فيديو الدرس: خواص المحددات الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد خواص المحددات ونستخدمها لحل المسائل.

٢٦:٤٨

‏نسخة الفيديو النصية

خواص المحددات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد خواص المحددات ونستخدمها لحل المسائل. وسوف نركز على أربع خواص فقط، وجميع الخواص المذكورة تنطبق على المصفوفات المربعة من أي رتبة. لكننا سنركز فقط على المصفوفات من الرتبة اثنان في اثنين والرتبة ثلاثة في ثلاثة. قبل أن نتعرف على هذه الخواص، دعونا نبدأ بتذكر كيفية حساب قيم محددات المصفوفات من الرتبة اثنان في اثنين.

لعلنا نتذكر أن محدد مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين هو الفرق بين حاصلي ضرب عناصر قطري المصفوفة. وفي هذه المصفوفة، سنجد أنه ﺃ واحد واحد في ﺃ اثنين اثنين ناقص ﺃ واحد اثنين في ﺃ اثنين واحد. يمكننا استخدام هذا التعريف للتفكير في الخاصية الأولى. دعونا نبدأ بتسمية هذه المصفوفة ﺃ. إننا نريد أن نعرف إذا ما كان بإمكاننا وضع صيغة لمحدد عدد ثابت مضروبًا في ﺃ. وفي هذه الحالة، نحن بالتأكيد نتعامل مع مصفوفات من الرتبة اثنان في اثنين فقط. ويمكننا فعل ذلك مباشرة من تعريف المحدد وضرب المصفوفة في عدد ثابت. تذكر أنه عند ضرب أي مصفوفة في عدد ثابت، فإننا نضرب جميع عناصر المصفوفة في هذا العدد الثابت.

يمكننا بعد ذلك حساب قيمة محدد هذه المصفوفة بحساب الفرق بين حاصلي ضرب القطرين. وهذا يعطينا محدد المصفوفة ﻙ في ﺃ يساوي ﻙ في ﺃ واحد واحد مضروبًا في ﻙ في ﺃ اثنين اثنين ناقص ﻙ في ﺃ واحد اثنين مضروبًا في ﻙ في ﺃ اثنين واحد. ويمكننا تبسيط هذا التعبير. نلاحظ هنا أن الحد الأول يتضمن العامل ﻙ تربيع، والحد الثاني يتضمن أيضًا العامل ﻙ تربيع. وبإخراج العامل المشترك ﻙ تربيع، يصبح لدينا التعبير التالي. وهو ﻙ تربيع مضروبًا في الفرق بين حاصلي ضرب عناصر القطرين. إنه محدد المصفوفة ﺃ. وبذلك، نكون قد أوضحنا أنه لأي مضاعف قياسي ﻙ ومصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، تكون قيمة محدد ﻙ في ﺃ هي ﻙ تربيع مضروبًا في محدد ﺃ.

يمكننا الحصول على نتيجة مشابهة للمصفوفات من الرتبة ثلاثة في ثلاثة باستخدام تعريف المحدد؛ حيث نحصل على أكبر فرق عند حساب قيمة محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، ويكون به ثلاثة عوامل. وعليه، يكون لدينا العامل المشترك ﻙ تكعيب بدلًا من ﻙ تربيع. في الواقع، يمكن تطبيق هذه الخاصية على المصفوفات بوجه عام، وذلك على الرغم من أننا أثبتناها للمصفوفات من الرتبة اثنان في اثنين فقط. لأي مصفوفة مربعة ﺃ من الرتبة ﻥ في ﻥ وأي كمية قياسية ﻙ، تكون قيمة محدد ﻙ في ﺃ مساوية لـ ﻙ أس ﻥ مضروبًا في قيمة محدد ﺃ. وعند حساب قيمة محدد أي مصفوفة، يمكننا إخراج الكمية القياسية ﻙ كعامل مشترك. كل ما علينا فعله حينها هو رفعه إلى القوة ﻥ؛ حيث ﻥ هي رتبة المصفوفة ﺃ. ثمة عمليات أخرى يمكننا تطبيقها على المصفوفات المربعة. لذا، دعونا نر كيف تؤثر هذه العمليات على محدد هذه المصفوفة.

