فيديو السؤال: إكمال جدول القيم لدالة تربيعية وتحديد التمثيل البياني لهذه الدالة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أكمل الجدول الآتي لمنحنى الدالة ﺩﺱ تساوي ٠٫٥ ناقص اثنين ﺱ تربيع، من خلال إيجاد قيم ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ. أي من الأشكال الآتية يمثل منحنى الدالة ﺩﺱ؟

حسنًا، علمنا من المعطيات تعريف الدالة ﺩﺱ. ‏ﺩﺱ تساوي ٠٫٥ ناقص اثنين ﺱ تربيع. لدينا في الصف الأول من الجدول قيم ﺱ، وهي قيم صحيحة من سالب اثنين إلى موجب اثنين. وفي الصف الثاني، لدينا قيم الدالة ﺩ لكل قيمة معطاة لـ ﺱ. لكن الصف الثاني غير مكتمل. قيم ﺩﺱ عند ﺱ يساوي سالب اثنين، وسالب واحد، وصفر، وموجب واحد تمثلها الحروف ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ على الترتيب، وعلينا إيجاد قيمها.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد قيمة الدالة ﺩ لكل قيمة صحيحة لـ ﺱ من سالب اثنين إلى واحد. سنبدأ بالتعويض بسالب اثنين لنحصل بذلك على ﺩ لسالب اثنين يساوي ٠٫٥ ناقص اثنين مضروبًا في سالب اثنين تربيع. وهذا يساوي ٠٫٥ ناقص اثنين مضروبًا في موجب أربعة أو ٠٫٥ ناقص ثمانية، وهو ما يعطينا سالب ٧٫٥. إذن، بحساب قيمة ﺩ لسالب اثنين، استطعنا إيجاد قيمة ﺃ، وهي سالب ٧٫٥.

لإيجاد قيمة ﺏ، سنوجد قيمة ﺩ لسالب واحد لنحصل بذلك على ٠٫٥ ناقص اثنين مضروبًا في سالب واحد تربيع. وهذا يساوي ٠٫٥ ناقص اثنين مضروبًا في واحد أو ٠٫٥ ناقص اثنين، وهو ما يعطينا سالب ١٫٥. وبهذا نكون قد أوجدنا قيمة ﺏ أيضًا. إننا نريد الآن إيجاد قيمة ﺟ، ويمكننا فعل هذا عن طريق إيجاد قيمة ﺩ لصفر. إنها تساوي ٠٫٥ ناقص اثنين مضروبًا في صفر تربيع. وصفر تربيع بالطبع يساوي صفرًا، وضرب أي شيء في صفر يعطينا صفرًا. وعليه، يصبح لدينا ٠٫٥ ناقص صفر، وهو ما يساوي ٠٫٥.

سنوجد الآن قيمة ﺩ بحساب قيمة ﺩ لواحد، وهذا يعطينا ٠٫٥ ناقص اثنين مضروبًا في واحد تربيع. سنحسب ذلك. وسنجد أنه يساوي ٠٫٥ ناقص اثنين مضروبًا في واحد، أي ٠٫٥ ناقص اثنين، وهو ما يعطينا سالب ١٫٥.

وبهذا نكون قد أوجدنا القيم المجهولة الأربع. ‏ﺃ يساوي سالب ٧٫٥، وﺏ يساوي سالب ١٫٥، وﺟ يساوي ٠٫٥، وﺩ يساوي سالب ١٫٥.

سنتناول الآن الجزء الثاني من السؤال حيث مطلوب منا تحديد الشكل الذي يمثل منحنى الدالة ﺩﺱ. يمكننا رسم كل نقطة من النقاط التي حددناها للتو وتوصيلها معًا باستخدام منحنى. أو بدلًا من ذلك، يمكننا تناول الخواص الأساسية للمنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ.

هذا المنحنى هو منحنى دالة تربيعية؛ لذلك سيمثله قطع مكافئ. ونحن نعلم أيضًا أن المعامل الرئيسي، أي معامل ﺱ تربيع، سالب. هذا يعني أنه سيكون لدينا قطع مكافئ مفتوح لأسفل، وهو ما يمكن أن نطلق عليه «قطع مكافئ على شكل حرف n». بالنظر إلى الخيارات الخمسة لدينا، يمكننا ملاحظة أنها جميعًا تمثل قطوعًا مكافئة. لكن يمكننا استبعاد الخيار (د) بما أنه قطع مكافئ على شكل حرف U، إنه مفتوح لأعلى، وهو بذلك يناظر منحنى دالة تربيعية ذات معامل رئيسي موجب. جميع المنحنيات الأربعة الأخرى تتوافق مع القطوع المكافئة ذات المعاملات الرئيسية السالبة. لذا، علينا أن نتابع الحل.

أثناء إجابتنا عن الجزء الأول من السؤال، وجدنا أن ﺩ لصفر تساوي ٠٫٥. وبوجه عام، عند التعويض بالقيمة ﺱ يساوي صفرًا، فإننا نحصل على الجزء المقطوع من المحور ﺹ بواسطة المنحنى؛ حيث إن ﺱ يساوي صفرًا على المحور ﺹ. وهذا يعني أن المنحنى الذي يمثل الدالة ﺩﺱ يقطع المحور ﺹ عند ٠٫٥. لذا، يمكننا استبعاد الخيارين (أ) و(ب)؛ لأن كلًّا منهما يمر عبر نقطة الأصل، وهذا يعني أن كلًّا منهما يقطع المحور ﺹ عند قيمة تساوي صفرًا.

ولنفس السبب، يمكننا استبعاد الخيار (ج)؛ وذلك لأن هذا المنحنى يقطع المحور ﺹ عند قيمة سالبة لـ ﺹ، والتي على الأرجح تساوي سالب ٠٫٥. بالنظر إلى المنحنى الأخير، أي المنحنى (هـ)، يمكننا ملاحظة أن هذا المنحنى يقطع المحور ﺹ بالفعل عند قيمة تقع في المنتصف تقريبًا بين صفر وواحد. ومن ثم، يبدو من المنطقي أن تكون هذه القيمة تساوي ٠٫٥.

للتأكد من صحة إجابتنا، يمكننا أيضًا التحقق من أن بعض النقاط الأخرى في الجدول تقع بالفعل على المنحنى. على سبيل المثال، كل من النقطة سالب واحد، سالب ١٫٥ والنقطة موجب واحد، سالب ١٫٥ تقع على هذا المنحنى. وعلى الرغم من أنه لا يمكننا رؤية قيمتي الإحداثي ﺹ عند ﺱ يساوي سالب اثنين وموجب اثنين على المنحنى، لكن يمكننا استنتاج أن كلًّا منهما أصغر من سالب خمسة. وهذا يتوافق مع القيمتين اللتين يساوي كل منهما سالب ٧٫٥ في الجدول.

وبهذا نكون قد أكملنا حل المسألة. لقد استطعنا إيجاد قيم كل من ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ، وهي ﺃ يساوي سالب ٧٫٥، وﺏ يساوي سالب ١٫٥، وﺟ يساوي ٠٫٥، وﺩ يساوي سالب ١٫٥. والشكل الذي يمثل منحنى الدالة ﺩﺱ هو المنحنى (هـ).