نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو سوف نتعلم كيف ننقل النقاط، والقطع المستقيمة، والأشكال، بمعلومية اتجاه ومقدار الانتقال.
يمكن التفكير في الانتقال على أنه تحريك جسم ما لمسافة ثابتة في اتجاه ثابت. على سبيل المثال يمكننا نقل مربع طول ضلعه سنتيمتر واحد إلى اليمين بمقدار سنتيمترين؛ كما هو موضح. نسمي الموضع الجديد للمربع صورته بعد الانتقال. المربعان كلاهما لهما الحجم والاتجاه نفسه. يؤثر الانتقال على موضع الجسم فقط.
نقول إن ﺃ شرطة هي صورة النقطة ﺃ بعد انتقال مقداره ﺱ وحدة في اتجاه الشعاع ﺏﺟ إذا كان طول ﺃﺃ شرطة يساوي ﺱ، والشعاعان ﺃﺃ شرطة وﺏﺟ متوازيين ولهما الاتجاه نفسه. يمكننا نقل القطع المستقيمة والمضلعات عن طريق نقل أطرافها أو رءوسها.
لا يؤثر الانتقال على الأطوال. ومن ثم إذا نقلت القطعة المستقيمة ﺃﺏ لتصبح القطعة المستقيمة ﺃ شرطة ﺏ شرطة، فإن طول ﺃﺏ يساوي طول ﺃ شرطة ﺏ شرطة. لا يؤثر الانتقال أيضًا على الاتجاهات. على وجه التحديد إذا انتقلت القطعة المستقيمة ﺃﺏ لتصبح القطعة المستقيمة ﺃ شرطة ﺏ شرطة، فإن القطعة المستقيمة ﺃﺏ توازي القطعة المستقيمة ﺃ شرطة ﺏ شرطة. وبالمثل سينتقل الشعاع ﺃﺏ إلى الشعاع ﺃ شرطة ﺏ شرطة.
دعونا نتناول مثالًا على تحديد الانتقال الصحيح لنقطة في اتجاه معين.
صورة النقطة ﺱ هي ﺱ شرطة بعد انتقال بمقدار ﻡﻥ في اتجاه الشعاع ﻡﻥ. أي الأشكال الآتية يمثل ذلك؟
نبدأ بالنقطة الموجودة في الفضاء، ﺱ، ونعلم من معطيات السؤال أن الانتقال بمقدار ﻡﻥ. هذا يعني أن صورة ﺱ، أي ﺱ شرطة، ستقع في مكان ما على الدائرة التي نصف قطرها ﻡﻥ، ومركزها عند النقطة الأصلية ﺱ. ذكر السؤال أيضًا الشعاع ﻡﻥ الذي يشير إلى اتجاه الانتقال. ومن ثم يمكننا رسم شعاع يبدأ من النقطة ﺱ، ويوازي الشعاع ﻡﻥ، وفي نفس اتجاهه. وحيثما يمس هذا الشعاع الجديد الدائرة سيقع موضع الصورة ﺱ شرطة.
لفعل ذلك نبدأ برسم شعاع يمر بالنقطة ﺱ في اتجاه ﻡ. نريد نسخ قياس الزاوية ﻥﻡﺱ عند النقطة ﺱ. يمكننا فعل ذلك عن طريق رسم قوسين لدائرتين نصفا قطريهما متساويان، ومركزاهما عند النقطتين ﺱ، ﻡ، ونسمي نقطتي التقاطع بين الدائرة التي مركزها عند ﻡ والشعاعين؛ ﺃ، ﺏ. بعد ذلك نقيس هذه المسافة بين ﺃ، ﺏ ونرسم قوسًا آخر لدائرة أخرى مركزها عند نقطة التقاطع البعيدة بين قوس الدائرة التي مركزها عند ﺱ والشعاع المار بالنقطتين ﺱ، ﻡ. وسيكون الشعاع المار بالنقطة ﺱ ونقطة تقاطع هذين القوسين موازيًا للشعاع ﻡﻥ.
يمكننا رسم الشعاع بداية من النقطة ﺱ ومرورًا بنقطة التقاطع هذه. وستمثل نقطة التقاطع بين هذا الشعاع والدائرة صورة النقطة ﺱ شرطة. بالنظر إلى الإجابات المحتملة يمكننا ملاحظة أن هذا يطابق الشكل الموضح في الخيار أ.
والآن دعونا نتناول مثالًا سنحدد فيه أي شكل من بين خمسة أشكال يوضح الانتقال الصحيح لقطعة مستقيمة.