إحدى هذه العمليات هي «تدوير المصفوفة». تذكر أن هذا يعني أن صفوف المصفوفة تصبح أعمدة، وأعمدة المصفوفة تصبح صفوفًا. هيا نر كيف يمكننا مقارنة محدد مدور المصفوفة ﺃ بمحدد المصفوفة ﺃ للمصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي لدينا. في البداية، سنعيد التأكيد على أنه عند إيجاد مدور المصفوفة، فإن صفوف المصفوفة لدينا تصبح أعمدة في المصفوفة الجديدة. إذن، سيكون الصف الأول من المصفوفة ﺃ هو العمود الأول من مدور المصفوفة ﺃ. نلاحظ هنا أن الفرق الوحيد بين المصفوفة ﺃ ومدور المصفوفة ﺃ هو أن العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني تم تبديله مع العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الأول. يمكننا حساب قيمة محدد هذه المصفوفة بإيجاد الفرق بين حاصلي ضرب القطرين. سنجد أن لدينا ﺃ واحد واحد في ﺃ اثنين اثنين ناقص ﺃ اثنين واحد في ﺃ واحد اثنين. بعد ذلك، يمكننا التعبير عن هذا بدلالة محدد ﺃ باستخدام خاصية الإبدال عند ضرب المصفوفة في عدد ثابت. هذا المقدار يساوي محدد ﺃ.

بذلك، نكون قد أثبتنا أنه لأي مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، يكون محدد مدور المصفوفة ﺃ مساويًا لمحدد المصفوفة ﺃ. يمكننا أن نثبت أن هذا ينطبق أيضًا على المصفوفات من الرتبة ثلاثة في ثلاثة أو أي مصفوفة مربعة. أسهل طريقة لفعل ذلك هي فك محدد ﺃ باستخدام الصف الأول، ثم فك محدد مدور ﺃ باستخدام العمود الأول. وهذا يعطينا الخاصية الثانية. لأي مصفوفة مربعة ﺃ، يكون محدد مدور المصفوفة ﺃ مساويًا لمحدد المصفوفة ﺃ. دعونا الآن ننتقل إلى الخواص التي تتضمن المحددات الناتجة عن دمج المصفوفات بطرق مختلفة.

أول طريقة قد نفكر فيها لدمج المصفوفات هي جمع المصفوفات معًا. إذا كانت لدينا مصفوفتان من الرتبة اثنان في اثنين، ﺃ وﺏ، فما قيمة محدد مجموعهما؟ حسنًا، سيكون من الصعب جدًّا حساب ذلك. وبالنسبة إلى المصفوفات من أي رتبة، سيكون ذلك مستحيلًا. إذن، بدلًا من ذلك دعونا نفكر في حاصل ضرب هاتين المصفوفتين. ما محدد حاصل ضرب المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺏ؟

سنبدأ بإيجاد تعبير لمحدد ﺃ في ﺏ. تذكر أنه عند إيجاد حاصل ضرب مصفوفتين، فإن عناصر الصف ﺱ والعمود ﺹ لناتج حاصل الضرب هذا ستكون مجموع حاصلي ضرب عناصر الصف ﺱ من المصفوفة ﺃ في عناصر العمود ﺹ من المصفوفة ﺏ. على سبيل المثال، العنصر في الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة ﺃ في ﺏ هو ﺃ واحد واحد في ﺏ واحد واحد زائد ﺃ واحد اثنين في ﺏ اثنين واحد. يمكننا تطبيق العملية نفسها لإيجاد باقي عناصر المصفوفة ﺃﺏ. إننا نريد إيجاد محدد هذه المصفوفة. وللقيام بذلك، علينا حساب الفرق بين حاصلي ضرب عناصر القطرين. بفعل ذلك ثم توزيع الأقواس والتبسيط، نحصل على التعبير التالي. وهو تعبير يبدو معقدًا للغاية.

