فيديو السؤال: استنتاج صيغة للمجموع من واحد إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟²‬‏ الرياضيات

أكمل الآتي: ‪∑_(𝑟 = 1)^(𝑛) 𝑟² = _‬‏.

٠٧:١٨

‏نسخة الفيديو النصية

أكمل الآتي. المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي (فراغ).

مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد مقدار جبري لمجموع متسلسلة حدها العام ‪𝑟‬‏ تربيع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑟‬‏ يساوي ‪𝑛‬‏. وسوف يكون هذا المقدار الجبري بدلالة ‪𝑛‬‏. لا بد أن تكون إجابة ذلك نتيجة قياسية نتذكرها جيدًا، لكننا سنتناول هنا عملية استنتاج هذه النتيجة. ربما لا يتضح مباشرة ما سنفعله، لكن سيتضح السبب وراء اتباعنا هذه الطريقة.

سنتناول مفكوك ذات الحدين لـ ‪𝑟‬‏ ناقص واحد تكعيب. بحساب قيمة ذلك من خلال توزيع القوسين والضرب حدًّا بحد أو تطبيق نظرية ذات الحدين، سنجد أن ‪𝑟‬‏ ناقص واحد تكعيب يساوي ‪𝑟‬‏ تكعيب ناقص ثلاثة ‪𝑟‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑟‬‏ ناقص واحد. وبطرح ‪𝑟‬‏ ناقص واحد تكعيب من كلا الطرفين، نحصل على صفر يساوي ‪𝑟‬‏ تكعيب ناقص ‪𝑟‬‏ ناقص واحد تكعيب ناقص ثلاثة ‪𝑟‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑟‬‏ ناقص واحد. بإضافة ثلاثة ‪𝑟‬‏ تربيع بعد ذلك، وطرح ثلاثة ‪𝑟‬‏، وإضافة واحد إلى طرفي المعادلة، يصبح لدينا ثلاثة ‪𝑟‬‏ تربيع ناقص ثلاثة ‪𝑟‬‏ زائد واحد يساوي ‪𝑟‬‏ تكعيب ناقص ‪𝑟‬‏ ناقص واحد تكعيب.

بما أن هذين التعبيرين متكافئان، فإن مجموعيهما من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ متكافئان أيضًا. سوف نتناول كلًّا من التعبيرين على حدة، ونبدأ بالتعبير الموجود في الطرف الأيمن، وهو المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تكعيب ناقص ‪𝑟‬‏ ناقص واحد تكعيب. عند كتابة هذا المجموع، بتوزيع القوسين وكتابة الناتج حدًّا بحد، من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑟‬‏ يساوي ‪𝑛‬‏، يصبح لدينا واحد تكعيب ناقص صفر تكعيب زائد اثنين تكعيب ناقص واحد تكعيب زائد ثلاثة تكعيب ناقص اثنين تكعيب وصولًا إلى ‪𝑛‬‏ تكعيب ناقص ‪𝑛‬‏ ناقص واحد تكعيب.

نلاحظ في هذا التعبير أن عدة حدود ستلغى معًا. لدينا واحد تكعيب، ونطرح واحد تكعيب فيما بعد. ونضيف اثنين تكعيب، وبعد ذلك نطرح اثنين تكعيب. نواصل بهذه الطريقة، فنجد أن الحدين الوحيدين غير المحذوفين هما سالب صفر تكعيب عند ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا، و‪𝑛‬‏ تكعيب عند ‪𝑟‬‏ يساوي ‪𝑛‬‏. وبالطبع صفر تكعيب يساوي صفرًا. وبذلك يتبقى لدينا المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تكعيب ناقص ‪𝑟‬‏ ناقص واحد الكل تكعيب يساوي ‪𝑛‬‏ تكعيب.

لنتناول الآن مجموع التعبير الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة لدينا. المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لثلاثة ‪𝑟‬‏ تربيع ناقص ثلاثة ‪𝑟‬‏ زائد واحد. ولمساعدتنا في تبسيط هذا المجموع، يمكننا تذكر الخاصية الخطية للتجميع. وهي تنص على أنه للثابتين ‪𝜆‬‏ واحد و‪𝜆‬‏ اثنين، فإن المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝜆‬‏ واحد ‪𝑎𝑟‬‏ زائد ‪𝜆‬‏ اثنين ‪𝑏𝑟‬‏ يساوي ‪𝜆‬‏ واحد مضروبًا في المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑎𝑟‬‏، زائد ‪𝜆‬‏ اثنين مضروبًا في المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑏𝑟‬‏. بتطبيق هذه الخاصية، يكون لدينا ثلاثة مضروبًا في المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تربيع ناقص ثلاثة مضروبًا في المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ زائد المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لواحد.

