فيديو السؤال: إيجاد المعادلة العامة لمستوى الرياضيات

أوجد المعادلة العامة للمستوى العمودي على المستوى −٦ﺱ + ٣ﺹ + ٤ﻉ + ٤ = ٠، ويقطع محور ﺱ ومحور ﺹ في (٥‎، ٠‎، ٠)، (٠‎، ١‎، ٠) على الترتيب.

٠٥:٤١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المعادلة العامة للمستوى العمودي على المستوى سالب ستة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد أربعة ﻉ زائد أربعة يساوي صفرًا، ويقطع محور ﺱ ومحور ﺹ في خمسة، صفر، صفر؛ وصفر، واحد، صفر، على الترتيب.

لنفترض أن هذا الشكل باللون البرتقالي هو المستوى. نحن نعلم إحداثيات النقطتين اللتين يقطع فيهما هذا المستوى المحورين ﺱ وﺹ. بمعلومية ذلك، وعلمًا كذلك بأنه عمودي على المستوى الذي له هذه المعادلة المعطاة، نريد الحل لإيجاد المعادلة العامة لهذا المستوى. للقيام بذلك، سنحتاج إلى معرفة أمرين. أولًا، سنحتاج إلى نقطة تقع في المستوى. وثانيًا، علينا إيجاد متجه عمودي عليه. ويمكننا ملاحظة أنه، وفقًا للمعطيات التي لدينا، فإننا قد حققنا الأمر الأول بالفعل. في الواقع، نحن نعرف إحداثيات نقطتين في المستوى.

إذن، خطوتنا التالية هي إيجاد مركبات المتجه العمودي عليه. للبدء في ذلك، لنفكر في هذا المستوى الذي علمنا أنه عمودي على المستوى المطلوب. وهذا المستوى العمودي له هذه المعادلة العامة. ونعرف، بما أنها مكتوبة على هذه الصورة، أن القيم المضروبة في ﺱ وﺹ وﻉ تشكل مركبات المتجه العمودي على هذا المستوى.

والآن لنفكر في ذلك. هذا المتجه هنا عمودي على هذا المستوى، وهذا المستوى عمودي على المستوى المطلوب. إذن، بالنسبة إلى المستوى المطلوب، هذا المتجه الذي مركباته سالب ستة، ثلاثة، أربعة يوازي هذا المستوى. ونعرف ذلك لأنه عمودي على المستوى، الذي هو عمودي على المستوي الذي يهمنا. وحيث إن هذا المتجه يوازي المستوى المطلوب، سنسميه ﻡ واحد. ونضيف إليه واحدًا لأنه في الواقع هناك متجه آخر، يمكننا تحديده، يوازي المستوى المطلوب. وهو المتجه الذي يمتد من إحدى النقطتين على المستوى المطلوب إلى النقطة الأخرى. يمكننا أن نسمي هذا المتجه ﻡ اثنين، وتعطى مركباته بواسطة الفرق بين إحداثيات النقطتين المعلومتين. ومن ثم، فإن هذا المتجه له المركبات خمسة، سالب واحد، صفر.

والآن بعد أن عرفنا متجهين يوازيان المستوى المطلوب، يمكننا تذكر أن الضرب الاتجاهي لمتجهين يعطينا متجهًا عموديًّا على كلا المتجهين الذين أوجدنا حاصل ضربهما الاتجاهي. هذا مهم بالنسبة إلينا؛ لأنه يعني أنه أيًّا ما يكن ناتج حاصل الضرب الاتجاهي، فإنه سيكون عموديًّا على المستوى المطلوب. ومن ثم، نجري عملية الضرب هذه. حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﻡ واحد وﻡ اثنين يساوي ناتج محدد هذه المصفوفة. في الصف الأول، لدينا متجهات الوحدة الثلاثة، ثم في الصفين الثاني والثالث على الترتيب، لدينا المركبات المتناظرة للمتجهين ﻡ واحد وﻡ اثنين.

قيمة المركبة ﺱ لناتج حاصل الضرب الاتجاهي هذا تساوي محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. ثلاثة في صفر ناقص أربعة في سالب واحد يساوي موجب أربعة. بعد ذلك، قيمة المركبة ﺹ تساوي سالب ناتج محدد هذه المصفوفة. ستة في صفر ناقص أربعة في خمسة يساوي سالب ٢٠. ويمكن إيجاد قيمة المركبة ﻉ بحساب ناتج محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. سالب ستة في سالب واحد ناقص ثلاثة في خمسة يساوي ستة ناقص ١٥. بتجميع هذه المركبات الثلاثة، نحصل على حاصل الضرب الاتجاهي الذي يمكننا كتابته على صورة متجه له المركبات أربعة، ٢٠، سالب تسعة. هذا إذن متجه عمودي على المستوى المطلوب. وبذلك نكون قد حققنا الشرطين اللازمين لكتابة معادلة المستوى.

دعونا إذن نفرغ بعض المساحة على الشاشة ونبدأ بتذكر الصورة المتجهة لمعادلة المستوى. وبكتابتها على هذا النحو، يكون لدينا متجه عمودي على المستوى مضروب ضربًا قياسيًّا في متجه نقطة اختيارية في المستوى. وهذا يساوي حاصل الضرب القياسي لهذا المتجه العمودي نفسه، ومتجه نقطة معلومة في المستوى. كما رأينا سابقًا، لدينا نقطتان معلومتان في هذه المسألة. يمكننا اختيار أي من هاتين النقطتين. لكن ببساطة بما أن الأعداد في هذه النقطة أصغر من الأعداد الموجودة في هذه النقطة، سنختار هذه النقطة التي تقع في المستوى.

بالتعويض بالمتجه العمودي والنقطة المعطاة التي اخترناها، نحصل على هذه المعادلة. إذن نضرب قياسيًّا المتجه أربعة، ٢٠، سالب تسعة في متجه نقطة عامة له المركبات: ﺱ، ﺹ، ﻉ. وهذا يساوي حاصل الضرب القياسي لهذا المتجه العمودي نفسه ومتجه النقطة ﻡ صفر. بإجراء هذا الضرب القياسي في الطرف الأيمن، نحصل على أربعة ﺱ زائد ٢٠ﺹ ناقص تسعة ﻉ. وبتطبيق الأمر نفسه على الطرف الأيسر، نحصل على أربعة في صفر زائد ٢٠ في واحد ناقص تسعة في صفر، أو بعبارة أخرى ٢٠.

الخطوة الأخيرة لكتابة هذه المعادلة على الصورة العامة هي طرح ٢٠ من كلا الطرفين لكي نحصل على صفر في الطرف الأيسر من هذه المعادلة. وبفعل ذلك، نحصل إذن على هذه المعادلة، وهي المعادلة العامة لهذا المستوى. أربعة ﺱ زائد ٢٠ﺹ ناقص تسعة ﻉ ناقص ٢٠ يساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.