فيديو الدرس: الوسيط لمجموعة بيانات الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد وسيط مجموعة بيانات ونفسره.

١٧:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد وسيط مجموعة بيانات ونفسره. الوسيط هو أحد أنواع المتوسط. وسنبدأ بتعريفه. الوسيط هو نموذج لأحد مقاييس المركز أو النزعة المركزية. المنوال والوسط الحسابي أيضًا من مقاييس المركز، ولكننا سنناقش الوسيط فقط في هذا الفيديو. الوسيط هو عدد واحد يعطينا بعض المعلومات عن القيم النموذجية في مجموعة بيانات. وعلى وجه التحديد، الوسيط يمثل القيمة التي تتوسط مجموعة من البيانات. أي إن نصف البيانات تكون أعلى الوسيط والنصف الآخر منها يكون أسفل الوسيط. سنبدأ بالنظر في بعض الأمثلة التي نحسب فيها الوسيط لمجموعة بيانات صغيرة.

أوجد الوسيط لمجموعة القيم: ستة، وثمانية، و١٦، وستة، و١٩.

الوسيط هو القيمة التي تتوسط مجموعة من البيانات. لحساب وسيط مجموعة صغيرة من البيانات، يمكننا أن نتبع خطوتين بسيطتين. أولًا، نرتب الأعداد ترتيبًا تصاعديًا. في هذا السؤال، سيكون الترتيب: ستة، وستة، وثمانية، و١٦، و١٩. الخطوة الثانية هي إيجاد العدد الأوسط أو القيمة الوسطى. في مجموعات البيانات الصغيرة، يمكننا إجراء ذلك بشطب الأعداد من كلا الطرفين. نبدأ بشطب ستة و١٩، وهما أصغر وأكبر عددين. ثم نشطب ستة و١٦. وبذلك، يتبقى لدينا عدد واحد في المنتصف. إذن، الوسيط لمجموعة القيم هذه هو ثمانية.

هناك طريقة أخرى بديلة لإيجاد الوسيط بعد ترتيب الأعداد ترتيبًا تصاعديًا، وهي استخدام قاعدة أو صيغة بسيطة. يمكننا حساب موضع الوسيط باستخدام الصيغة ﻥ زائد واحد مقسومًا على اثنين، حيث ﻥ هو عدد القيم. في هذا السؤال، لدينا خمسة أعداد. ومن ثم، يمكننا حساب موضع الوسيط عن طريق جمع خمسة زائد واحد ثم القسمة على اثنين. هذا يساوي ثلاثة. وبذلك، فإن الوسيط هو العدد الثالث في القائمة. عند عد الأعداد من اليمين إلى اليسار بترتيب تصاعدي، نجد أن العدد الثالث هو ثمانية. إذن، الوسيط يساوي ثمانية.

أوجد الوسيط لمجموعة القيم الآتية: ١٣، وخمسة، وتسعة، و١٠، واثنان، و١٥.

يمكننا حساب الوسيط لأي مجموعة بيانات باتباع خطوتين. أولًا، نرتب الأعداد ترتيبًا تصاعديًا. في هذا السؤال، الأعداد الستة حسب الترتيب التصاعدي لها هي: اثنان، وخمسة، وتسعة، و١٠، و١٣، و١٥. الوسيط هو العدد الأوسط. إذن، علينا إيجاد القيمة الوسطى في القائمة. إحدى طرق إجراء ذلك هي شطب عدد من كل طرف للقائمة. فنشطب العدد الأكبر، ١٥، والعدد الأصغر، اثنين. وبعدها، نشطب العددين الأكبر والأصغر التاليين، وهما ١٣ وخمسة. يتبقى لدينا الآن قيمتان في المنتصف، وهما تسعة و١٠.

لإيجاد الوسيط في هذه الحالة، علينا إيجاد العدد الذي يقع في المنتصف بين القيم الوسطى. ويمكننا حساب ذلك عن طريق جمع القيمتين الوسطيين ثم القسمة على اثنين. تسعة زائد ١٠ يساوي ١٩، وبقسمة ذلك على اثنين نحصل على ٩٫٥. إذن، فإن الوسيط لمجموعة القيم الست يساوي ٩٫٥. يجب أن يكون نصف هذه القيم أكبر من هذه القيمة، وهي هنا: ١٠ و١٣ و١٥. ويجب أن يكون نصف القيم الآخر أقل من ٩٫٥ وهي: تسعة، وخمسة، واثنان.

كما أن هناك طريقة بديلة وهي إيجاد موضع الوسيط. يمكننا إجراء ذلك باستخدام الصيغة ﻥ زائد واحد مقسومًا على اثنين، حيث ﻥ هو عدد القيم. في هذا السؤال، لدينا ست قيم. فعلينا أن نجمع ستة زائد واحد ثم نقسم على اثنين. هذا يساوي ٣٫٥. ومن ثم، يقع الوسيط بين القيمتين الثالثة والرابعة. وبما أن القيمة الثالثة تساوي تسعة والقيمة الرابعة تساوي ١٠، فقد أثبتنا بذلك مجددًا أن الوسيط يساوي ٩٫٥.