في هذه المرحلة، يمكننا تذكر نتيجتين قياسيتين أخريين لمجموع المتسلسلة التي يمكن افتراضها. أولًا: المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑛‬‏ زائد واحد على اثنين. ثانيًا: المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لثابت ‪𝛼‬‏ يساوي ‪𝛼‬‏ مضروبًا في ‪𝑛‬‏. بتطبيق كل من هاتين النتيجتين، نحصل على ثلاثة مضروبًا في المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تربيع ناقص ثلاثة ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑛‬‏ زائد واحد على اثنين زائد ‪𝑛‬‏. ويأتي الحد ‪𝑛‬‏ الأخير من ضرب الثابت واحد في ‪𝑛‬‏.

هكذا نكون قد أوجدنا تعبيرًا لمجموع المتسلسلة في الطرف الأيمن وتعبيرًا لمجموع المتسلسلة الموجودة في الطرف الأيسر؛ حيث يساوي كل منهما الآخر. أصبح الآن كل ما في هذين التعبيرين بدلالة ‪𝑛‬‏، باستثناء ثلاثة مضروبًا في المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تربيع. لكن المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تربيع هو ما نريد إيجاده. إذن بمساواة هذين التعبيرين، سنتمكن من إعادة الترتيب لإيجاد ما نبحث عنه.

بمساواة التعبيرين، يصبح لدينا ثلاثة مضروبًا في المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تربيع ناقص ثلاثة ‪𝑛‬‏، مضروبًا في ‪𝑛‬‏ زائد واحد على اثنين زائد ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑛‬‏ تكعيب. والآن، سنفرغ بعض المساحة لتبسيط ذلك جبريًّا. لعزل الحد الذي نريده، نضيف ثلاثة ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑛‬‏ زائد واحد على اثنين إلى طرفي المعادلة، كذلك نطرح ‪𝑛‬‏ لنحصل على ثلاثة مضروبًا في المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي ‪𝑛‬‏ تكعيب زائد ثلاثة ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑛‬‏ زائد واحد على اثنين ناقص ‪𝑛‬‏.

لتجميع كل الحدود الموجودة في الطرف الأيمن، نكتبها جميعًا بالمقام المشترك اثنين؛ لنحصل على اثنين ‪𝑛‬‏ تكعيب زائد ثلاثة ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑛‬‏ زائد واحد ناقص اثنين ‪𝑛‬‏ الكل على اثنين. وبتوزيع القوسين الموجودين في المنتصف ثم تجميع الحدود المتشابهة، يصبح الطرف الأيمن اثنين ‪𝑛‬‏ تكعيب زائد ثلاثة ‪𝑛‬‏ تربيع زائد ‪𝑛‬‏ على اثنين. بعد ذلك، نحلل التعبير الموجود في البسط بأخذ العامل المشترك ‪𝑛‬‏؛ لنحصل على ثلاثة مضروبًا في المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في اثنين ‪𝑛‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑛‬‏ زائد واحد الكل على اثنين.

في الخطوة التالية، سنحلل كثيرة الحدود التربيعية اثنين ‪𝑛‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑛‬‏ زائد واحد. هذا يساوي ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في اثنين ‪𝑛‬‏ زائد واحد. ومن ثم، يصبح لدينا ثلاثة مضروبًا في المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في اثنين ‪𝑛‬‏ زائد واحد الكل على اثنين. الخطوة الأخيرة هي قسمة طرفي المعادلة على ثلاثة، وهو ما يعطينا المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في اثنين ‪𝑛‬‏ زائد واحد على ستة.

وبذلك نكون قد أوجدنا مقدارًا جبريًّا للمجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تربيع، وهو يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في اثنين ‪𝑛‬‏ زائد واحد على ستة. تذكر أنه علينا أن نحفظ هذه النتيجة عن ظهر قلب. لكن إذا كان علينا مشاركة استنتاج ذلك التعبير، فإننا نتذكر أنه يأتي من تناول مفكوك ذات الحدين ‪𝑟‬‏ ناقص واحد تكعيب، وهو ما يمكن إعادة ترتيبه ليصبح ‪𝑟‬‏ تكعيب ناقص ‪𝑟‬‏ ناقص واحد تكعيب يساوي ثلاثة ‪𝑟‬‏ تربيع ناقص ثلاثة ‪𝑟‬‏ زائد واحد.

نفكر في المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ للتعبيرين الموجودين في كلا طرفي هذه المعادلة، مع تذكر النتيجتين القياسيتين للمجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏، والمجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لثابت ما. إذن، وجدنا أن المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في اثنين ‪𝑛‬‏ زائد واحد على ستة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.