لكننا نلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام هنا. وهو أن هذا التعبير في الواقع يساوي محدد المصفوفة ﺃ مضروبًا في محدد المصفوفة ﺏ. ونلاحظ ذلك بإخراج العوامل المشتركة من التعبير أو باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني لتوزيع هذه الأقواس. وبهذا، نكون قد أوضحنا أنه لأي مصفوفتين من الرتبة اثنان في اثنين، ﺃ وﺏ، يكون محدد ﺃ في ﺏ مساويًا لمحدد ﺃ مضروبًا في محدد ﺏ. وفي الواقع، يمكننا أن نثبت أن هذا ينطبق على المصفوفات بوجه عام. لدينا الآن الخاصية الثالثة لمحددات المصفوفات. إذا كانت ﺃ وﺏ مصفوفتين مربعتين من الرتبة نفسها، فإن محدد ﺃ في ﺏ يساوي محدد ﺃ مضروبًا في محدد ﺏ.

ثمة خاصية أخرى نريد إثباتها بشأن محددات المصفوفات. يتعلق الأمر هذه المرة بمحدد نوع معين من المصفوفات. سنتناول محدد أي مصفوفة مثلثية، على سبيل المثال لدينا المصفوفة المثلثية العليا من الرتبة اثنان في اثنين؛ ﺃ واحد واحد، ﺃ واحد اثنان، صفر، ﺃ اثنان اثنان. يمكننا حساب قيمة محدد هذه المصفوفة؛ وهو يساوي الفرق بين حاصلي ضرب عناصر القطرين. وهذا يعطينا ﺃ واحد واحد في ﺃ اثنين اثنين ناقص صفر في ﺃ واحد اثنين. ويحتوي الحد الثاني على المعامل صفر، لذا فهو يساوي صفرًا. نلاحظ هنا شيئًا مثيرًا للاهتمام. محدد هذه المصفوفة يساوي حاصل ضرب عنصري القطر الرئيسي. في الواقع، يمكننا أن نثبت أن هذا ينطبق أيضًا على المصفوفات المثلثية السفلى من الرتبة اثنان في اثنين. تذكر أن المصفوفة المثلثية السفلى هي مصفوفة تكون كل العناصر الموجودة أعلى القطر الرئيسي لها أصفارًا. محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ ﺏ واحد واحد، صفر، ﺏ اثنان واحد، ﺏ اثنان اثنان يساوي ﺏ واحد واحد مضروبًا في ﺏ اثنين اثنين؛ أي حاصل ضرب عنصري القطر الرئيسي.

بذلك نكون قد أثبتنا أن محدد أي مصفوفة مثلثية من الرتبة اثنان في اثنين يساوي حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي لها. في الحقيقة، يمكننا أن نثبت أن هذا الأمر ينطبق على المصفوفات المثلثية العليا أو السفلى من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وذلك باستخدام تعريف المحدد. وبالمثل، يمكننا إثبات ذلك لأي مصفوفة مربعة من الرتب العليا. وهذه هي الخاصية الرابعة للمحددات. محدد أي مصفوفة مثلثية مربعة، عليا أو سفلى، يساوي حاصل ضرب العناصر في القطر الرئيسي لها. دعونا الآن نتناول مثالًا يوضح كيفية استخدام بعض هذه الخواص لمساعدتنا في حل أسئلة تتضمن محددات مصفوفات مختلفة.

