفظ بالأساس كما هو ونوجد الفرق بين الأسين. أي إن ﺏ أس ﻡ على ﺏ أس ﻥ يساوي ﺏ أس ﻡ ناقص ﻥ، حيث ﺏ هو الأساس، وﻡ وﻥ هما الأسان. على سبيل المثال، يمكننا أن نستخدم قاعدة القسمة لتوضيح أن خمسة أس ثمانية على خمسة أس أربعة يساوي خمسة أس ثمانية ناقص أربعة، وهو ما يساوي خمسة أس أربعة.

وفي المسألة التالية، لدينا، مجددًا، جدول قيم لدالة أسية، ومطلوب منا إيجاد معادلة الدالة. ولكن هذه المرة، تختلف صورة المعادلة عن الصورة ﺹ يساوي ﺏ أس ﺱ.

اكتب معادلة أسية على الصورة ﺹ يساوي ﺃ في ﺏ أس ﺱ باستخدام الأعداد الموضحة بالجدول. إذا كان ﺱ يساوي صفرًا وواحدًا واثنين وثلاثة، فإن قيم ﺹ المناظرة لهذه القيم هي ١٨، وستة، واثنان، وثلثان.

في هذه المسألة، مطلوب منا كتابة معادلة أسية على الصورة ﺹ يساوي ﺃ في ﺏ أس ﺱ للأعداد الموضحة بالجدول. علينا إذن إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ لحل المسألة. لنبدأ بالتعويض بأحد أزواج قيمتي ﺱ وﺹ الموجودة بالجدول في المعادلة ﺹ يساوي ﺃ في ﺏ أس ﺱ. بالتعويض بأول زوج من القيم، حيث ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي ١٨، نحصل على ١٨ يساوي ﺃ في ﺏ أس صفر. وبما أن أي أساس مرفوع للقوة صفر يساوي واحدًا، يمكن تبسيط المعادلة إلى ﺃ يساوي ١٨.

لكن لا يزال علينا إيجاد قيمة ﺏ، ويمكننا فعل ذلك بالتعويض بقيمتين أخريين لـ ﺱ وﺹ. إذن، بالتعويض بالزوج التالي من القيم، حيث ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي ستة، نحصل على ستة يساوي ﺃ في ﺏ أس واحد. وأي أساس ﺏ مرفوع للقوة واحد يساوي الأساس نفسه؛ ومن ثم، يبسط ذلك إلى ستة يساوي ﺃﺏ. وقد وجدنا بالفعل أن قيمة ﺃ تساوي ١٨. إذن، يمكننا التعويض بذلك في المعادلة لنحصل على ستة يساوي ١٨ﺏ. وبالحل لإيجاد قيمة ﺏ نجد أن ﺏ يساوي ثلثًا. بالتعويض بقيمتي ﺃ وﺏ هاتين في المعادلة الأسية، نحصل على الإجابة النهائية ﺹ يساوي ١٨ في ثلث أس ﺱ.

ويمكننا التحقق من إجابتنا بالتعويض في المعادلة بقيمتي ﺱ الأخيرتين من الجدول، للتأكد من أنهما تعطيان قيمتي ﺹ الصحيحتين. بالتعويض بـ ﺱ يساوي اثنين، نحصل على ﺹ يساوي ١٨ في ثلث تربيع، وهو ما يساوي ١٨ في تسع وهو ما يساوي اثنين، وهذا صحيح. وبالتعويض بـ ﺱ يساوي ثلاثة، نحصل على ﺹ يساوي ١٨ في ثلث تكعيب، وهو ما يساوي ١٨ في واحد على ٢٧، وهو ما يساوي ثلثين، وهذا صحيح أيضًا.

أثناء حل المسألة السابقة، استخدمنا إحدى خواص الأسس التي يطلق عليها قاعدة الأس الصفري، التي تنص على أن أي أساس مرفوع للقوة صفر يساوي واحدًا. أي إن ﺏ أس صفر يساوي واحدًا، حيث ﺏ هو الأساس. فعلى سبيل المثال، ثلاثة أس صفر يساوي واحدًا.

في المسألة التالية، سنرى كيف نوجد معادلة دالة أسية من تمثيلها البياني.

تأمل التمثيل البياني الآتي، ثم أجب عن الأسئلة. أوجد الجزء المقطوع من المحور ﺹ في التمثيل البياني الموضح. بما أن هذا التمثيل البياني يمثل دالة أسية، إذن، تضرب كل قيمة من قيم ﺹ في ﺏ عندما يزيد ﺱ بمقدار Δﺱ. أوجد ﺏ عند Δﺱ يساوي واحدًا. أوجد المعادلة التي تصف التمثيل البياني على الصورة ﺹ يساوي ﺃﺏ أس ﺱ على Δﺱ.