صورة القطعة المستقيمة ﺟﺩ هي القطعة المستقيمة ﺟ شرطة ﺩ شرطة بعد الانتقال بمقدار ﺃﺏ في اتجاه الشعاع ﺃﺏ. أي الأشكال الآتية يمثل ذلك؟
يمكننا حل هذه المسألة باستخدام طريقة حذف الخيارات غير الصحيحة. لعلنا نتذكر أن انتقال أي قطعة مستقيمة يكافئ انتقال طرفيها، وطرفاها في هذه الحالة هما ﺟ، ﺩ، إلى صورتيهما ﺟ شرطة، ﺩ شرطة، وربط صورتي النقطتين بقطعة مستقيمة جديدة. في الأشكال الخمسة كلها؛ يشير الشعاع ﺃﺏ إلى أعلى وإلى اليسار. ومن ثم فإن أي انتقال للقطعة المستقيمة لا يضع الصورة في هذا الاتجاه يجب أن يكون غير صحيح. هذا يستبعد على الفور الخيارين أ، ب.
بعد ذلك نعلم أن الانتقال بمقدار ﺃﺏ، وهو ما يعني أن المسافة بين أحد طرفي القطعة المستقيمة وصورته يجب أن تساوي الطول ﺃﺏ. في الخيار د؛ من الواضح أن المسافة بين النقطتين ﺟ وصورتها ﺟ شرطة أقل من الطول ﺃﺏ. إذن لا يمكن أن يكون الخيار د صحيحًا.
وأخيرًا يحافظ الانتقال على أطوال القطع المستقيمة كما هي. وفي الخيار هـ نلاحظ أن طول صورة القطعة المستقيمة ﺟ شرطة ﺩ شرطة أكبر من طول القطعة المستقيمة الأصلية ﺟﺩ. إذن لا يمكن أن يكون الخيار هـ صحيحًا.
إذن الخيار الوحيد المتبقي هو الخيار ج. ويمكننا ملاحظة أن القطعة المستقيمة تنتقل بالفعل في الاتجاه الصحيح وللمسافة الصحيحة دون التأثير على طول الخط واتجاهه.
يمكننا التأكد من صحة هذه الإجابة من خلال رسم الانتقال. حذفنا الخيارات غير الصحيحة لكي نفرغ بعض المساحة. بداية من القطعة المستقيمة ﺟﺩ؛ نرسم شعاعين يشيران في نفس اتجاه الشعاع ﺃﺏ، يبدأ أحدهما من النقطة ﺟ ويبدأ الآخر من النقطة ﺩ. بعد ذلك نفتح الفرجار ونقيس نصف قطر طوله يساوي طول ﺃﺏ، ونرسم دائرتين يقع مركزاهما عند ﺟ،ﺩ. نسمي نقطتي التقاطع بين الدائرتين والشعاعين ﺟ شرطة، ﺩ شرطة. ﺟ شرطة، ﺩ شرطة تبعدان مسافة طولها ﺃﺏ عن ﺟ، ﺩ، على الترتيب، وفي اتجاه الشعاع ﺃﺏ. ومن ثم فإنهما تمثلان صورتي ﺟ، ﺩ بعد الانتقال. إذن القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطتين ﺟ شرطة، ﺩ شرطة هي صورة القطعة المستقيمة ﺟﺩ بعد الانتقال. وهذا يتطابق بصريًّا مع الخيار ج.
والآن دعونا نتناول مثالًا على كيفية تحديد الانتقال الصحيح لقطعة مستقيمة في شبكة تربيعية.
املأ الفراغ. في الشكل الآتي، ﺃﺏﺟﺩ مربع فيه جميع المربعات الداخلية متطابقة، ﺃﻡ يساوي سنتيمترًا واحدًا. إذن، صورة القطعة المستقيمة ﺡﺹ بالانتقال بمقدار سنتيمترين في اتجاه الشعاع ﻝﺏ هي (فراغ).
في البداية القطعة المستقيمة ﺡﺹ هي هذه القطعة المستقيمة، والشعاع ﻝﺏ هو هذا الشعاع. انتقال قطعة مستقيمة يكافئ انتقال طرفيها، وهما في هذه الحالة ﺡ، ﺹ، ثم نوصل صورتي هاتين النقطتين بقطعة مستقيمة جديدة. هذا يعني أنه يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بإيجاد صورتي طرفي هذه القطعة المستقيمة بعد الانتقال.
المربعات كلها متطابقة، وطول ضلعها سنتيمتر واحد. أضلاع المربعات في الاتجاه من اليسار إلى اليمين متوازية أيضًا. وعليه فإن الانتقال بمقدار سنتيمترين في اتجاه الشعاع ﻝﺏ يكافئ الشعاع ﺡﻫ. إذن صورة ﺡ بعد الانتقال، أي ﺡ شرطة، هي النقطة ﻫ. وبالمثل صورة النقطة ﺹ بعد الانتقال، أي ﺹ شرطة، هي النقطة ﻥ. إذن صورة القطعة المستقيمة ﺡﺹ بعد الانتقال بمقدار سنتيمترين في اتجاه الشعاع ﻝﺏ هي القطعة المستقيمة ﻫﻥ.
