فيديو: حل المعادلات التي تحتوي على القيمة المطلقة

أحمد مدحت

يوضح الفيديو كيفية كتابة المعادلات التي تحتوي على القيمة المطلقة (المقياس)، وكيفية حلها، من خلال أمثلة توضيحية.

١٧:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن حل المعادلات اللي بتحتوي على القيمة المطلقة أو المقياس. هدفنا من الفيديو ده إن إحنا نعرف إزَّاي نكتب معادلة تحتوي على قيمة مطلقة أو مقياس. وكمان نعرف إزَّاي نحلها.

بيكون فيه بعض المعادلات اللي بتحتوي على القيمة المطلقة أو المقياس لمقادير جبرية. وعلشان نحل النوع ده من المعادلات، فإحنا هنستخدم التعريف بتاع القيمة المطلقة. فمثلًا بالنسبة لأيّ أعداد حقيقية زي أ وَ ب؛ بحيث ب أكبر من أو يساوي صفر. فلو كان مقياس أ بيساوي ب، فهيبقى عندنا حالتين: يا إما أ يساوي ب، أو الحالة التانية إن سالب أ يساوي ب. وبالنسبة للحالة التانية واللي هي سالب أ يساوي ب. ففي الغالب بنكتبها على الصورة أ يساوي سالب ب.

فعلى سبيل المثال لو عندنا المعادلة: مقياس العدد س يساوي تلاتة.

علشان نحل المعادلة دي هيبقى عندنا حالتين. بالنسبة للحالة الأولى، واللي كان فيها أ بيساوي ب. فهيبقى س تساوي تلاتة. أما بالنسبة للحالة التانية، واللي فيها أ يساوي سالب ب. فهيبقى س يساوي سالب تلاتة. يعني مجموعة الحل بتاعة المعادلة هتبقى المجموعة تلاتة وسالب تلاتة.

بعد كده هنشوف مثال نعرف بيه إزَّاي نكتب المعادلة اللي بتحتوي على القيمة المطلقة، وكمان إزَّاي نحلها. فهنقلب الصفحة. هيظهر لنا المثال.

عندنا في المثال إن فيه شخص اسمه خالد، بيستخدم جهاز في المركز الرياضي علشان يحرق ميتين وتمانين سعر حراري في كل تمرين. ولكن عدد السعرات اللي بيحرقها في أي يوم، بتختلف بالزيادة أو بالنقصان بمقدار خمسة وعشرين سُعر عن الهدف المنشود. عايزين نكتب معادلة القيمة المطلقة؛ علشان نوجد الحدين الأعلى والأدنى لعدد السعرات اللي بيحرقها خالد خلال التمرين على الجهاز. وكمان عايزين نحل المعادلة دي.

بالنسبة للمثال ده فإحنا عايزين نجيب الحدّ الأعلى والأدنى لعدد السعرات اللي هيحرقها خالد من خلال التمرين على الجهاز. وعندنا الهدف اللي عايز يوصل له خالد. وكمان معانا مقدار الاختلاف بتاع عدد السعرات اللي هتتحرق كل يوم، سواء كان بالزيادة أو بالنقصان. واللي هو المدى.

بالنسبة للصورة العامة المعادلة اللي بتحتوي على القيمة المطلقة أو المقياس. ممكن نكتبها على الشكل: مقياس س ناقص ج يساوي د؛ بحيث إن ج هتمثّل القيمة اللي في الوسط، واللي بنسميها القيمة المركزية. أما بالنسبة لِـ د فبيكون المدى، واللي هو عبارة عن مقدار الاختلاف سواءً كان بالزيادة أو بالنقصان.

بالنسبة للمثال اللي عندنا فهيبقى الهدف بتاع خالد هو القيمة المركزية. معنى كده إن ج هتساوي ميتين وتمانين. أما بالنسبة للمدى واللي هو د، فهو هيساوي خمسة وعشرين؛ وده لأن مقدار الاختلاف سواء إن كان بالزيادة أو بالنقصان هو خمسة وعشرين. معنى كده علشان نكتب المعادلة، فهنعوّض مكان ج بميتين وتمانين، وهنعوض مكان د بخمسة وعشرين. وبالتالي هيبقى عندنا المعادلة هي المقياس بتاع س ناقص ميتين وتمانين يساوي خمسة وعشرين. وهي دي المعادلة المطلوبة.

