فيديو الدرس: العمليات على الأحداث: الفرق الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد احتمال الفرق بين حدثين.

١٥:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد احتمال الفرق بين حدثين. نكتب هذا على صورة احتمال ﺃ ناقص ﺏ، حيث ﺃ وﺏ حدثان، وحيث يمثل ﺃ ناقص ﺏ كل النواتج الموجودة في الحدث ﺃ وليست في الحدث ﺏ. سنبدأ هذا الدرس بتناول بعض الرموز والصيغ الأساسية.

في شكل فن الموضح الذي يمثل الحدثين ﺃ وﺏ، احتمال ﺃ هو الجزء المظلل. ويمثل تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ على شكل فن بالتداخل بين الدائرتين. وهذا التداخل هو النواتج التي تقع في الحدثين ﺃ وﺏ معًا. بدمج هذين التعريفين، نحصل على صيغة الفرق التي تنص على أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. يمكن تمثيل ذلك على شكل فن كما هو موضح.

يمكننا استخدام الطريقة نفسها لإثبات أن احتمال ﺏ ناقص ﺃ يساوي احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. على شكل فن، يمكن تمثيل ذلك بتظليل المنطقة الموجودة في الدائرة ﺏ وليست في الدائرة ﺃ. سنتناول الآن مثالين علينا فيهما استخدام صيغة الفرق.

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان. إذا كان احتمال ﺃ يساوي ٠٫٣، واحتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫٠٣، فأوجد احتمال ﺃ ناقص ﺏ.

دعونا نبدأ بتذكر الرموز الموضحة في هذا السؤال. أولًا، لدينا تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ. وهو كل النواتج التي تقع في الحدث ﺃ والحدث ﺏ معًا. يمكن تمثيل ذلك على شكل فن كما هو موضح. ويعرف احتمال ﺃ ناقص ﺏ باسم الفرق، ويمكن تمثيله على شكل فن كما هو موضح. ويمثل هذا الاحتمال كل النواتج الموجودة في الحدث ﺃ وليست في الحدث ﺏ.

نتذكر أن صيغة الفرق تنص على أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. باستخدام القيم المعطاة في السؤال، يصبح احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي ٠٫٣ ناقص ٠٫٠٣. وهذا يساوي ٠٫٢٧.

في المثال التالي، سنتناول مسألة في سياق معين.

سحبت كرة عشوائيًّا من حقيبة تحتوي على ١٢ كرة، كل واحدة منها ذات عدد مميز من واحد إلى ١٢. بافتراض أن ﺃ يمثل حدث سحب عدد فردي، بينما ﺏ يمثل حدث سحب عدد أولي. أوجد احتمال ﺃ ناقص ﺏ.

يطلب منا هذا السؤال إيجاد احتمال ﺃ ناقص ﺏ. يمكننا فعل ذلك باستخدام صيغة الفرق. تنص هذه الصيغة على أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. تخبرنا المسألة أن لدينا ١٢ كرة، كل منها ذات عدد مميز من واحد إلى ١٢ كما هو موضح. ونعلم من المعطيات أن ﺃ هو حدث سحب عدد فردي. يوجد ستة من هذه الأعداد في الحقيبة، وهي: واحد، وثلاثة، وخمسة، وسبعة، وتسعة، و١١. هذا يعني أن احتمال وقوع الحدث ﺃ، وهو اختيار كرة ذات عدد فردي، هو ستة من ١٢ أو ستة على ١٢. وبقسمة كل من البسط والمقام على ستة، نجد أنه يمكن تبسيط ذلك إلى نصف.

تشير المعطيات أيضًا إلى أن ﺏ هو حدث سحب عدد أولي. ونعلم أن العدد الأولي له عاملان فقط، وهما العدد واحد والعدد نفسه. والأعداد الأولية بين واحد و١٢ هي اثنان، وثلاثة، وخمسة، وسبعة، و١١. وبما أن هناك خمسة من هذه الأعداد، فإن احتمال وقوع الحدث ﺏ هو خمسة من ١٢ أو خمسة على ١٢. لدينا الآن احتمال ﺃ، ولكن ليس لدينا احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. التقاطع بين حدثين هو كل النواتج التي تقع في كلا الحدثين. في هذه الحالة، الأعداد ثلاثة وخمسة وسبعة و١١ أعداد فردية وأولية في الوقت نفسه. وعليه، فإن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي أربعة على ١٢، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ثلث.