إذا كانت ﺃ مصفوفة مربعة من الرتبة اثنان في اثنين، وكان محدد اثنين ﺃ يساوي ١٢، فإن محدد ثلاثة في مدور المصفوفة ﺃ يساوي (فراغ). هل الناتج هو الخيار (أ) ١٨ أم الخيار (ب) ٢٤ أم الخيار (ج) ٢٧؟ أم هو الخيار (د) ٣٦؟

في هذا السؤال، لدينا بعض المعلومات عن محدد مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ وهي المصفوفة ﺃ. يخبرنا السؤال أن قيمة محدد اثنين ﺃ تساوي ١٢، وعلينا استخدام هذه المعلومة لإيجاد قيمة محدد ثلاثة في مدور المصفوفة ﺃ. بما أننا نعلم أن ﺃ مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، ربما نفكر في البدء بتعريف ﺃ بأنها مصفوفة بها أربعة عناصر مجهولة. ويمكننا بعد ذلك التعويض بالتعبير الدال على ﺃ في معادلتنا لإيجاد تعبير لمحدد ﺃ، ثم نحاول استخدام هذا لإيجاد تعبير لمحدد ثلاثة في مدور المصفوفة ﺃ. سيكون ذلك صحيحًا؛ لكنها خطوات معقدة للغاية. بدلًا من ذلك، علينا ملاحظة أن المعادلتين لدينا تتضمنان محددي مصفوفتين.

وعليه، سنبدأ بالتبسيط باستخدام خواص المحددات. سنبدأ بتبسيط التعبير الدال على محدد اثنين في ﺃ. وللقيام بذلك، دعونا نسترجع معًا الخاصية التالية. لأي مصفوفة مربعة، ﺏ، من الرتبة ﻥ في ﻥ وأي كمية قياسية ﻙ، يكون محدد ﻙ في ﺏ مساويًا لـ ﻙ أس ﻥ مضروبًا في محدد ﺏ. في الحالة التي لدينا، ﺃ هي مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين. إذن، قيمة ﻥ هي اثنان، ومن ذلك نجد أن المحدد اثنين ﺃ يساوي اثنين تربيع مضروبًا في محدد ﺃ، وهو ما يساوي بالطبع أربعة في محدد ﺃ. يمكننا التعويض بهذا عن محدد اثنين ﺃ في المعادلة المعطاة في السؤال. يصبح لدينا إذن أربعة في محدد ﺃ يساوي ١٢. ويمكننا هنا الحل لإيجاد قيمة محدد ﺃ. وذلك بقسمة طرفي المعادلة على أربعة. ومن ذلك، نجد أن قيمة محدد المصفوفة ﺃ تساوي ثلاثة.

لكن المطلوب منا ليس إيجاد قيمة محدد ﺃ؛ بل إيجاد قيمة محدد ثلاثة في مدور ﺃ. للقيام بذلك، دعونا نحاول تبسيط هذا التعبير باستخدام خواص المحددات. نحن نعلم أنه عند إيجاد مدور مصفوفة، فإننا نبدل الصفوف والأعمدة معًا. إذن، مدور المصفوفة ﺃ هو أيضًا مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين. وهذا يعني أنه يمكننا تطبيق الخاصية نفسها مرة أخرى. مدور المصفوفة ﺃ سيكون مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين. ومن ثم، فإن محدد ثلاثة في مدور ﺃ سيساوي ثلاثة تربيع مضروبًا في محدد مدور ﺃ. ويمكننا تبسيط ذلك ليصبح لدينا تسعة في محدد مدور ﺃ، وبإمكاننا تبسيط هذا التعبير أكثر من ذلك باستخدام إحدى الخواص الأخرى للمحددات.

إننا نعلم أنه لأي مصفوفة مربعة ﺏ، يكون محدد مدور ﺏ مساويًا لمحدد ﺏ. ونعرف كذلك أن مدور ﺃ عبارة عن مصفوفة مربعة؛ لذا يمكننا التعويض عن مدور المحدد بمحدد ﺃ، ليصبح لدينا تسعة مضروبًا في محدد ﺃ. ونحن نعرف قيمة محدد المصفوفة ﺃ. إنه يساوي ثلاثة. ومن ثم، يمكننا التعويض بثلاثة عن محدد ﺃ لنحصل على تسعة في ثلاثة، وهو ما يساوي ٢٧، وكما نرى، هذا هو الخيار (ج).