معنى كده علشان نكتب المعادلة اللي بتحتوي على القيمة المطلقة، فإحنا بنحدّد حاجتين. أول حاجة القيمة المركزية. تاني حاجة المدى. بالنسبة للقيمة المركزية فإحنا بنكتبها جوه الرمز بتاع المقياس. أما بالنسبة للمدى، فإحنا بنكتبه في الطرف التاني بتاع المعادلة. بكده بعد ما كتبنا المعادلة، هنبدأ نحلها بس في الصفحة اللي جاية، فهنقلب الصفحة.

بالنسبة للمعادلة بتاعتنا، فهي مقياس س ناقص ميتين وتمانين يساوي خمسة وعشرين.

علشان نحل المعادلة اللي بتحتوي على القيمة المطلقة أو المقياس، فإحنا عندنا حالتين. بالنسبة للحالة الأولى فكانت أ يساوي ب. أما الحالة التانية فكانت أ يساوي سالب ب. معنى كده بالنسبة للحالة الأولى، فهتبقى عبارة عن س ناقص ميتين وتمانين، واللي هو المقدار الجبري اللي داخل المقياس بيساوي خمسة وعشرين. أما بالنسبة للحالة التانية، فهتبقى عبارة عن س ناقص ميتين وتمانين يساوي سالب خمسة وعشرين. كده بقى عندنا معادلتين. هنبدأ نحل كل معادلة فيهم؛ علشان نجيب قيمة س. هنبدأ بالمعادلة الأولى، وهي س ناقص ميتين وتمانين يساوي خمسة وعشرين. أول حاجة محتاجين نتخلّص من سالب ميتين وتمانين. وبالتالي هنضيف لطرفَي المعادلة ميتين وتمانين. فهتبقى المعادلة عبارة عن س ناقص ميتين وتمانين زائد ميتين وتمانين، يساوي خمسة وعشرين زائد ميتين وتمانين.

بكده يبقى إحنا اتخلصنا خلاص من سالب ميتين وتمانين. فهنلاقي س تساوي تلتمية وخمسة، وهي دي قيمة س في الحالة الأولى. بعد كده هنشوف المعادلة التانية، واللي هي س ناقص ميتين وتمانين تساوي سالب خمسة وعشرين. علشان نتخلص من سالب ميتين وتمانين، فإحنا هنضيف لطرفَي المعادلة ميتين وتمانين. فهنلاقي المعادلة اللي عندنا هتبقى عبارة عن س ناقص ميتين وتمانين زائد ميتين وتمانين، يساوي سالب خمسة وعشرين زائد ميتين وتمانين. بكده يبقى إحنا قدرنا نتخلّص من سالب ميتين وتمانين. فهنلاقي س تساوي ميتين خمسة وخمسين، وهي دي قيمة س في الحالة التانية.

بعد كده محتاجين نتأكد من الحل بتاعنا. ده هيكون من خلال إن إحنا هنعوّض بقيمة س في الطرف الأيمن بتاع المعادلة اللي عندنا، اللي فيه المقياس أو القيمة المطلقة. وهنشوف هل بيساوي الطرف الأيسر ولّا لأ. مرة لما س بتساوي تلتمية وخمسة. ومرة لما س بتساوي ميتين خمسة وخمسين. فلو الطرفين متساويين، هيبقى الحل بتاعنا صحيح. أما لو كان غير كده، فهيبقى الحل مش صحيح. فهنبدأ نتأكد من الحل بتاعنا.

هنبدأ أول حاجة لما س تساوي تلتمية وخمسة. فبالنسبة للمعادلة بتاعتنا فهي مقياس س ناقص ميتين وتمانين يساوي خمسة وعشرين. هنبدأ نعوّض عن س في الطرف الأيمن اللي فيه المقياس بتلتمية وخمسة، وهنشوف هل الطرف الأيمن بيساوي الطرف الأيسر واللي هو خمسة وعشرين، ولّا لأ. فهنعوّض عن س بتلتمية وخمسة. فيبقى الطرف الأيمن عبارة عن مقياس تلتمية وخمسة ناقص ميتين وتمانين. أما الطرف الأيسر فهيكون عبارة عن خمسة وعشرين. وعايزين نعرف هل الطرف الأيمن بيساوي الطرف الأيسر ولّا لأ. بالنسبة لتلتمية وخمسة ناقص ميتين وتمانين فهي بتساوي خمسة وعشرين. وبالتالي هيبقى الطرف الأيمن عبارة عن مقياس خمسة وعشرين. أما الطرف الأيسر فهو خمسة وعشرين. وإحنا عايزين نعرف هل الطرفين متساويين ولّا لأ.