هيا نبدأ بإيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ في التمثيل البياني. يمكننا ملاحظة أن خط المنحنى يمر بالنقطة صفر، ١٠. وعليه، فإن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يكون عند ١٠. والآن، لنوجد قيمة ﺏ في معادلة المنحنى. في هذه المسألة، نعلم أن المنحنى يمثل دالة أسية تضرب فيها كل قيمة من قيم ﺹ في ﺏ عندما يزيد ﺱ بمقدار Δﺱ. ومطلوب منا إيجاد ﺏ عند Δﺱ يساوي واحدًا. لقد رأينا بالفعل أن المنحنى يمر بالنقطة صفر، ١٠. كما يمكننا ملاحظة أنه يمر بالنقطة واحد، ٢٠. والتغير في ﺱ بين هاتين النقطتين يساوي واحدًا؛ ومن ثم، يتحقق الشرط Δﺱ يساوي واحدًا.

نعلم من المعطيات أن قيمة ﺹ تضرب في ﺏ عندما يزيد ﺱ بمقدار Δﺱ. إذا كانت قيمة ﺹ للنقطة الأولى هي ﺹ واحد، وقيمة ﺹ للنقطة الثانية هي ﺹ اثنين، فإن ﺏ يساوي ﺹ اثنين على ﺹ واحد، وهو ما يساوي ٢٠ مقسومًا على ١٠، وهو ما يساوي اثنين. وأخيرًا، علينا إيجاد المعادلة التي تصف المنحنى على الصورة ﺹ يساوي ﺃﺏ أس ﺱ على Δﺱ. لدينا بالفعل Δﺱ يساوي واحدًا، وقد وجدنا أن قيمة ﺏ تساوي اثنين. إذن، ﺹ يساوي ﺃ في اثنين أس ﺱ على واحد، وهو ما يساوي ﺃ في اثنين أس ﺱ فقط. لإيجاد قيمة ﺃ، يمكننا التعويض بقيمتي ﺱ وﺹ للنقاط التي نعرف أنها تقع على المنحنى.

لقد وجدنا بالفعل أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يكون عند ١٠، لذا نعلم أن النقطة صفر، ١٠ تقع على المنحنى. وهذا يعني أنه يمكننا التعويض بالقيمتين ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي ١٠ في المعادلة، وهو ما يعطينا ١٠ يساوي ﺃ في اثنين أس صفر. ووفقًا لقاعدة الأس الصفري، اثنان أس صفر يساوي واحدًا. إذن، نجد أن ﺃ يساوي ١٠. وهذا يعطينا المعادلة التي لدينا، وهي الإجابة النهائية، ﺹ يساوي ١٠ في اثنين أس ﺱ.

في المسألة التالية، نحدد قيمة مقدار ما بإيجاد قيمة دالة أسية.

إذا كانت ﺩﺱ تساوي أربعة أس ﺱ، فأوجد قيمة ﺩﺱ على ﺩﺱ ناقص واحد ناقص ﺩﺱ ناقص واحد على ﺩﺱ.

في هذه المسألة، مطلوب منا إيجاد قيمة مقدار يمثل ﺱ بدون قيمة معطاة لـ ﺱ، مع الإشارة إلى أن لهذا المقدار قيمة واحدة بغض النظر عن قيمة ﺱ. نعرف أن ﺩﺱ يساوي أربعة أس ﺱ. ومن ثم، فإن ﺩﺱ ناقص واحد يساوي أربعة أس ﺱ ناقص واحد. إذن، ﺩﺱ على ﺩﺱ ناقص واحد يساوي أربعة أس ﺱ على أربعة أس ﺱ ناقص واحد. باستخدام قاعدة القسمة، فإن ذلك يساوي أربعة أس ﺱ ناقص ﺱ ناقص واحد، وهو ما يساوي أربعة أس واحد، وهو ما يساوي أربعة. وهو أيضًا يمثل قيمة الأساس للدالة الأسية ﺩﺱ، المعرفة بالكسر ﺩﺱ على ﺩﺱ ناقص واحد.

الجزء الثاني من المقدار هو ﺩﺱ ناقص واحد على ﺩﺱ، وهو مقلوب ما أوجدناه توًّا، واحد على ﺩﺱ على ﺩﺱ ناقص واحد. وعليه، فإن هذا يساوي واحدًا على أربعة، أو ربعًا. إذن، ﺩﺱ على ﺩﺱ ناقص واحد ناقص ﺩﺱ ناقص واحد على ﺩﺱ يساوي أربعة ناقص ربع، وهو ما يساوي ١٥ على أربعة.