بذلك، نكون قد أوضحنا أنه إذا كانت ﺃ مصفوفة مربعة من الرتبة اثنان في اثنين، وكانت قيمة محدد اثنين ﺃ تساوي ١٢، فإن قيمة محدد ثلاثة في مدور المصفوفة ﺃ تساوي ٢٧.

دعونا الآن نتناول مثالًا آخر نستخدم فيه خواص محدد حاصل ضرب مصفوفتين.

إذا كان محدد المصفوفة ﺃ في ﺏ يساوي ١٨، ومحدد المصفوفة ﺃ يساوي اثنين، فأوجد محدد المصفوفة ﺏ.

في هذا السؤال، لدينا بعض المعلومات عن مصفوفتين؛ ﺃ وﺏ. يخبرنا السؤال أن قيمة محدد المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺏ تساوي ١٨، وأن قيمة محدد المصفوفة ﺃ تساوي اثنين. علينا استخدام هاتين المعلومتين لتحديد قيمة محدد ﺏ. لحل هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر إحدى خواص المحددات؛ وهي تلك التي تربط بين حاصل ضرب مصفوفتين ومحدد كل مصفوفة على حدة.

إننا نعلم أنه إذا كانت ﺃ وﺏ مصفوفتين مربعتين من الرتبة نفسها، يكون محدد ﺃ في ﺏ مساويًا لمحدد ﺃ مضروبًا في محدد ﺏ. ربما نفكر في تطبيق هذه الخاصية مباشرة لحل السؤال لدينا. لكن هناك مشكلة؛ فنحن لا نعرف رتبتي المصفوفتين ﺃ وﺏ. ولكي نتمكن من تطبيق هذه الخاصية، لا بد أن تكون المصفوفتان ﺃ وﺏ مصفوفتين مربعتين ولهما الرتبة نفسها. ويمكننا إثبات أنهما كذلك باستخدام المعطيات التي لدينا. حسنًا، يخبرنا السؤال أن قيمة محدد المصفوفة ﺃ تساوي اثنين. ونحن نتذكر أنه لا يمكن إيجاد قيمة محدد إلا للمصفوفات المربعة، وعليه فإن ﺃ مصفوفة مربعة. وبالمثل، محدد ﺃﺏ يساوي ١٨، ومن ثم، فإن المصفوفة ﺃ في ﺏ هي أيضًا مصفوفة مربعة.

يمكننا الآن استخدام هذه المعلومات لإيجاد تعبير لرتبة المصفوفة ﺏ. بما أن ﺃ هي مصفوفة مربعة، يمكننا قول إن رتبتها تكون على الصورة ﻥ في ﻥ. ولكننا لا نعرف رتبة المصفوفة ﺏ. سنفترض أن رتبتها هي ﻡ في ﻝ. إذن، لدينا طريقتان مختلفتان لإيجاد تعبير لرتبة ﺃ في ﺏ. أولًا، تذكر أنه عند ضرب مصفوفتين معًا، تكون رتبة المصفوفة الناتجة هي عدد صفوف المصفوفة الأولى في عدد أعمدة المصفوفة الثانية. إذن، المصفوفة ﺃﺏ لا بد أن تكون من الرتبة ﻥ في ﻝ. ولكننا أوضحنا بالفعل أن ﺃﺏ مصفوفة مربعة. وعليه، فإن عدد صفوفها يجب أن يكون مساويًا لعدد أعمدتها. بعبارة أخرى، ﻥ يساوي ﻝ. إذن يمكننا التعويض عن ﻝ بـ ﻥ.