ما وسيط الأعداد التالية: ١١، و١١، وثمانية، وثمانية، وتسعة، وتسعة؟

وسيط أي مجموعة بيانات هو العدد الأوسط. ويمكننا حساب ذلك باستخدام خطوتين. أولًا، علينا أن نرتب الأعداد ترتيبًا تصاعديًا. في هذا السؤال، لدينا العدد ثمانية مرتين، يليه العدد تسعة مرتين، ثم العدد ١١ مرتين. بالنسبة لمجموعة بيانات صغيرة كهذه، يمكننا إذن إيجاد العدد الأوسط عن طريق شطب عدد واحد من كلا الطرفين، فنشطب، أولًا، ثمانية و١١. يمكننا بعد ذلك شطب العدد ثمانية الثاني والعدد ١١ الثاني. وبذلك، يتبقى لدينا عددان أوسطان. عادة، عند وجود قيمتين في المنتصف، علينا أن نحسب العدد الذي يقع في المنتصف بينهما. وفي هذه الحالة، بما أن كلا العددين الأوسطين متماثلين، فإن هذه القيمة هي الوسيط. إذن، وسيط هذه الأعداد الستة ١١، و١١، وثمانية، وثمانية، وتسعة، وتسعة هو تسعة.

المسألة التالية التي سنتناولها أكثر تعقيدًا؛ حيث يوجد عدد ناقص، ولكن الوسيط معلوم.

لدى دينا البيانات التالية: ١٠، وثمانية، وسبعة، وتسعة، وﻡ. إذا كان الوسيط يساوي ثمانية، فما العدد الذي يمكن أن يساوي ﻡ؟ هل هو (أ) سبعة، أم (ب) ٨٫٥، أم (ج) تسعة، أم (د) ٩٫٥، أم (هـ) ١٠؟

يمثل الوسيط القيمة التي تتوسط البيانات. وهذا يعني أن نصف قيم البيانات تكون أعلاه ونصفها الآخر أسفله. يمكننا البدء بترتيب البيانات والتفكير في كيفية إيجاد قيمة العدد ﻡ. بترتيب القيم الأربع التي لدينا، نحصل على سبعة، وثمانية، وتسعة، و١٠. ونعلم أن الوسيط يساوي ثمانية. بما أن الوسيط هو القيمة التي تتوسط خمس قيم، فلا بد أن يكون هو العدد الثالث عند ترتيبها من الأصغر إلى الأكبر. يجب أن تكون هناك قيمتان فوق ثمانية وقيمتان تحت ثمانية. ولكتابة العدد على يمين ثمانية، يجب أن يكون العدد أقل من أو يساوي ثمانية.

إذا كان ﻡ أي عدد صحيح أقل من سبعة، فسيكون هو العدد الأول في القائمة. فيمكن أن تكون الأعداد الصحيحة الموجبة هنا واحدًا، واثنين، وثلاثة، وأربعة، وخمسة، وستة. لكن، لا يوجد أي من هذه الخيارات في السؤال. يمكن أن يكون العدد الناقص سبعة أيضًا، حيث إن السبعتين ستكتبان على يمين ثمانية؛ لأنهما أصغر من ثمانية. وعليه، فمن بين الخيارات الخمسة، الإجابة الصحيحة هي الخيار (أ)، سبعة. لا يمكن أن يكون ﻡ ٨٫٥، أو تسعة، أو ٩٫٥، أو ١٠؛ لأن كل هذه القيم أكبر من ثمانية وستقع على يسار العدد ثمانية.

كان من الممكن أن يكون العدد الناقص هو ثمانية. ولو كان الأمر كذلك، لكان سبعة هو العدد الأول في القائمة. وبذلك، كان سيصبح لدينا ثمانيتان. ولظل العدد الثالث ثمانية، وهو الوسيط. إذن، بما أن قيمة ﻡ يمكن أن تكون أي عدد أقل من أو يساوي ثمانية، فإن الإجابة الصحيحة هنا هي سبعة.

السؤال الأخير الذي سنتناوله أكثر تعقيدًا حيث يتضمن مجموعة بيانات كبيرة.

أوجد وسيط مجموعة البيانات الممثلة في التمثيل بالنقاط الموضح.

خط الأعداد هنا يمتد من اثنين إلى ١٤. ويمثل عدد رموز ‪𝑥‬‏ عدد كل قيمة لدينا. توجد أربع علامات ‪𝑥‬‏ أعلى العدد أربعة. إذن، لدينا أربعة من العدد أربعة. وتوجد ست علامات ‪𝑥‬‏ أعلى العدد خمسة، إذن لدينا ستة من العدد خمسة. ولدينا اثنان من العدد ستة، واثنان من العدد سبعة. واستكمالًا لهذا، لدينا ستة من العدد ثمانية، وثلاثة من العدد تسعة، واثنان من العدد ١٠، وثلاثة من العدد ١١، وثلاثة من العدد ١٢، وستة من العدد ١٣، وثلاثة من العدد ١٤. نعلم أن الوسيط هو القيمة الوسطى عندما تكون الأعداد مرتبة ترتيبًا تصاعديًا.

وإحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال هي كتابة جميع الأعداد من الأصغر إلى الأكبر. سنكتب العدد أربعة أربع مرات. وسنكتب العدد خمسة ست مرات. وسيكون لدينا اثنان من العدد ستة، واثنان من العدد سبعة. ستستمر القائمة كما هو موضح حتى ثلاثة من العدد ١٤. يوجد هنا إجماليًا ٤٠ قيمة. يمكننا إيجاد العدد الأوسط عن طريق شطب عدد واحد من كل طرف، أولًا، أي العدد الأكبر والعدد الأصغر. نكرر هذا بشطب أربعة آخر و١٤ آخر. عند شطب أصغر ١٠ أعداد تالية وأكبر ١٠ أعداد تالية، سيتبقى لدينا الأعداد من سبعة إلى ١١. يمكننا استكمال هذه العملية حتى يتبقى لدينا قيمتان في المنتصف، وهما ثمانية وتسعة.

عند وجود عدد زوجي من القيم الإجمالية، فسيكون هناك دائمًا قيمتان في المنتصف. وعندئذ، يمكننا إيجاد الوسيط بإيجاد العدد الذي يقع في المنتصف بينهما. سنفعل ذلك هنا عن طريق جمع ثمانية وتسعة ثم قسمة الناتج على اثنين. ثمانية زائد تسعة يساوي ١٧، ونصف ١٧ يساوي ٨٫٥. ويتضح من ذلك أن ٨٫٥ يقع في المنتصف بين ثمانية وتسعة. إذن، هذا هو وسيط مجموعة البيانات.

هناك طريقة أخرى بديلة، وهي حساب موضع الوسيط أولًا. يمكننا حساب موضع الوسيط باستخدام الصيغة ﻥ زائد واحد على اثنين، حيث ﻥ هو إجمالي عدد القيم. ‏‏٤٠ زائد واحد يساوي ٤١. وبقسمة ذلك على اثنين نحصل على ٢٠٫٥. بما أن ٢٠٫٥ يقع بين العددين الصحيحين ٢٠ و٢١، فإننا نعرف أن الوسيط سيقع في المنتصف بين القيمتين رقم ٢٠ ورقم ٢١.

ولإيجاد القيمتين رقم ٢٠ و٢١، يمكننا إيجاد المجموع المتراكم أو التكرار المتجمع. سنفعل ذلك بجمع عدد القيم التي لدينا. أربعة زائد ستة يساوي ١٠. وبجمع اثنين، نحصل على ١٢. هذا يعني أن ١٢ قيمة تتكون من ستة أو أصغر. وبجمع اثنتين أخريين من القيم نحصل على ١٤، وبجمع ستة نحصل على ٢٠. هذا يعني أن ٢٠ قيمة تتكون من ثمانية أو أصغر. وبما أن العدد الإجمالي هو ٤٠ قيمة، فلا بد إذن من وجود ٢٠ قيمة تتكون من تسعة أو أكبر. القيمة رقم ٢٠ تساوي ثمانية، والقيمة رقم ٢١ تساوي تسعة. ومرة أخرى، إيجاد نقطة المنتصف لهاتين القيمتين يعطينا الوسيط ٨٫٥. هذه الطريقة مفيدة عندما يكون لدينا عدد كبير من القيم حيث إنها توفر علينا كتابة مجموعة البيانات بالكامل.

سنلخص الآن النقاط الأساسية الواردة في هذا الفيديو عن الوسيط لمجموعة من البيانات. لحساب الوسيط من مجموعة بيانات، الخطوة الأولى هي ترتيب البيانات ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر إلى الأكبر. بعد ذلك، علينا إيجاد القيمة الوسطى أو القيمتين الوسطيين. إذا كان هناك عدد فردي من قيم البيانات، فستكون هناك قيمة واحدة فقط في المنتصف. أما إذا كان هناك عدد زوجي من قيم البيانات، فستكون هناك قيمتان في المنتصف. الخطوة الثالثة والأخيرة هي إيجاد الوسيط.

إذا كان هناك عدد فردي من قيم البيانات، فإن الوسيط هو العدد الأوسط. أما إذا كان هناك عدد زوجي من قيم البيانات، فإن الوسيط يقع في المنتصف بين العددين الأوسطين. وأخيرًا، إذا كان لدينا مجموعة كبيرة من البيانات، فيمكننا حساب موضع الوسيط باستخدام الصيغة ﻥ زائد واحد مقسومًا على اثنين، حيث ﻥ هو إجمالي عدد قيم البيانات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.