فيديو السؤال: إيجاد خمس نسب مثلثية بمعلومية نسبة مثلثية سادسة الرياضيات

أوجد جميع النسب المثلثية لـ 𝜃، علمًا بأن ظتا 𝜃 = −٨‏/‏١٥، حيث 𝜃 ∈ (٢𝜋‏/‏٢‎، ٢𝜋).

٠٥:٢٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد جميع النسب المثلثية لـ 𝜃، علمًا بأن ظتا 𝜃 يساوي سالب ثمانية على ١٥؛ حيث تقع 𝜃 بين ثلاثة 𝜋 على اثنين واثنين 𝜋.

أولًا، لنتناول النسب المثلثية. لدينا الجيب، وجيب التمام، والظل؛ حيث الجيب يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجيب التمام يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، والظل يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. لدينا أيضًا مقلوبات المتطابقات الثلاث الأولى. قاطع التمام هو الدالة العكسية للجيب، ويساوي طول الوتر على طول الضلع المقابل. والقاطع هو الدالة العكسية لـ [جيب التمام]؛ ويساوي طول الوتر على طول الضلع المجاور. وظل التمام هو الدالة العكسية للظل ويساوي طول الضلع المجاور على طول الضلع المقابل.

لدينا في المعطيات إحدى النسب، وهي ظتا 𝜃، وعلينا إيجاد الخمس المتبقية. بما أننا نعلم أن ظتا 𝜃 يساوي سالب ثمانية على ١٥، يمكننا القول إن ظا 𝜃 سيكون مقلوب ذلك، أي سالب ١٥ على ثمانية. لكن الأمر سيتطلب أكثر من ذلك لكي نوجد النسب الأربع الأخرى. لكن أولًا، علينا أن نفكر فيما نعرفه عن 𝜃. نعلم أن 𝜃 تقع بين ثلاثة 𝜋 على اثنين واثنين 𝜋. عند النظر إلى دائرة وحدة التي تبدأ من صفر، نجد أن ٩٠ درجة تساوي 𝜋 على اثنين و١٨٠ درجة تساوي 𝜋 و٢٧٠ درجة تساوي ثلاثة 𝜋 على اثنين و٣٦٠ درجة تساوي اثنين 𝜋.

بما أن الزاوية لدينا تقع بين ثلاثة 𝜋 على اثنين واثنين 𝜋، فإننا نتعامل مع زاوية تقع في الربع الرابع. وهذا يعطينا معلومات مهمة للغاية. ففي الربع الرابع، يكون لدينا نسب جيب سالبة ونسب جيب تمام موجبة ونسب ظل سالبة. هذا يعني أن نسبة الجيب ونسبة قاطع التمام ستكون سالبة، لكن نسبة كل من الجيب والقاطع ستكون موجبة. لكننا ما زلنا نفتقر إلى معلومة مهمة وهي طول ضلع ثالث.

إذا افترضنا أن هذه الزاوية هي 𝜃، فإن طول الضلع المقابل يساوي ١٥، وطول الضلع المجاور يساوي ثمانية. ويمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع الثالث الناقص، أي الوتر. تنص نظرية فيثاغورس على أن ﺟ تربيع يساوي ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع، حيث ﺟ هو طول الوتر في المثلث القائم الزاوية، وﺃ وﺏ هما طولا الضلعين الآخرين.

إذن، الوتر تربيع يساوي ثمانية تربيع زائد ١٥ تربيع. ‏٦٤ زائد ٢٢٥ يساوي ٢٨٩، وهو مربع طول الوتر. ولإيجاد طول الوتر، علينا أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة. الجذر التربيعي لمربع طول الوتر يساوي طول الوتر. والجذر التربيعي لـ ٢٨٩ يساوي موجب أو سالب ١٧. إذن، سنكتب هنا طول الوتر، ١٧.

‏جا قياس الزاوية لدينا يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، أي ١٥ على ١٧. لكن بما أننا نعرف موضعه، يمكننا القول إن جا 𝜃 يساوي سالب ١٥ على ١٧. قاطع التمام هو الدالة العكسية لهذه القيمة، أي إنه يساوي سالب ١٧ على ١٥. والآن سنوجد قيمة جتا 𝜃، وهو طول الضلع المجاور على طول الوتر، أي ثمانية على ١٧. وستكون هذه القيمة موجبة. قاطع قياس الزاوية سيكون الدالة العكسية لجيب التمام، أي ١٧ على ثمانية. إذن، لهذه الزاوية، جا يساوي سالب ١٥ على ١٧. ‏جتا يساوي موجب ثمانية على ١٧. ‏ظا يساوي سالب ١٥ على ثمانية. ‏قتا يساوي سالب ١٧ على ١٥. ‏قا يساوي ١٧ على ثمانية. وظتا، الموجود بالمعطيات لدينا، يساوي سالب ثمانية على ١٥.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.