بالنسبة لمقياس خمسة وعشرين، فهو بيساوي خمسة وعشرين. معنى كده إن الطرف الأيمن هيبقى خمسة وعشرين، والطرف الأيسر يبقى خمسة وعشرين؛ يعني الطرفين متساويين. وبالتالي س بتساوي تلتمية وخمسة قيمة صحيحة. بعد كده هنتأكد من إن قيمة س بتساوي ميتين خمسة وخمسين. فالمعادلة بتاعتنا هي مقياس س ناقص ميتين وتمانين يساوي خمسة وعشرين. بعد كده هنبدأ نعوّض عن س اللي موجودة في الطرف الأيمن اللي فيه المقياس بميتين خمسة وخمسين. فهنلاقي الطرف الأيمن هيبقى عبارة عن مقياس ميتين خمسة وخمسين ناقص ميتين وتمانين. أما الطرف الأيسر فهيساوي خمسة وعشرين، وإحنا عايزين نعرف هل الطرفين متساويين ولّا لأ.

بالنسبة للطرف الأيمن فهنلاقي إن ميتين خمسة وخمسين ناقص ميتين وتمانين، بيساوي سالب خمسة وعشرين. معنى كده إن الطرف الأيمن هيبقى عبارة عن مقياس سالب خمسة وعشرين. أما الطرف الأيسر فهو خمسة وعشرين. وإحنا عايزين نعرف هل الطرفين متساويين ولّا لأ.

بالنسبة لمقياس سالب خمسة وعشرين، فهو بيساوي خمسة وعشرين. وبالتالي الطرف الأيمن هيبقى خمسة وعشرين، والطرف الأيسر خمسة وعشرين. يعني الطرف الأيمن هيساوي الطرف الأيسر. وبالتالي س بتساوي ميتين خمسة وخمسين. بكده يبقى س بتساوي تلتمية وخمسة، وَ س بتساوي ميتين خمسة وخمسين. هنبدأ نمثّل للقيمتين دول على خط الأعداد بس في الصفحة اللي جاية. فهنقلب الصفحة.

هيظهر لنا خط الأعداد متمثّل عليه القيمتين دول. هنلاحظ على خط الأعداد إن الحلين بتوعنا، وهمّ س تساوي تلتمية وخمسة، وَ س تساوي ميتين خمسة وخمسين. بيبعدوا مسافة خمسة وعشرين وحدة من القيمة المركزية، واللي هي ميتين وتمانين، واللي هو الهدف بتاع خالد. بكده هتبقى حلول المعادلة هي تلتمية وخمسة، وميتين خمسة وخمسين. معنى كده إن هيبقى الحدّ الأعلى لعدد السعرات اللي هيحرقها خالد خلال التمرين على الجهاز، هو تلتمية وخمسة سعر حراري. أما بالنسبة للحدّ الأدنى فهيكون ميتين خمسة وخمسين سعر حراري. وهو ده الحل المطلوب.

هنقلب الصفحة.

بما إن القيمة المطلقة لعدد دايمًا موجبة أو صفر. فالمعادلة اللي زيّ مقياس س تساوي سالب أربعة، هتبقى غير صحيحة. وبالتالي مش هيكون ليها حلول. وبالتالي مجموعة الحل للنوع ده من المعادلات هيكون عبارة عن المجموعة الخالية. يعني هتبقى مجموعة الحل بتاعة المعادلة: مقياس س تساوي سالب أربعة، هي المجموعة الخالية، واللي رمزها هو ده، أو ده. هنشوف مثال نوضح بيه أكتر. هيظهر لنا المثال.

في المثال اللي عندنا عايزين نحل المعادلة: مقياس تلاتة س ناقص اتنين زائد تمنية يساوي واحد.