يمكننا الآن حساب احتمال ﺃ ناقص ﺏ بطرح ثلث من نصف. باستخدام الكسور المتكافئة، نجد أن ذلك يساوي ثلاثة أسداس ناقص سدسين. إذن فاحتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي سدسًا. بعبارة أخرى، احتمال سحب عدد فردي وليس عددًا أوليًّا يساوي سدسًا.

يمكننا أيضًا تمثيل ذلك بكتابة كل النواتج على شكل فن. ذكرنا من قبل أن الأعداد ثلاثة، وخمسة، وسبعة، و١١ أعداد فردية وأولية في الوقت نفسه. ويوجد عددان فرديان آخران بين واحد و١٢، وهما واحد وتسعة. ويوجد عدد أولي آخر، وهو اثنان. أما الأعداد أربعة، وستة، وثمانية، و١٠، و١٢، فهي ليست فردية ولا أولية. وعليه، سنكتب هذه الأعداد خارج الدائرتين اللتين تمثلان الحدث ﺃ والحدث ﺏ.

يظهر عددان في الجزء الذي يمثل احتمال ﺃ ناقص ﺏ. وهما العددان واحد وتسعة؛ وذلك لأنهما فرديان وغير أوليين. هذا يؤكد أن احتمال سحب إحدى هذه الكرات هو اثنان من ١٢، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سدس.

قبل أن نتناول المثال التالي، سنراجع إحدى صيغ الاحتمال الأخرى. احتمال وقوع الحدث المكمل للحدث ﺃ، الذي يشار إليه بـ ﻝﺃ شرطة، هو احتمال عدم وقوع الحدث ﺃ. وهذا يحقق الصيغة التي تنص على أن احتمال ﺃ شرطة يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺃ. سنتناول الآن مثالًا نحتاج فيه إلى استخدام هذه الصيغة.

‏ﺃ وﺏ حدثان. إذا كان ﺃ تقاطع ﺏ هو المجموعة الخالية، واحتمال ﺃ شرطة هو ٠٫٦٦، واحتمال ﺏ شرطة هو ٠٫٧٩، فأوجد احتمال ﺏ ناقص ﺃ.

قبل أن نحاول الإجابة عن هذا السؤال، دعونا نتذكر بعض الرموز. نعلم أن ﺃ شرطة وﺏ شرطة هما الحدثان المكملان للحدثين ﺃ وﺏ، على الترتيب. نعلم أيضًا أن احتمال وقوع الحدث المكمل للحدث ﺃ يساوي واحدًا ناقص احتمال وقوع الحدث ﺃ. باستخدام المعلومات المعطاة، يمكننا حساب احتمال وقوع الحدث ﺃ واحتمال وقوع الحدث ﺏ.

أولًا، لدينا ٠٫٦٦ يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺃ. بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نحصل على احتمال ﺃ يساوي واحدًا ناقص ٠٫٦٦. وهو ما يساوي ٠٫٣٤. وبالطريقة نفسها، ٠٫٧٩ يساوي واحدًا ناقص احتمال وقوع الحدث ﺏ. إذن فاحتمال ﺏ يساوي واحدًا ناقص ٠٫٧٩، وهو ما يساوي ٠٫٢١.

نعلم من المعطيات أيضًا أن ﺃ تقاطع ﺏ يساوي المجموعة الخالية. هذا يعني أنه لا توجد عناصر مشتركة بين الحدثين ﺃ وﺏ. وبذلك، يمكننا القول إن الحدثين متنافيان. ومن ثم فإن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي صفرًا. عند تمثيل ذلك على شكل فن، لا يوجد تداخل كما هو موضح. يمكننا أن نوضح أن احتمال وقوع الحدث ﺃ هو ٠٫٣٤، واحتمال وقوع الحدث ﺏ هو ٠٫٢١. ويمكننا إكمال شكل فن بتوضيح احتمال عدم وقوع الحدث ﺃ ولا الحدث ﺏ. وهذا يساوي ٠٫٤٥.

مطلوب منا إيجاد احتمال ﺏ ناقص ﺃ. باستخدام صيغة الفرق، نعرف أن هذا يساوي احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. وبالتعويض بالقيم التي نعرفها، نجد أن ذلك يساوي ٠٫٢١ ناقص صفر، أي ٠٫٢١. هذا يقودنا إلى قاعدة مهمة. إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ متنافيين، فاحتمال ﺏ ناقص ﺃ يساوي احتمال ﺏ. وبالمثل، احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ.

قبل أن نتناول مثالًا أخيرًا، دعونا نتذكر قاعدة الجمع في الاحتمال. تنص قاعدة الجمع في الاحتمال على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. يمكن تمثيل ذلك باستخدام أشكال فن كما هو موضح. سنتناول الآن مثالًا أخيرًا.