وأخيرًا، لتحديد قيمة ﻡ، نلاحظ أنه يمكننا ضرب المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺏ من الجهة اليسرى. وتذكر أنه لكي يكون حاصل ضرب مصفوفتين معرفًا تمامًا، يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساويًا لعدد صفوف المصفوفة الثانية. ومن ثم، لا بد أن يكون ﻥ مساويًا لـ ﻡ. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن ﺃ مصفوفة مربعة وﺏ مصفوفة مربعة أيضًا، ورتبتي المصفوفتين ﺃ وﺏ متساويتان. لذا، يمكننا الآن تطبيق الخاصية التي ذكرناها لحل السؤال. محدد ﺃﺏ يساوي محدد ﺃ مضروبًا في محدد ﺏ. بعد ذلك، يخبرنا السؤال أن قيمة محدد ﺃﺏ تساوي ١٨، وقيمة محدد ﺃ تساوي اثنين. إذن، ١٨ يساوي اثنين في قيمة محدد ﺏ. وأخيرًا، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على اثنين لنحصل على قيمة محدد ﺏ؛ وهي تسعة.

إذن، لقد تمكنا من توضيح أنه إذا كان محدد المصفوفة ﺃﺏ يساوي ١٨، وقيمة محدد المصفوفة ﺃ تساوي اثنين، فإن قيمة محدد المصفوفة ﺏ لا بد أن تساوي تسعة.

دعونا الآن نتناول سؤالًا مطلوب منا فيه إيجاد قيمة محدد مصفوفة مثلثية.

أوجد قيمة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ خمسة، سالب واحد، سالب ثمانية، صفر، اثنان، ٦٠، صفر، صفر، صفر.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة محدد مصفوفة معطاة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. ويمكننا فعل ذلك باستخدام تعريف المحدد. لكن في الواقع، ستكون هناك طريقة أسهل لفعل ذلك إذا عرفنا الخاصية التي تنطبق على هذه المصفوفة. علينا ملاحظة أن هذه مصفوفة مثلثية عليا. وهذا يعني أن كل العناصر التي تقع أسفل القطر الرئيسي لهذه المصفوفة هي أصفار. والقطر الرئيسي للمصفوفة يضم العناصر التي تقع في صف وعمود لهما نفس الترتيب. وبالنسبة إلى هذه المصفوفة، سنجد أن عناصر القطر الرئيسي لها هي خمسة واثنان وصفر. إذن، هذه المصفوفة هي مصفوفة مثلثية عليا.

لعلنا نتذكر أن محدد أي مصفوفة مثلثية مربعة يساوي حاصل ضرب جميع عناصر قطرها الرئيسي. في الحالة لدينا، يتكون القطر الرئيسي من العناصر؛ خمسة واثنين وصفر. إذن، محدد هذه المصفوفة يساوي خمسة مضروبًا في اثنين مضروبًا في صفر، وبحساب ذلك نجد أن قيمته تساوي صفرًا.

وعليه، فإن قيمة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة وعناصرها هي خمسة، سالب واحد، سالب ثمانية، صفر، اثنان، ٦٠، صفر، صفر، صفر، تساوي صفرًا.

سنتناول الآن مثالًا علينا فيه استخدام محدد مصفوفة قطرية لإيجاد قيمة متغير.

انظر المعادلة: محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ ﺱ ناقص واحد، صفر، صفر، صفر، ﺱ تربيع زائد ﺱ زائد واحد، صفر، صفر، صفر، واحد، يساوي اثنين. أوجد قيمة ﺱ أس ستة.