هنكتب المعادلة اللي عندنا مرة كمان. المعادلة هي القيمة المطلقة أو مقياس المقدار تلاتة س ناقص اتنين زائد تمنية يساوي واحد. عايزين نخلّي مقياس تلاتة س ناقص اتنين في طرف من الطرفين بتوع المعادلة. وبالتالي محتاجين نتخلّص من موجب تمنية. فهنطرح من طرفَي المعادلة تمنية. فلما هنطرح تمنية من طرفَي المعادلة، هتبقى عبارة عن مقياس تلاتة س ناقص اتنين زائد تمنية ناقص تمنية، يساوي واحد ناقص تمنية. بكده يبقى إحنا اتخلّصنا خلاص من موجب تمنية. فهيبقى عندنا مقياس تلاتة س ناقص اتنين يساوي سالب سبعة. يعني إحنا عندنا مقياس المقدار تلاتة س ناقص اتنين بيساوي عدد سالب. وبالتالي هتبقى المعادلة دي غير صحيحة؛ يعني مالهاش حلول. وبالتالي هتبقى مجموعة الحل بتاعة المعادلة هي المجموعة الخالية.

بعد كده هنقلب الصفحة.

عندنا في الرياضيات بيكون فيه قيود، واللي هي بتكون عبارة عن حالة لازم يكون فيها الحَلّ بيحقّق المعادلة. فيه حالات بقى بتكون فيها المعادلات هي القيود اللي في المسألة. والحلول بتاعة المعادلة لازم تحقّق القيود دي. فلما بنحل المعادلة، وحتى لو كانت الخطوات بتاعة الحل صحيحة. فالإجابات ممكن ما تكونش هي الحلول الفعلية للمعادلة الأصلية. في الحالة دي الحل بنسميه حل مرفوض. هيظهر لنا مثال نوضح بيه أكتر.

عندنا في المثال عايزين نحل المعادلة: مقياس س زائد عشرة يساوي أربعة س ناقص تمنية. وبعد كده عايزين نتأكد من الحل بتاعنا.

بالنسبة للمعادلة اللي عندنا، فهي بتحتوي على قيمة مطلقة. وبالتالي علشان نحل المعادلة دي، هيبقى عندنا حالتين. بالنسبة للحالة الأولى فهتكون هي الحالة اللي فيها أ يساوي ب. يعني في الحالة الأولى هيبقى عندنا س زائد عشرة، يساوي أربعة س ناقص تمنية. أما الحالة التانية فهيكون فيها أ يساوي سالب ب. يعني هيبقى عندنا س زائد عشرة، يساوي سالب أربعة س ناقص تمنية.

كده هيبقى عندنا معادلتين هنحلهم. هنبدأ بالمعادلة بتاعة الحالة الأولى، وهي س زائد عشرة يساوي أربعة س ناقص تمنية. فأول حاجة هنعملها إن إحنا هنطرح من طرفَي المعادلة س. وبالتالي هتبقى المعادلة عبارة عن عشرة يساوي تلاتة س ناقص تمنية. بعد كده عايزين نتخلص من السالب تمنية. وبالتالي هنضيف لطرفَي المعادلة تمنية. فهتبقى المعادلة عبارة عن تمنتاشر يساوي تلاتة س. وإحنا عندنا تلاتة مضروبة في الـ س. علشان نتخلص منها، فإحنا هنقسم طرفَي المعادلة على تلاتة. فهيبقى عندنا المعادلة ستة يساوي س. يعني س تساوي ستة.

بعد كده هنشوف المعادلة التانية، وهي س زائد عشرة يساوي سالب، أربعة س ناقص تمنية. في المعادلة دي هنلاقي إن فيه إشارة سالبة قبل القوس أربعة س ناقص تمنية. فهنضرب القوس ده في سالب واحد. وبالتالي هيبقى عندنا المعادلة س زائد عشرة يساوي سالب أربعة س زائد تمنية. بعد كده هنضيف لطرفَي المعادلة أربعة س. فهتبقى المعادلة بتاعتنا عبارة عن خمسة س زائد عشرة يساوي تمنية. بعد كده هنطرح من طرفَي المعادلة عشرة. فهنلاقي خمسة س يساوي سالب اتنين. بعد كده هنقسم طرفَي المعادلة على خمسة. فهنلاقي س تساوي سالب اتنين على خمسة.

