نسخة الفيديو النصية
أوجد المعكوس الضربي للمصفوفة سالب خمسة، صفر، صفر؛ صفر، سالب خمسة، صفر؛ صفر، صفر، سالب خمسة.
حسنًا، المعكوس الضربي للمصفوفة هو معكوس المصفوفة الذي عند ضربه في المصفوفة الأصلية نحصل على 𝐼، حيث 𝐼 هي مصفوفة الوحدة. ومصفوفة الوحدة هي مصفوفة تكون فيها جميع العناصر تساوي صفرًا فيما عدا القطر من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار، حيث العناصر تساوي واحدًا.
ونظرًا لأننا نتناول مصفوفة هنا، وهي في الواقع مصفوفة قطرية، أي إن العناصر الوحيدة التي لا تساوي صفرًا هي العناصر القطرية، فإن عملية إيجاد المعكوس ستكون أبسط بكثير. لكن دعونا نتناول الخطوات على أي حال. حسنًا، الخطوات الأربع لإيجاد معكوس أي مصفوفة تبدأ بالخطوة الأولى وهي إيجاد مصفوفة المحددات الصغرى. الخطوة الثانية هي إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة، والخطوة الثالثة هي إيجاد المصفوفة الملحقة. وأخيرًا، الخطوة الرابعة هي الضرب في واحد على محدد المصفوفة الأصلية.
نسمي المصفوفة الأصلية في السؤال المصفوفة ﺃ، ثم نتناول إيجاد مصفوفة المحددات الصغرى. أصبح لدينا الآن مصفوفة المحددات الصغرى. هيا نذكر أنفسنا بالطريقة التي أوجدنا بها كلًّا من المصفوفات الصغرى. إذا ألقينا نظرة على العنصر الأول، فسنجد أن المصفوفة الصغرى هنا يتم تكوينها عن طريق حذف الصف والعمود اللذين يقع فيهما العنصر الأول. ومن ثم، تتبقى المصفوفة الفرعية التي رتبتها اثنان في اثنين، وهي سالب خمسة، صفر، صفر، سالب خمسة. بعد ذلك، نوجد محدد هذه المصفوفة.
حسنًا، لدينا مصفوفة المحددات الصغرى. وعلينا الآن حساب القيم. لكن، كما ذكرنا سابقًا، لدينا مصفوفة قطرية. إذن، تكون الخطوة التالية أسهل بكثير. نذكر أنفسنا سريعًا بكيفية إيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، ونفترض أنه لدينا المصفوفة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ. المحدد يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. إذن، نحن نقوم بعملية ضرب تبادلي ثم نطرح. وبما أننا نتناول مصفوفة قطرية، يمكننا ملاحظة أن جميع المصفوفات الصغرى الموجودة لدينا، باستثناء المصفوفات الصغرى الثلاث من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار، بها أصفار في قطري كل منها. وهي بذلك تساوي صفرًا؛ لأن صفرًا مضروبًا في أي قيمة يساوي صفرًا.
جميع المصفوفات الصغرى القطرية متطابقة أيضًا. إذن، علينا حساب قيمة مصفوفة واحدة منها فقط. لدينا سالب خمسة مضروبًا في سالب خمسة، وهو ما يساوي ٢٥، ناقص صفر مضروبًا في صفر، وهو ما يساوي صفرًا. إذن، هذا يساوي ٢٥. بذلك أصبح لدينا مصفوفة المحددات الصغرى.
الخطوة التالية بسيطة وسهلة؛ لأن كل ما علينا فعله مع مصفوفة العوامل المرافقة هو إضافة الإشارات التي نحصل عليها من قاعدة الإشارات لمصفوفة العوامل المرافقة. وهي موجب، سالب، موجب؛ سالب، موجب، سالب؛ موجب، سالب، موجب. وفي الواقع، إذا نظرنا إلى مصفوفة المحددات الصغرى لدينا، فسنجد أنه لن يكون لذلك أي تأثير على الإطلاق؛ لأن القيم الوحيدة موجودة في الأقطار وكلها موجبة على أي حال.
