تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: الصورة الإحداثية للمتجهات وحساب المعيار

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو طريقة إيجاد الصورة الإحداثية (المركَّبة) للمتجهات، وطريقة حساب معيار المتجه (طول المتجه) باستخدام قانون المسافة بين نقطتين، ومثالًا عليها.

٠٧:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على الصورة الإحداثية للمتجهات، وحساب المعيار. هنعرف إزّاي نكتب المتجه بصورة إحداثية. وإزّاي نحسب طوله اللي بنقول عليه المعيار. المتجه عبارة عن قيمة لها مقدار، ولها اتجاه. يعني لازم يتحدّد بالحاجتين دول: المقدار، والاتجاه. يمكن التعبير عن المتجه و أ، في الوضع القياسي، في المستوى الإحداثي، بصورة وحيدة. وذلك بإحداثيَّي نقطة نهايته، اللي هي أ. اللي هي قيمتها س وَ ص. وهذه هي الصورة المتجهة للمتجه أ. حيث أن س وَ ص هم المركبتان المتعامدتان لِـ و أ. لذلك تسمى س وَ ص، اللي هو الزوج المرتب س وَ ص اللي بالشكل ده، بنسميها الصورة الإحداثية للمتجه. أو الصورة المركبة للمتجه.

المتجه و أ ده، في الوضع القياسي. يعني بدايته هي نقطة الأصل. لو اتنقل من نقطة الأصل، بنفس الشكل ونفس الطول، في مكان تاني. ده بيبقى في الوضع غير القياسي. المتجهات ب وَ ج وَ د، دول في وضع غير قياسي. يعني بدايتهم مش نقطة الأصل. لكن أ وَ ب وَ ج وَ د، التلاتة نفس الأطوال، والتلاتة نفس الاتجاه. يبقى الصورة الإحداثية لهم، هتبقى نفس الصورة.

يعني مثلًا المتجه ج؛ هنا قيمة السينات فيه تلاتة، وقيمة الصادات اتنين. ب؛ قيمة السينات تلاتة، والصادات اتنين. وهكذا لباقي المتجهات. يبقى حيث أن المتجهات اللي لها نفس الطول، ونفس الاتجاه متساوية. فإنه بإمكاننا التعبير عن كثير من المتجهات، بالإحداثيات نفسها. فجميع هذه المتجهات نعبّر عنها بالصورة الإحداثية تلاتة واتنين.

ولإيجاد الصورة الإحداثية لمتجه مرسوم في وضع غير قياسي. فإننا بنستخدم إحداثيّى نقطتَي البداية والنهاية. بالطريقة العامة اللي هنتكلّم عنها. نقلب الصفحة.

الصورة الإحداثية لأيّ متجه، في الوضع القياسي أو غير القياسي، بتبقى بالشكل ده. نقطة بدايته لو كانت أ، الزوج المرتب س واحد وَ ص واحد. نقطة نهايته ب، س اتنين وَ ص اتنين. فإن المتجه أ ب، بيبقى الزوج المرتب س اتنين ناقص س واحد، وَ ص اتنين ناقص ص واحد. يعني بنطرح قيمة البداية، من قيمة النهاية. نقلب الصفحة، وناخد مثال.

اوجد الصورة الإحداثية لِـ أ ب، الذي نقطة بدايته أ، الزوج المرتب سالب أربعة واتنين. ونقطة نهايته ب، تلاتة وسالب خمسة.

الصورة الإحداثية لِـ أ ب، هتبقى أ ب متجه أ ب، يساوي النهاية ناقص البداية. يعني قيمة السينات: تلاتة ناقص قيمة البداية. والصادات: النهاية ناقص البداية. لمّا هنبسّطها، هتبقى سبعة وسالب سبعة. يبقى الصورة الإحداثية للمتجه أ ب، هتساوي سبعة وسالب سبعة. كده عرفنا إزّاي هنمثّل المتجه في الصورة الإحداثية. نقلب الصفحة، ونشوف إزّاي هنحسب معيار المتجه، اللي هو طول المتجه.

