فيديو: تمثيل الدوال الخطّية

أحمد مدحت

يوضح الفيديو تمثيل الدوال بالجداول، والأزواج المرتّبة، والتمثيل البياني، والتعبير عنها لفظيًّا، ومفهوم الدوال الخطّية، وتمثيلها، مع أمثلة توضيحية.

٠٩:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن تمثيل الدوال الخطّية.

في الفيديو ده، هنعرف إزّاي نمثّل الدالة الخطّية. بالنسبة للدالة الخطّية، فإحنا نقدر نعبّر عنها لفظيًّا. وممكن كمان نمثّلها بالجداول، وكمان من خلال التمثيل البياني، وكمان الأزواج المرتّبة.

هنشوف مثال على تمثيل الدالة. عندنا في المثال: مكتبة بتبيع علبة الأدوات الهندسية بجنيهين، ودفتر الملاحظات بجنيه واحد. وبذلك يكون ثمن س من علب الهندسة، وَ ص من دفاتر الملاحظات هو اتنين س زائد ص. ويريد عمر شراء بعض هذه الأنواع بخمسة جنيهات فقط. عايزين نمثّل المعادلة اتنين س زائد ص تساوي خمسة بيانيًّا. وكمان عايزين نعرف كم يستطيع عمر أن يشتري من كل نوع.

أول حاجة هنعملها إن إحنا هنكتب المعادلة اللي عندنا مرة كمان. والمعادلة هي: اتنين س زائد ص تساوي خمسة. بعد كده عايزين نحلّ المعادلة اللي عندنا بالنسبة لـ ص. يعني عايزين نخلّي ص لوحدها في طرف من الطرفين بتوع المعادلة. فهنطرح من طرفَي المعادلة اتنين س. فهتبقى المعادلة اللي عندنا عبارة عن: اتنين س، ناقص اتنين س، زائد ص تساوي خمسة، ناقص اتنين س. ولمّا هنبسّطها، هنلاقي ص تساوي خمسة ناقص اتنين س. بالنسبة للمعادلة: ص تساوي خمسة ناقص اتنين س، هنلاقي إن كل قيمة لـ س هتناظرها قيمة واحدة لـ ص. معنى كده إن المعادلة دي هتمثّل دالة.

بكده يبقى إحنا عندنا دالة، وعايزين نمثّلها بيانيًّا. فهنفرض قيم لـ س، ونعوّض بيها في العلاقة اللي عندنا؛ علشان نوجد قيم ص. وبكده هيبقى عندنا أزواج مرتّبة هنمثّلها بيانيًّا في المستوى الإحداثي. فهنعمل جدول زيّ اللي هيظهر لنا. بالنسبة للعمود الأول من الجدول، فإحنا هنفرض فيه قيم س، ولْيكُن القيم دي هتبقى: صفر، واحد، اتنين، تلاتة. بعد كده هنعوّض عن كل قيمة لـ س في العلاقة اللي عندنا. وده علشان نوجد قيمة ص المناظرة لكل قيمة لـ س.

وبكده هيبقى عندنا أزواج مرتّبة نقدر نمثّلها في المستوى الإحداثي. فهنكمّل الجدول، زيّ ما هيظهر لنا. وبكده من خلال الجدول اللي عندنا هيبقى عندنا أربع أزواج مرتّبة نقدر نمثّلهم في المستوى الإحداثي. فهيظهر لنا المستوى الإحداثي. هنبدأ بتمثيل الزوج المرتّب صفر وخمسة. واللي تمثيله هيكون عبارة عن نقطة في المستوى الإحداثي، هيكون الإحداثي السيني بتاعها صفر، والإحداثي الصادي بتاعها خمسة. يعني هتبقى هي النقطة دي، اللي بتمثّل الزوج المرتّب صفر وخمسة.

بعد كده الزوج المرتّب واحد وتلاتة. تمثيله بيانيًّا هيبقى عبارة عن النقطة دي. بعد كده الزوج المرتّب اتنين وواحد. هيكون تمثيله بيانيًّا هو النقطة دي. وأخيرًا الزوج المرتّب تلاتة وسالب واحد. واللي هيكون تمثيله بيانيًّا عبارة عن النقطة دي. بكده يبقى إحنا مثّلنا بيانيًّا كل زوج من الأزواج المرتّبة اللي عندنا. يعني مثّلنا المعادلة اللي عندنا بيانيًّا.