بكده بعد ما حلّينا المعادلتين اللي موجودين في الحالة الأولى والحالة التانية. نقدر نقول إن الظاهر لينا إن المعادلة الأصلية هيكون ليها حلين، همّ ستة وسالب اتنين على خمسة. لكن ما نقدرش نأكد إن هي دي الحلول الفعلية إلا بعد ما نتأكد من حلولنا. وبالتالي هنبدأ إن إحنا نتأكد من الحل بتاعنا. وده هيكون من خلال إن إحنا هنعوّض بقيمة س في المعادلة الأصلية. مرة بِـ س تساوي ستة، ومرة بِـ س تساوي سالب اتنين على خمسة. ونشوف هل الطرفين بتوع المعادلة متساويين ولّا لأ. فلو كان الطرفين بتوع المعادلة متساويين، ده معناه إن الحل ده بيحقّق المعادلة وهيبقى حل صحيح. أما لو كان الطرفين بتوع المعادلة مش متساويين، فده معناه إن الحل ده مش بيحقق المعادلة. وبالتالي هيبقى حل مرفوض.

أول حاجة هنبدأ نتأكد من الحل اللي فيه س تساوي ستة. فبالنسبة للمعادلة الأصلية فهي مقياس س زائد عشرة يساوي أربعة س ناقص تمنية. هنبدأ نعوّض مكان س في المعادلة دي بستة. فيبقى عندنا الطرف الأيمن عبارة عن مقياس ستة زائد عشرة. أما الطرف الأيسر فهيبقى عبارة عن أربعة في ستة ناقص تمنية. وإحنا عايزين نعرف هل الطرفين دول متساويين ولّا لأ. بالنسبة للطرف الأيمن فهيبقى مقياس ستاشر. أما بالنسبة للطرف الأيسر فهيبقى عبارة عن أربعة وعشرين ناقص تمنية. بالنسبة لمقياس ستاشر فهو بيساوي ستاشر. يعني الطرف الأيمن بيساوي ستاشر. أما بالنسبة لأربعة وعشرين ناقص تمنية فهي بتساوي ستاشر. يعني الطرف الأيسر هيساوي ستاشر. وبالتالي الطرف الأيمن بيساوي الطرف الأيسر. وبالتالي س تساوي ستة حل من حلول المعادلة.

بعد كده بنفس الطريقة هنتأكد من الحل التاني زي ما هيظهر لنا. فلما هنعوّض مكان س في المعادلة الأصلية بِـ س تساوي سالب اتنين على خمسة. هنلاقي الطرف الأيمن بيساوي تسعة وتلاتة على خمسة. أما الطرف الأيسر فبيساوى سالب تسعة وتلاتة على خمسة. يعني الطرف الأيمن مش بيساوي الطرف الأيسر. وبالتالي هيبقى الحل اللي فيه س بتساوي سالب اتنين على خمسة ما بيحققش المعادلة. وبالتالي هيبقى حل مرفوض. وبالتالي المعادلة دي هيبقى ليها حل وحيد، وهو ستة. يعني مجموعة الحل للمعادلة هي المجموعة ستة.

هنلاحظ من خلال المثال ده إن ممكن يكون للمعادلات اللي بتحتوي على قيمة مطلقة أو مقياس حل وحيد بس. وكمان هنلاحظ في النوع ده من المعادلات إن بيكون فيه حالتين. وبنحل المعادلة اللي موجودة في كل حالة. بعد كده بنتأكّد من الحلول اللي عندنا علشان نعرف إذا كانت الحلول دي فعلية ولا مرفوضة.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إزَّاي نكتب ونحل المعادلات اللي بتحتوي على القيمة المطلقة أو المقياس. وكمان عرفنا إن في الحل بتاع المعادلات دي، بيكون عندنا حالتين. وبالتالي ممكن يكون عندنا حلين. وكمان عرفنا إن المعادلات دي ساعات بيكون مالهاش حلول، أو ممكن يكون ليها حل وحيد. وده بيتوقف على تحقيق الحلول للمعادلة الأصلية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.