ولأن جميع هذه القيم موجبة في قاعدة الإشارات، فهذا يعني أن إشاراتها لن تتغير. إذن، مصفوفة العوامل المرافقة ستكون مماثلة لمصفوفة المحددات الصغرى. رائع. بذلك نكون أكملنا الخطوة الثانية.
ننتقل الآن إلى الخطوة الثالثة وهي بسيطة جدًّا أيضًا. هذا بسبب النوع الخاص للمصفوفة لدينا، حيث ذكرنا بالفعل أنها مصفوفة قطرية. حسنًا، لإيجاد المصفوفة الملحقة في الخطوة الثالثة، كل ما سنفعله هو تبديل العناصر حول القطر كما هو موضح بالأسهم. ولكن، جميع هذه العناصر متساوية، فكلها تساوي صفرًا. إذن، مرة أخرى، ستكون المصفوفة الملحقة مماثلة تمامًا لمصفوفة العوامل المرافقة. كل ما علينا فعله الآن هو الانتقال إلى الخطوة الرابعة، وهي الضرب في واحد على محدد ﺃ.
تجدر الإشارة هنا إلى أنه عندما يكون لدينا هذا النوع من المصفوفات، يمكننا دائمًا تخطي الخطوتين الثانية والثالثة لأنهما لا تغيران المصفوفة لدينا.
إذن، علينا هنا تذكير أنفسنا بكيفية إيجاد محدد مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة. إذا كان لدينا المصفوفة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، ﻫ، ﻭ، ﺯ، ﺣ، ﻁ، فإن هذا المحدد يساوي ﺃ مضروبًا في المصفوفة الصغرى أو محدد المصفوفة الجزئية من الرتبة اثنان في اثنين ﻫ، ﻭ، ﺣ، ﻁ، ناقص ﺏ مضروبًا في ﺩ، ﻭ، ﺯ، ﻁ زائد ﺟ مضروبًا في محدد المصفوفة الجزئية من الرتبة اثنان في اثنين ﺩ، ﻫ، ﺯ، ﺣ.
في الواقع، عادة ما تكون هذه عملية طويلة بعض الشيء. لكن في هذا السؤال، لن تكون كذلك على الإطلاق لأننا أوجدنا مصفوفة المحددات الصغرى بالفعل. بعد ذلك، كل ما علينا فعله هو ضربها في كل عنصر من عناصر الصف الأول من المصفوفة الأصلية. لكن ما يجعل الأمر أكثر سهولة في هذا النوع من المصفوفات الذي نتناوله هو حقيقة أن العنصرين الثاني والثالث في الصف الأول يساويان صفرًا في مصفوفة المحددات الصغرى والمصفوفة الأصلية. ومن ثم، يمكننا تجاهلهما.
إذن، المحدد يساوي سالب خمسة مضروبًا في ٢٥، وهو ما يساوي سالب ١٢٥. لذا، معكوس المصفوفة سيكون سالب واحد على ١٢٥، أي واحدًا على محدد المصفوفة، مضروبًا في المصفوفة ٢٥، صفر، صفر، صفر، ٢٥، صفر، صفر، صفر، ٢٥، وهو ما يمكن أن يكتب أيضًا على الصورة سالب خمس، صفر، صفر؛ صفر، سالب خمس، صفر؛ صفر، صفر، سالب خمس.
نلاحظ هنا أن كل ما كان علينا فعله لتكوين هذه المصفوفة هو النظر إلى سالب خمسة والتفكير في السؤال: «ما القيمة التي يمكن ضربها في سالب خمسة للحصول على واحد؟» حسنًا، سالب خمسة مضروبًا في سالب واحد على خمسة يعطينا واحدًا. ومن ثم، كنا سنحصل من ذلك على المصفوفة العكسية أو المعكوس الضربي للمصفوفة. إذن، يمكن أن تكون هذه طريقة مختصرة للتوصل إلى النتيجة نفسها.