بعد كده هنشوف المطلوب التاني، وهو إيجاد كم يستطيع عمر أن يشتري من كلّ نوع. من خلال المعطيات اللي عندنا، هنلاقي إن س بتمثّل عدد علب الهندسة اللي هيشتريها عمر. وَ ص هتمثّل عدد دفاتر الملاحظات اللي هيشتريها عمر. وبما إن عمر ما ينفعش يشتري كمّيات سالبة، فهنلاقي عمر يقدر يشتري خمس دفاتر ملاحظات بس. أو علبة هندسة وتلات دفاتر ملاحظات. أو ممكن يشتري علبتين هندسة ودفتر ملاحظات واحد.

هنلاقي من خلال المثال ده، إن إحنا في الأول كان عندنا دالة معبّر عنها لفظيًّا. وبعد كده عبّرنا عنها في صورة رموز. بعد كده مثّلنا الدالة دي بجدول، وبعد كده بأزواج مرتّبة. وبعد كده مثّلناها بيانيًّا.

هنشوف مثال كمان نوضّح بيه أكتر. عندنا في المثال: عايزين نمثّل الدالة ص تساوي س زائد اتنين بيانيًّا.

بالنسبة للدالة اللي عندنا، هنلاقي إن س هتبقى هي المدخَلة، وَ ص هتبقى هي المخرَجة. هنبدأ نعمل جدول زيّ اللي هيظهر لنا. هنفرض أيّ أربع قيم للمُدْخَلة س. وبعد كده هنعوّض بالقيم دي بدلًا من س في العلاقة اللي عندنا؛ علشان نوجد قيم المخرَجة ص. فهنفرض إن قيم المدخَلة س هي: صفر، وواحد، واتنين، وتلاتة. بعد كده هنكمّل الجدول زيّ ما هيظهر لنا.

بكده بعد ما كمّلنا الجدول، هنلاقي فيه عندنا أربع أزواج مرتّبة. هنبدأ نمثّلهم بيانيًّا في المستوى الإحداثي. فهيظهر لنا المستوى الإحداثي. بعد كده هنمثّل بيانيًّا كل زوج من الأزواج المرتّبة اللي عندنا، زيّ ما هيظهر لنا. بعد كده هنوصّل ما بين النقط اللي عندنا. فهنلاقي عندنا خطّ مستقيم بيمُرّ بكل النقط. بالنسبة للخطّ المستقيم اللي عندنا ده، فهو بيمثّل الدالة اللي عندنا بيانيًّا. وبالنسبة لأيّ زوج مرتّب مناظر لأيّ نقطة على الخطّ هتُعتبَر حلّ للمعادلة: ص تساوي س زائد اتنين.

أمَّا بالنسبة للنقطة اللي بيقطع عندها الخطّ المستقيم محور السينات، واللي هي النقطة دي. فبتمثّل حلّ للمعادلة: س زائد اتنين تساوي صفر. وبالنسبة لمعنى حلول. فحلول المعادلة هي عبارة عن الأزواج المرتّبة اللي هتخلّي المعادلة اللي بتمثّل الدالة صحّ.

نقدر نتأكّد. فمثلًا بالنسبة للنقطة دي، هنلاقي الزوج المناظر ليها هو سالب اتنين وصفر. وبما إن النقطة دي بتقع عَ الخطّ المستقيم، فهي بتمثّل حلّ للمعادلة: ص تساوي س زائد اتنين. وهنتأكّد من كده من خلال التعويض في الدالة اللي عندنا. بالنسبة للدالة، فهي ص تساوي س زائد اتنين. هنعوّض عن س بسالب اتنين وعن ص بصفر. ونشوف هل الطرفين بتوع المعادلة متساويين ولّأ لأة. فلمّأ هنعوّض، هنلاقي الطرف الأيمن بيساوي صفر، والطرف الأيسر بيساوي صفر. يعني معنى كده إن الطرفين متساويين. معنى كده إن الزوج المرتّب سالب اتنين وصفر هيُعتَبَر حلّ للمعادلة اللي عندنا.