يمكن إيجاد طول المتجه، اللي هو معيار المتجه في المستوى الإحداثي، باستخدام قانون المسافة بين نقطتين. يعني لو عندنا متجه بالشكل ده، له بداية وله نهاية وله اتجاه. بنحسب طوله إن إحنا نشوف المسافة ما بين النقطتين، اللي هما البداية والنهاية. اللي هي طول المتجه في المستوى الإحداثي.

إذا كان م متجهًا. نقطة بدايته س واحد وَ ص واحد. ونقطة نهايته س اتنين وَ ص اتنين. فإن طول المتجه م، اللي هو العلامتين دول، ده بنسميه معيار المتجه، أو طول المتجه. بيساوي الجذر التربيعي لِـ س اتنين ناقص س واحد الكل تربيع، زائد ص اتنين ناقص ص واحد الكل تربيع. وإذا كانت أ وَ ب هي الصورة الإحداثية للمتجه م. فإن معيار المتجه م بيساوي الجذر التربيعي لِـ أ تربيع زائد ب تربيع.

يعني هنطرح قيم السينات للنهاية، ناقص البداية، ونربّعها. وبعدين نطرح قيم الصادات للنهاية، ناقص البداية، ونربعها. ونجيب الجذر التربيعي لمجموع القيمتين. أو لو أخدناها بالشكل مباشرةً، اللي هو الصورة الإحداثية. يبقى هنربّع القيمة الأولانية، زائد مربع القيمة التانية. ونجيب الجذر التربيعي لمجموع القيمتين. نقلب الصفحة، وناخد مثال.

اوجد طول المتجه أ ب، الذي نقطة بدايته أ، سالب أربعة واتنين. ونقطة نهايته ب، تلاتة وسالب خمسة.

نقطة بدايته، اللي هي سالب أربعة واتنين، اللي هي س واحد وَ ص واحد. ونهايته اللي هي ب تلاتة وسالب خمسة، اللي هي س اتنين وَ ص اتنين. معيار المتجه أ ب هيساوي الجذر التربيعي لِـ س اتنين ناقص س واحد الكل تربيع، زائد ص اتنين ناقص ص واحد الكل تربيع. اللي هي هتساوي … الجذر التربيعي س اتنين قيمتها تلاتة. ناقص … س واحد قيمتها سالب أربعة. ده كله تربيع. زائد … ص اتنين قيمتها سالب خمسة. ناقص … ص واحد قيمتها اتنين. الكل تربيع. هتساوي جذر تمنية وتسعين. اللي هي تقريبًا تسعة وتسعة من عشرة. يبقى معيار المتجه أ ب هيساوي تقريبًا تسعة وتسعة من عشرة.

في اللي المثال اللي فات، لمّا ادّى لنا أ بسالب أربعة واتنين، وتلاتة وسالب خمسة الـ ب. كان الصورة الإحداثية للمتجه أ ب، تساوي سبعة وسالب سبعة. اللي هي الصورة الإحداثية دي. لو عايزين نحسب منها الطول، هيبقى معيار أ ب هيساوي القيمة الأولانية تربيع، اللي هي سبعة تربيع، زائد سالب سبعة تربيع. وهنحسب لهم الجذر التربيعي. اللي هتطلع تساوي جذر تمنية وتسعين. اللي هي نفس القيمة اللي إحنا وصلنا ليها، لمّا استخدمنا نقطة البداية، ونقطة النهاية. يبقى لو عندنا نقطة البداية، ونقطة النهاية لمتجه، نقدر نحسب الطول بالقانون ده. ولو عندنا الصورة الإحداثية للمتجه، نقدر نحسب الطول بالقانون ده.

يبقى عرفنا في الفيديو ده إزّاي هنكتب الصورة الإحداثية للمتجه. وإزّاي نحسب معياره.