فيديو: حساب السرعة المتجهة اللحظية باستخدام الاشتقاق

سوزان فائق

يوضح الفيديو تعريف السرعة المتجهة اللحظية، وكيفية حسابها باستخدام قواعد الاشتقاق، ومثالًا توضيحيًّا.

٠٥:٢٢

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على السرعة المتجهة اللحظية باستخدام الاشتقاق.

في الأول هنعرف يعني إيه السرعة المتجهة اللحظية، وإزّاي بنحسبها باستخدام النهايات. وبعدين هنشوف إزّاي هنحسبها باستخدام قواعد الاشتقاق الأساسية.

السرعة المتجهة اللحظية بتساوي سرعة الجسم المتجهة عند أيّ لحظة. وعلشان نعرف نحسب قيمتها بنوجد معدّل التغيّر اللحظي لمنحنى الدالة عند أيّ لحظة. يعني لو عندنا دالة د ن عند أيّ لحظة ن، فالسرعة المتجهة اللحظية هتساوي د شرطة ن. اللي هي نهاية د، ن زائد هـ، ناقص د ن؛ على الـ هـ، لمّا الـ هـ بتئول للصفر. بشرط أن تكون النهاية موجودة.

الـ د شرطة دي بنسمّيها مشتقّة الدالة. حيث أن مشتقّة الدالة هي ميل المماس لمنحنى الدالة د ن عند أيّ نقطة عليه، وبيُرمز لها بالرمز د شرطة ن. والاشتقاق هو عملية إيجاد المشتقّة للدالة.

طيّب علشان نحسب السرعة المتجهة اللحظية، فممكن نستخدم قانون النهايات ده. أو إن إحنا نستخدم مشتقّة الدالة مباشرةً؛ باستخدام القواعد الأساسية للاشتقاق. قواعد الاشتقاق الأساسية هي: مشتقّة الثابت، ومضاعفات القوّة، ومشتقّة المجموع والفرق.

مشتقّة الثابت: إذا كانت د س بتساوي ل، وحيث ل عدد ثابت، فإن د شرطة س بتساوي صفر. ومشتقّة مضاعفات القوى: إذا كانت د س بتساوي ل في س أُس ن؛ حيث ل عدد ثابت، وَ ن عدد حقيقي. فإن د شرطة س بتساوي ل في ن، في س أُس ن ناقص الواحد. مشتقّة المجموع والفرق: إذا كانت ك س بتساوي د س زائد أو ناقص ر س. فإن ك شرطة س بتساوي د شرطة س زائد أو ناقص ر شرطة س.

يبقى باستخدام قواعد الاشتقاق يمكن إيجاد قيمة السرعة المتجهة اللحظية بخطوات أقل. بدل ما كل مرة نستخدم النهايات، ونعوّض مكان الـ س بـ ن زائد هـ مرة، ومرة بالـ ن، ونجيب النهاية. دي بتاخد خطوات أكتر من إن إحنا نستخدم قواعد الاشتقاق الأساسية مباشرةً. نقلب الصفحة، ونشوف مثال إزّاي هنحسب السرعة المتجهة اللحظية باستخدام قواعد الاشتقاق.

المسافة التي يقطعها جسم بالسنتيمترات بعد ن ثانية هي: س ن بتساوي تمنتاشر ن، ناقص تلاتة ن أُس تلاتة، ناقص واحد. اوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية ع ن للجسم.

هنا دي معادلة مسافة، ومعادلة السرعة المتجهة هي: ع ن؛ مشتقّة س ن. يعني مطلوب منّنا نحسب س شرطة ن، اللي بتمثّل ميل المماس للدالة س ن، وهي نفسها معادلة السرعة المتجهة اللحظية.

علشان نحسب اشتقاق الدالة هنبصّ على كل حدّ. هنلاقي إن تمنتاشر ن دي مضاعفات القوّة، تلاتة ن تكعيب مضاعفات القوّة، واحد دي دالة ثابتة؛ مطروحين من بعض. يبقى هنستخدم قواعد مشتقّات الثابت، ودالة مضاعفات القوى، والفرق.

يبقى س شرطة ن هتساوي … تمنتاشر ن نجيب الاشتقاق بتاعها، هيبقى تمنتاشر. ناقص … تلاتة ن أُس تلاتة، يبقى تلاتة في … هننزّل الأُس، اللي هو التلاتة، ونطرح من الأُس واحد؛ يبقى تلاتة ناقص الواحد. ناقص … مشتقّة الواحد تساوي صفر. يبقى س شرطة ن هتساوي تمنتاشر ناقص تسعة ن تربيع.

يبقى كده عرفنا نحسب السرعة المتجهة اللحظية س شرطة ن اللي هي بتساوي ع ن في خطوة واحدة باستخدام قواعد الاشتقاق. بدل ما كنّا هنعوّض مكان كل ن بـ ن زائد هـ مرة، ومرة بـ ن. وبعد كده بنجيب النهاية للدالة د، ن زائد هـ، ناقص د ن؛ على هـ، لمّا الـ هـ بتئول للصفر. طبعًا دي بتاخد خطوات أكتر، فالحل باستخدام قواعد الاشتقاق بيبقى أسهل.

يبقى اتكلّمنا في الفيديو ده إزّاي هنحسب السرعة المتجهة اللحظية باستخدام الاشتقاق.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.