في المسألة السابقة استخدمنا قاعدة الأس السالب، التي تنص على أن أي أساس مرفوع لقوة سالبة يساوي واحدًا على الأساس مرفوعًا للمعكوس الجمعي للأس. أي إن ﺏ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺏ أس ﻥ، حيث ﺏ هو الأساس، وﻥ وسالب ﻥ هما الأسان. على سبيل المثال، ستة أس سالب اثنين يساوي واحدًا على ستة أس موجب اثنين، أو ستة تربيع، وهو ما يساوي واحدًا على ٣٦.

في المسألة الأخيرة، سنحدد قيم أساس الدالة الأسية التي تؤدي إلى تناقص الدالة دون معرفة صورتها.

تأمل دالة أسية أساسها ﺃ. ما قيم ﺃ التي تجعل الدالة تناقصية؟

في هذه المسألة، لدينا دالة أسية ﺩﺱ تساوي ﺃ أس ﺱ. نتذكر أن الأساس ﺃ يمكن الحصول عليه من ﺩﺱ على ﺩﺱ ناقص واحد. ونتذكر أن ﺃ عدد حقيقي ثابت، حيث ﺃ أكبر من صفر ولا يساوي واحدًا. أي أنه بغض النظر عن قيمة ﺱ، فإن قيمة ﺩﺱ على ﺩﺱ ناقص واحد تكون ثابتًا دائمًا. إذن، لأي قيمة لـ ﺱ، فإن الزيادة في ﺩﺱ بين ﺱ ناقص واحد وﺱ دائمًا ما تساوي قيمة ﺃ.

وبما أن الدالة الأسية دائمًا ما تكون موجبة، فإن كون ﺩﺱ على ﺩﺱ ناقص واحد أكبر من واحد يعني أن ﺩﺱ أكبر من ﺩﺱ ناقص واحد؛ ومن ثم فإن الدالة تتزايد. وبالمثل، فإن كون ﺩﺱ على ﺩﺱ ناقص واحد أقل من واحد يعني أن ﺩﺱ أقل من ﺩﺱ ناقص واحد؛ ومن ثم فإن الدالة تتناقص دائمًا.

وبما أن الطرف الأيمن للمتباينتين يساوي ﺃ، فإن هذا يعني أن كون ﺃ أكبر من واحد يدل على تزايد الدالة، وكون ﺃ أقل من واحد يدل على تناقصها. نتذكر أيضًا أن ﺃ لا بد أن يكون أكبر من صفر؛ ومن ثم، يعطينا ذلك الإجابة النهائية. ‏ﺃ أكبر من واحد يعني أن الدالة تتزايد، وﺃ بين صفر وواحد يعني أن الدالة تتناقص.

أشارت المسألة الأخيرة إلى خاصية أخرى من خواص الدوال الأسية، وهي اطراد الدالة. الدالة الأسية هي دالة مطردة أو دالة تتزايد أو تتناقص دائمًا. فإذا كان الأساس ﺏ أكبر من واحد، فإنه يسمى معامل النمو، وتتزايد الدالة دائمًا. وإذا كان الأساس أكبر من صفر وأقل من واحد، فإنه يسمى معامل التضاؤل، وتتناقص الدالة دائمًا.

والآن نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية الواردة في هذا الفيديو. الدالة الأسية هي دالة تكتب على الصورة ﺩﺱ يساوي ﺏ أس ﺱ، حيث ﺏ هو الأساس، وهو عدد حقيقي موجب لا يساوي واحدًا، وﺱ هو الأس، الذي قد يكون أي عدد حقيقي. تنص قاعدة القسمة على أنه عند قسمة مقدارين أسيين لهما الأساس نفسه، فإننا نحتفظ بالأساس كما هو ونوجد الفرق بين الأسين. أي إن ﺏ أس ﻡ على ﺏ أس ﻥ يساوي ﺏ أس ﻡ ناقص ﻥ. تنص قاعدة الأس الصفري على أن أي أساس مرفوع للقوة صفر يساوي واحدًا. أي إن ﺏ أس صفر يساوي واحدًا.

تنص قاعدة الأس السالب على أن أي أساس مرفوع لقوة سالبة يساوي واحدًا على الأساس مرفوعًا للمعكوس الجمعي للأس. أي إن ﺏ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺏ أس ﻥ. كل الدوال الأسية دوال مطردة؛ أي إنها تتزايد أو تتناقص دائمًا. وعلى وجه التحديد، إذا كان ﺏ أكبر من واحد، فإنه يسمى معامل النمو، وتتزايد الدالة دائمًا. وإذا كان ﺏ يقع بين صفر وواحد، فإنه يسمى معامل التضاؤل، وتتناقص الدالة دائمًا.