نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﻝ خط مستقيم يمر بالنقطة سالب ستة، ثمانية، تسعة، ويصنع زوايا متساوية مع المحاور الإحداثية الثلاثة. ما المسافة العمودية بين النقطة سالب أربعة، خمسة، ثلاثة، والمستقيم ﻝ، لأقرب جزء من مائة؟
مطلوب منا إيجاد المسافة العمودية بين نقطة لها الإحداثيات سالب أربعة، خمسة، ثلاثة، والمستقيم ﻝ المار بالنقطة سالب ستة، ثمانية، تسعة، والذي يصنع زوايا متساوية مع المحاور الإحداثية الثلاثة. ولفعل ذلك، سنستخدم الصيغة الموضحة. في هذه الصيغة، ﻑ هي المسافة العمودية من النقطة إلى المستقيم، وهي تساوي معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃﺏ في متجه الاتجاه ﻫ مقسومًا على معيار متجه الاتجاه ﻫ. وﻭﺏ هو متجه الموضع للنقطة، ومركباته في هذه الحالة هي سالب أربعة، خمسة، ثلاثة. وﻭﺃ هو متجه الموضع لنقطة على المستقيم ﻝ، ومركباته هي سالب ستة، ثمانية، تسعة. وﻫ هو متجه الاتجاه للمستقيم.
حسنًا، علينا إيجاد متجه الاتجاه للمستقيم. علمنا من المعطيات أن المستقيم يصنع زوايا متساوية مع المحاور الإحداثية الثلاثة. لذا دعونا نفكر فيما يعنيه ذلك. إذا افترضنا أن المثال لدينا في بعدين، فسنجد أن المستقيم الذي يكون زاويتين متساويتين مع المحورين ﺱ وﺹ له ميل يساوي واحدًا. هذا يعني أنه لكل وحدة واحدة نتحركها في الاتجاه ﺱ، نتحرك وحدة واحدة في الاتجاه ﺹ. وبهذا، يكون لهذا المستقيم متجه الاتجاه الذي مركبتاه واحد، واحد.
إذا طبقنا نفس المنطق على المثال لدينا في ثلاثة أبعاد، فسنجد أن متجه الاتجاه للمستقيم الذي يكون زوايا متساوية مع المحاور الإحداثية الثلاثة له المركبات واحد، واحد، واحد. بهذا، يكون لدينا متجه الموضع للنقطة وهو سالب أربعة، خمسة، ثلاثة. ولدينا أيضًا متجه الموضع للنقطة الواقعة على المستقيم وهو سالب ستة، ثمانية، تسعة. وكذلك لدينا متجه الاتجاه الذي مركباته واحد، واحد، واحد.
والآن، لكي نتمكن من استخدام الصيغة لدينا لإيجاد المسافة العمودية بين النقطة والمستقيم، علينا إيجاد المتجه ﺃﺏ. وهو يساوي ﻭﺏ ناقص ﻭﺃ، أو بمعنى آخر سالب أربعة، خمسة، ثلاثة ناقص سالب ستة، ثمانية، تسعة. لطرح متجه من متجه آخر، فإننا نطرح مركباتهما المتناظرة كلًّا على حدة. سالب أربعة ناقص سالب ستة يساوي اثنين، وخمسة ناقص ثمانية يساوي سالب ثلاثة، وثلاثة ناقص تسعة يساوي سالب ستة.
سنفرغ بعض المساحة وننتقل إلى العنصر التالي الذي علينا إيجاده في الصيغة لدينا، وهو حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃﺏ مع متجه الاتجاه ﻫ. ويمكننا الحصول عليه بإيجاد محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة يتكون صفها الأول من متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ، ويكون صفاها الثاني والثالث هما المتجه ﺃﺏ ومتجه الاتجاه ﻫ على الترتيب.
سنبدأ بالفك باستخدام الصف الأول لنحصل على محدد مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين وعناصرها هي سالب ثلاثة، سالب ستة، واحد، واحد مضروبًا في ﺱ ناقص محدد مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين وعناصرها اثنان، سالب ستة، واحد، واحد مضروبًا في ﺹ زائد محدد مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين وعناصرها اثنان، سالب ثلاثة، واحد، واحد مضروبًا في متجه الوحدة ﻉ. وبتذكر أن محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي عناصرها ﺃ وﺏ وﺟ و𝑑 يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ، تصبح لدينا المعادلة سالب ثلاثة ناقص سالب ستة ﺱ ناقص اثنين ناقص سالب ستة ﺹ زائد اثنين ناقص سالب ثلاثة ﻉ، وهذا يساوي ثلاثة ﺱ ناقص ثمانية ﺹ زائد خمسة ﻉ.
نفرغ بعض المساحة مجددًا وننتقل إلى الخطوة التالية، وهي إيجاد معيار حاصل الضرب الاتجاهي هذا. لفعل ذلك، علينا حساب الجذر التربيعي لمجموع مربعات المركبات. هذا يعني أن علينا حساب الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد سالب ثمانية تربيع زائد خمسة تربيع. وهذا يساوي ببساطة الجذر التربيعي لتسعة زائد ٦٤ زائد ٢٥، أو الجذر التربيعي لـ ٩٨ بعد مزيد من التبسيط.
العنصر الأخير في الصيغة لدينا هو معيار متجه الاتجاه ﻫ. وبما أن المركبات الثلاث للمتجه ﻫ تساوي واحدًا، فإن معيار هذا المتجه يساوي الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد واحد تربيع زائد واحد تربيع، وهو ما يساوي ببساطة الجذر التربيعي لثلاثة. لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لحساب المسافة ﻑ. سنقسم الجذر التربيعي لـ ٩٨ على الجذر التربيعي لثلاثة ليصبح لدينا الجذر التربيعي لـ ٩٨ على ثلاثة، وبكتابة ذلك في أبسط صورة جذرية، نحصل على سبعة جذر ستة على ثلاثة. وهذا يساوي ٥٫٧١٥ لأقرب ثلاث منازل عشرية. مطلوب منا كتابة الإجابة لأقرب جزء من المائة، ومن ثم، يمكننا قول إن المسافة العمودية من النقطة سالب أربعة، خمسة، ثلاثة إلى المستقيم ﻝ الذي يمر بالنقطة سالب ستة، ثمانية، تسعة، ويصنع زوايا متساوية مع المحاور الإحداثية الثلاثة، تساوي ٥٫٧٢ وحدات.