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان في فضاء عينة لها نواتج متساوية في احتمال وقوعها. إذا علمت أن ﺃ يحتوي على ستة نواتج، واحتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ثلاثة أرباع، واحتمال ﺏ يساوي نصفًا، وإجمالي عدد النواتج يساوي ٢٠، فأوجد احتمال وقوع أحد الحدثين ﺃ أو ﺏ فقط.

لنبدأ بالنظر إلى كيفية تمثيل احتمال وقوع أحد الحدثين ﺃ أو ﺏ فقط على شكل فن. احتمال وقوع الحدث ﺃ فقط مظلل باللون الوردي. نعلم أنه يمكن كتابة ذلك باستخدام صيغة الفرق. وهي احتمال ﺃ ناقص ﺏ. وهذا يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. واحتمال وقوع الحدث ﺏ فقط مظلل باللون الأزرق. ويرمز إلى ذلك باحتمال ﺏ ناقص ﺃ. وهذا يساوي احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد مجموع هاتين القيمتين.

لننظر الآن إلى المعلومات المعطاة في هذا السؤال. تشير المعطيات إلى أنه يوجد ٢٠ ناتجًا في المجمل، وأن الحدث ﺃ يحتوي على ستة من هذه النواتج. ومن ثم، فإن احتمال وقوع الحدث ﺃ يساوي ستة من ٢٠. بقسمة كل من البسط والمقام على اثنين، يمكن تبسيط ذلك إلى ثلاثة أعشار. نعلم من المعطيات أيضًا أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ثلاثة أرباع، واحتمال ﺏ يساوي نصفًا. بذلك صار لدينا احتمال وقوع كل من الحدث ﺃ والحدث ﺏ، ولكن ليس احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

يمكننا حساب ذلك باستخدام قاعدة الجمع في الاحتمال التي تنص على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. يمكن إعادة ترتيب ذلك كما هو موضح. بالتعويض بالقيم التي لدينا، نتوصل إلى أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ثلاثة أعشار زائد نصف ناقص ثلاثة أرباع. لهذه الكسور الثلاثة مقامات متشابهة، وهو ٢٠. إذن يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة ستة على ٢٠ زائد ١٠ على ٢٠ ناقص ١٥ على ٢٠. وهو ما يساوي واحدًا على ٢٠.

احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي واحدًا على ٢٠. يمكننا الآن استخدام هذه القيمة مع احتمالي ﺃ وﺏ لحساب احتمال ﺃ ناقص ﺏ، واحتمال ﺏ ناقص ﺃ. احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي ثلاثة أعشار ناقص واحد على ٢٠. وهو ما يساوي خمسة على ٢٠. واحتمال ﺏ ناقص ﺃ يساوي نصفًا ناقص واحد على ٢٠. وهو ما يساوي تسعة على ٢٠. وعليه، فإن احتمال وقوع حدث واحد فقط من الحدثين ﺃ أو ﺏ يساوي خمسة على ٢٠ زائد تسعة على ٢٠. بجمع البسطين، نحصل على ١٤ على ٢٠، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سبعة أعشار أو ٠٫٧. احتمال وقوع حدث واحد فقط من الحدثين ﺃ أو ﺏ هو سبعة أعشار.

ثمة طريقة بديلة لحساب ذلك، وهي كتابة عدد النواتج على شكل فن. بما أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي واحدًا على ٢٠ ويوجد ٢٠ ناتجًا إجمالًا، فثمة ناتج واحد في تقاطع ﺃ وﺏ. ونعلم من المعطيات أن ﺃ يحتوي على ستة نواتج. وعليه، تقع خمسة منها في الحدث ﺃ فقط. وبما أن احتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي نصفًا، فإن لدينا ١٠ نواتج في الحدث ﺏ. ويجب أن تقع تسعة منها في الحدث ﺏ فقط. وبما أن تسعة زائد واحد زائد خمسة يساوي ١٥، فلا بد أن هناك خمسة نواتج غير موجودة في الحدث ﺃ ولا الحدث ﺏ. وهذا يؤكد أن ١٤ من النواتج موجودة في أحد الحدثين فقط، ﺃ أو ﺏ. ويمكن تبسيط ١٤ على ٢٠ إلى سبعة أعشار.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. في هذا الدرس، استخدمنا قاعدة الفرق في الاحتمال، إلى جانب صيغ الاحتمال الأخرى لحل عدة مسائل. تنص قاعدة الفرق في الاحتمال على أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. ولأي حدثين ﺃ وﺏ، من الصحيح أيضًا أن احتمال ﺏ ناقص ﺃ يساوي احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.