بالنسبة للمعادلة اللي حلولها بتمثَّل بيانيًّا بخطّ مستقيم، بنسمّيها دالة خطّية. وبالتالي المعادلة اللي عندنا، واللي هي ص تساوي س زائد اتنين، تبقى معادلة خطّية. بكده يبقى إحنا مثّلنا الدالة اللي عندنا بيانيًّا. ولأن تمثيلها بيانيًّا عبارة عن خطّ مستقيم. وبالتالي هي دالة خطّية أو معادلة خطّية.

بالنسبة للتمثيل بتاع الدوال، فممكن يكون بالتعبير اللفظي، زيّ مثلًا: قيم ص أقلّ بواحد من قيم س المناظرة ليها. بالنسبة للتعبير اللفظي ده، فإحنا نقدر نكتبه في صورة رموز تمثّل الدالة اللي عندنا. فهنلاقيها عبارة عن: ص تساوي س ناقص واحد. وده لأن قيم ص هتقلّ عن قيم س المناظرة ليها بمقدار واحد. كمان نقدر نمثّل الدوال من خلال الأزواج المرتّبة. فبالنسبة للأزواج المرتّبة صفر وسالب واحد، وواحد وصفر، واتنين وواحد، وتلاتة واتنين، تُعتَبَر بتمثّل الدالة: ص تساوي س ناقص واحد.

كمان نقدر نمثّل الدوال من خلال جداول. فبالنسبة للجدول اللي عندنا ده، فهو بيمثّل الدالة: ص تساوي س ناقص واحد. كمان الدالة نقدر نمثّلها من خلال التمثيل البياني زيّ ما هو موجود عندنا في الشكل. وبالنسبة للدالة اللي عندنا، واللي هي ص تساوي س ناقص واحد، هنلاقي إن تمثيلها بيانيًّا كان عبارة عن خطّ مستقيم. معنى كده إن هي دالة خطّية.

هنشوف مثال كمان. عندنا في المثال: عايزين نعرف أيّ مستقيم مما يأتي يُعدّ أفضل تمثيل للأزواج المرتّبة س وَ ص المبيّنة في الجدول الآتي. وعندنا في الجدول قيم س، وكمان قيمة ص اللي بتناظر كل قيمة لـ س. وعندنا أربع اختيارات، همّ أ، وَ ب، وَ ج، وَ د. وعايزين نشوف أيّ مستقيم من الأربع اختيارات دول هو اللي يُعتَبَر أفضل تمثيل للأزواج المرتّبة اللي عندنا. معنى كده إن إحنا عايزين نعرف أنهي شكل مِ الأشكال الأربعة اللي عندنا بتمثّل البيانات اللي موجودة في الجدول.

من خلال الجدول اللي موجود، هنلاقي إن فيه عندنا أربع أزواج مرتّبة: الزوج المرتّب الأول هو: سالب اتنين، وسالب تلاتة. والزوج المرتّب التاني هو: سالب واحد، وسالب واحد. والزوج المرتّب التالت: هو صفر، وواحد. والزوج المرتّب الرابع هو واحد، وتلاتة. فلمّا هنختبر الأزواج المرتّبة اللي عندنا دي، هنلاقي إن التمثيل البياني ج هو بس اللي بيحتوي على كل الأزواج المرتّبة. وبالتالي هتبقى الإجابة الصحيحة هي ج.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده، عرفنا إن الدوال نقدر نعبّر عنها لفظيًّا. وكمان ممكن نمثّلها من خلال الجداول، والتمثيل البياني، والأزواج المرتّبة. وعرفنا إن المعادلة اللي حلولها بتتمثّل بيانيًّا بخطّ مستقيم تُسمّى دالة خطّية. وعرفنا إن أيّ زوج مناظر لأيّ نقطة عَ الخطّ المستقيم بتُعتَبَر حلّ للمعادلة. وعرفنا كمان إن حلول المعادلة هي عبارة عن الأزواج المرتّبة اللي هتخلّي المعادلة اللي بتمثّل الدالة صحيحة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.