فيديو السؤال: إيجاد معامل قياس التشابه بين مضلعين بمعلومية أبعادهما الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺃﺏﺟﺩ يشبه ﻫﻭﺯﺣ، فأوجد معامل قياس التشابه بين ﻫﻭﺯﺣ إلى ﺃﺏﺟﺩ، وقيمة كل من ﺱ وﺹ.

في الصورة التي أمامنا لدينا شكلان رباعيان، الأول هو ﺃﺏﺟﺩ والآخر هو ﻫﻭﺯﺣ. وهذان الشكلان الرباعيان متشابهان. وفي المضلعات المتشابهة، تكون الزوايا المتناظرة متطابقة وتكون أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة. لاحظ هنا أن الزاوية ﺩ والزاوية ﺣ متطابقتان، وكذلك الزاويتان ﺟ وﺯ. ولأن كلا هذين الشكلين رباعيان، فإننا نعرف أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية لكل منهما يساوي ٣٦٠ درجة. وبما أن كلًّا منهما يحتوي على ثلاث زوايا متطابقة، فإن هذا يعني أن الزاوية الرابعة فيهما ستكون متطابقة أيضًا.

ويؤكد هذا أن الرءوس ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ تناظر الرءوس ﻫ وﻭ وﺯ وﺣ على الترتيب، كما يوضح السؤال. وبناء عليه، نعرف أن طول الضلع ﺃﺏ يناظر طول الضلع ﻫﻭ. وطول الضلع ﺏﺟ يناظر طول الضلع ﻭﺯ. وطول الضلع ﺟﺩ يناظر طول الضلع ﺯﺣ. وطول الضلع ﺩﺃ يناظر طول الضلع ﺣﻫ.

إذا تشابه شكلان، فإن هذا يعني أن أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة، ويمكننا التعبير عن ذلك باستخدام معاملات التشابه. على سبيل المثال، النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة في الشكلين ستكون متساوية. أي إن النسبة بين الطول ﺃﺏ على ﻫﻭ ستساوي ﺏﺟ على ﻭﺯ، وهو ما يساوي أيضًا ﺟﺩ على ﺯﺣ وﺩﺃ على ﺣﻫ. يمكننا أيضًا التعبير عن علاقات التناظر بين أطوال الأضلاع داخل كل شكل رباعي. فالنسبة بين الطول ﺃﺏ على ﺩﺟ ستساوي ﻫﻭ على ﺣﺯ. إذن بالنسبة إلى هذين المضلعين المتشابهين، لدينا معاملات التشابه هذه.

يمكننا استخدام معاملات التشابه هذه وإيجاد قيمة كل من ﺱ وﺹ. لكن مطلوب منا أيضًا إيجاد ما يسمى بمعامل قياس التشابه. نحن نستخدم معاملات قياس التشابه لضرب أطوال أضلاع أحد الشكلين فيها وإيجاد أطوال الأضلاع المناظرة في الشكل الآخر. لكن علينا أن ننتبه جيدًا لطريقة تحديد معاملات قياس التشابه ووصفها؛ وذلك للتأكد من وضوح نقطتي بداية ونهاية العمليات الحسابية. ونقوم بهذا الأمر على النحو التالي. إذا ضربنا طول أحد أضلاع المضلع ﺃﺏﺟﺩ في معامل قياس التشابه، فسنوجد طول الضلع المناظر له في المضلع ﻫﻭﺯﺣ. ننتقل هنا من الشكل الأكبر إلى الشكل الأصغر، وفي هذه الحالة نتوقع أن يكون معامل قياس التشابه أصغر من واحد.

من ناحية أخرى، سيختلف معامل قياس التشابه إذا استخدمنا طول أحد أضلاع المضلع ﻫﻭﺯﺣ لإيجاد طول الضلع المناظر له في المضلع ﺃﺏﺟﺩ. ففي هذه الحالة، نستخدم طول أحد أضلاع المضلع الأصغر ونحاول إيجاد طول الضلع المناظر له في المضلع الأكبر. وهنا نتوقع أن يكون معامل قياس التشابه أكبر من واحد. ومهمتنا عند إيجاد معامل قياس التشابه هي تحديد إذا ما كنا سنفعل ذلك بدءًا من المضلع الأكبر إلى الأصغر أم من الأصغر إلى الأكبر. من النظرة الأولى إلى العبارة «ﻫﻭﺯﺣ إلى ﺃﺏﺟﺩ»، نعلم أننا سنستخدم أضلاع المضلع الأصغر ﻫﻭﺯﺣ ونحاول إيجاد أضلاع المضلع الأكبر ﺃﺏﺟﺩ.

بالتفكير في هذه العبارة، نستنتج أن التشابه بين ﻫﻭﺯﺣ وﺃﺏﺟﺩ يشير إلى أن الشكل ﺃﺏﺟﺩ هو الشكل الأصلي، وأن ﻫﻭﺯﺣ هو الشكل الذي يشبهه. ومعامل قياس هذا التشابه هو معامل الضرب الذي يجب استخدامه مع أطوال أضلاع ﺃﺏﺟﺩ لإيجاد أطوال الأضلاع المناظرة في ﻫﻭﺯﺣ. وهذه هي أول حالة فكرنا بها، حيث توقعنا أن يكون معامل قياس التشابه أصغر من واحد. وبما أننا نعرف طولي ضلعين متناظرين في ﺃﺏﺟﺩ وﻫﻭﺯﺣ، يمكننا حساب معامل قياس التشابه. نستخدم طول الضلع ﺏﺟ من المضلع ﺃﺏﺟﺩ، وطول الضلع المناظر له ﻭﺯ من المضلع ﻫﻭﺯﺣ، ونفترض أن ﻝ هو معامل قياس التشابه، ونحن نعلم بالفعل أن الطول ﺏﺟ يساوي ٤٧. ونعلم أيضًا أن ﻭﺯ يساوي ١٨٫٨.

بقسمة طرفي المعادلة على ٤٧، نجد أن معامل قياس التشابه يساوي ٠٫٤. من الشائع كتابة معاملات القياس على صورة كسرية، ومن ثم يصبح لدينا معامل قياس التشابه يساوي خمسين. دعونا نستخدم هذه المعلومة لإيجاد قيمتي ﺹ وﺱ. بما أن ﺃﺏ يناظر ﻫﻭ، فإن لدينا ﺹ زائد أربعة في خمسين يساوي ١٩٫٢. وبقسمة كلا الطرفين على خمسين، يصبح لدينا ﺹ زائد أربعة يساوي ٤٨. وبطرح أربعة من كلا الطرفين، نجد أن ﺹ يساوي ٤٤.

لإيجاد قيمة ﺱ، لدينا طول الضلع المناظر ﺩﺟ مضروبًا في معامل قياس التشابه خمسين يساوي ﺣﺯ. أي إن ٣٤ في خمسين يساوي ﺱ، وهو ما يعني أن ﺱ يساوي ١٣٫٦. إذن، الإجابة النهائية هي أن معامل قياس التشابه يساوي خمسين، وﺱ يساوي ١٣٫٦، وﺹ يساوي ٤٤.