حتى الآن؛ طبقنا الانتقال على أشكال هندسية معينة. ولكن من الممكن أيضًا تحديد مقدار الانتقال واتجاهه باستخدام نقطة وصورتها بعد الانتقال.
على سبيل المثال تخيل أن لدينا النقطة ﺃ، وصورتها بعد الانتقال ﺃ شرطة. سيشير الشعاع ﺃﺃ شرطة في اتجاه الانتقال؛ لأن هذا هو الاتجاه بين النقطة ﺃ وصورتها ﺃ شرطة. وبالمثل يجب أن يكون مقدار هذا الانتقال هو الطول ﺃﺃ شرطة؛ لأنه يمثل مسافة انتقال النقطة ﺃ. هذا يقودنا إلى الخاصية الآتية. إذا تغير موضع النقطة ﺃ إلى النقطة ﺃ شرطة بعد الانتقال فإن مقدار الانتقال يساوي الطول ﺃﺃ شرطة، ويكون في اتجاه الشعاع ﺃﺃ شرطة.
في المثال الأخير سنستخدم هذه الخاصية لتحديد مقدار انتقال مثلث إلى صورته واتجاهه.
املأ الفراغ. في الشكل الآتي؛ المثلثات ﺱﻝﻡ، ﻝﺹﻥ، ﻥﻡﻝ، ﻡﻥ𝑍 متطابقة. المثلث ﻝﺹﻥ صورة للمثلث ﻡﻥ𝑍 عن طريق الانتقال بمقدار (فراغ) في اتجاه (فراغ).
يكافئ مقدار الانتقال المسافة بين أي نقطة وصورتها بعد الانتقال. ويمكن وصف اتجاه الانتقال من خلال الشعاع الذي يبدأ من النقطة مارًّا بصورتها. يمكن نقل المثلث ﻡﻥ𝑍 بالكامل عن طريق نقل رءوسه. ومن ثم يمكننا تحديد مقدار انتقال المثلث واتجاهه من خلال إيجاد صورة رأس واحد فقط من رءوسه بعد الانتقال.
وعليه يمكننا اختيار أحد الرءوس، على سبيل المثال ﻡ، وتحديد صورته بعد الانتقال. المثلثان ﻡﻥ𝑍، ﻝﺹﻥ محددان هنا باللونين البرتقالي والأرجواني، على الترتيب. لعلنا نتذكر أن الانتقال لا يؤثر على مقياس الشكل أو اتجاهه. ومن ثم فإن المواضع النسبية للرءوس في المثلث ستظل كما هي. سيظل الرأس العلوي في الأعلى، وهكذا.
إذن الرأس العلوي في صورة المثلث؛ أي ﻝ، يمثل صورة الرأس العلوي في المثلث الأصلي؛ ﻡ. وعليه فإن مقدار الانتقال يساوي المسافة بين ﻡ، ﻝ؛ أي ﻡﻝ. ويحدد الاتجاه من خلال اتجاه الشعاع الذي يبدأ من الرأس ﻡ ويمر بالنقطة ﻝ؛ أي ﻡﻝ. إذن الإجابة هي الخيار أ.
دعونا نختتم هذا الفيديو بتناول بعض النقاط الرئيسية. يمكن اعتبار انتقال أي عنصر تحريكًا لهذا العنصر في الفضاء دون تغيير شكله، أو مساحته، أو اتجاهه. نقول إن النقطة ﺃ شرطة هي صورة النقطة ﺃ بعد انتقال مقداره ﺱ وحدة في اتجاه الشعاع ﺏﺟ إذا كان ﺃﺃ شرطة يساوي ﺱ، وكان الشعاعان ﺃﺃ شرطة، ﺏﺟ يشيران في الاتجاه نفسه.
لا يؤثر الانتقال على طول القطعة المستقيمة أو اتجاهها. على وجه التحديد إذا انتقلت القطعة المستقيمة ﺃﺏ إلى القطعة المستقيمة ﺃ شرطة ﺏ شرطة، فإن الطول ﺃﺏ يساوي الطول ﺃ شرطة ﺏ شرطة، وستكون القطعتان المستقيمتان ﺃﺏ، وﺃ شرطة ﺏ شرطة متوازيتين. وأخيرًا يمكننا إيجاد مقدار الانتقال واتجاهه من خلال إيجاد نقطة ما وصورتها بعد الانتقال، وتحديد المسافة بين هاتين النقطتين واتجاه الشعاع من النقطة إلى صورتها.