في هذا السؤال، لدينا معادلة تتضمن محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة وتحتوي على المتغير ﺱ. وعلينا استخدام ذلك لإيجاد قيمة ﺱ أس ستة. لفعل ذلك، علينا إيجاد تعبير لمحدد هذه المصفوفة. ويمكننا الوصول إلى ذلك باستخدام تعريف المحدد؛ أي عن طريق الفك باستخدام أحد الصفوف أو الأعمدة. لكننا نلاحظ أن كل العناصر التي ليست على القطر الرئيسي لهذه المصفوفة هي أصفار. بعبارة أخرى، هذه المصفوفة — التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة — هي مصفوفة قطرية. ويمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة؛ لأن كل مصفوفة قطرية هي مصفوفة مثلثية عليا وسفلى. على سبيل المثال، كل عنصر أسفل القطر الرئيسي للمصفوفة هو صفر. إذن، هذه مصفوفة مثلثية عليا.

والآن، ليس علينا سوى تذكر أن محدد أي مصفوفة مثلثية مربعة يساوي حاصل ضرب عناصر قطرها الرئيسي. وجدير بالذكر أنه نظرًا لأن جميع المصفوفات القطرية هي مصفوفات مثلثية عليا وسفلى، فإن هذه الخاصية تنطبق أيضًا على أي مصفوفة قطرية مربعة. ومن ثم، يمكننا إيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة بإيجاد حاصل ضرب عناصر قطرها الرئيسي؛ ﺱ ناقص واحد مضروبًا في ﺱ تربيع زائد ﺱ زائد واحد في واحد. يمكننا بعد ذلك توزيع الأقواس. ونحصل من ذلك على ﺱ تكعيب زائد ﺱ تربيع زائد ﺱ ناقص ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص واحد. وبتبسيط هذا التعبير، نجد أنه يساوي ﺱ تكعيب ناقص واحد. تذكر أن السؤال يخبرنا أن قيمة المحدد هي اثنان.

إذن، هذا التعبير الدال على المحدد يساوي اثنين. ‏ﺱ تكعيب ناقص واحد يساوي اثنين. ونريد استخدام ذلك لإيجاد قيمة ﺱ أس ستة. سنبدأ بإضافة واحد إلى طرفي المعادلة، ويصبح لدينا ﺱ تكعيب يساوي ثلاثة. وبعد ذلك، يمكننا إيجاد تعبير لـ ﺱ أس ستة بتربيع طرفي المعادلة، وهذا يعطينا ﺱ أس ستة يساوي تسعة؛ وهي الإجابة النهائية.

وبهذا، نكون قد أوضحنا أنه إذا كانت قيمة محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة وعناصرها هي ﺱ ناقص واحد، صفر، صفر، صفر، ﺱ تربيع زائد ﺱ زائد واحد، صفر، صفر، صفر، واحد، تساوي اثنين، فإن قيمة ﺱ أس ستة هي تسعة.

دعونا نسترجع الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. لقد عرفنا أربع نتائج مفيدة متعلقة بمحددات المصفوفات، وأثبتناها أيضًا. في البداية، أوضحنا أنه لأي مصفوفة مربعة ﺃ من الرتبة ﻥ في ﻥ ولأي كمية قياسية ﻙ، يكون محدد ﻙﺃ يساوي ﻙ أس ﻥ مضروبًا في محدد ﺃ. وبعد ذلك، أوضحنا أنه لأي مصفوفة مربعة ﺃ، يكون محدد مدور المصفوفة ﺃ مساويًا لمحدد المصفوفة ﺃ. ثم أوضحنا أنه لأي مصفوفتين مربعتين من الرتبة نفسها، ﺃ وﺏ، يكون محدد ﺃ في ﺏ مساويًا لمحدد ﺃ مضروبًا في محدد ﺏ. وأخيرًا، أوضحنا أن محدد أي مصفوفة مثلثية مربعة يساوي حاصل ضرب جميع عناصر قطرها الرئيسي. وتنطبق هذه النتيجة على المصفوفات المثلثية العليا والسفلى. وتنطبق أيضًا على المصفوفات القطرية المربعة؛ وذلك لأن جميع المصفوفات القطرية تكون عبارة عن مصفوفات مثلثية عليا وسفلى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.