فيديو السؤال: حساب الانحراف المعياري لمجموعة بيانات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يوضح الجدول أطوال بعض لاعبي كرة السلة بالسنتيمترات. احسب الانحراف المعياري للأطوال، لأقرب ثلاث منازل عشرية.

ها هي الأعداد التي لدينا ١٨٠ و١٨١ و١٨٣ و١٨٥ و١٧٩ و١٨٤ و١٧٥ و١٨٨ و١٨٣ و١٨٤. الآن علينا حساب الانحراف المعياري. وسنستخدم هنا هذا الرمز، ‪𝜎‬‏، لتمثيل الانحراف المعياري. نأمل أن نذكر هنا أنه يمكننا إيجاز الانحراف المعياري في أنه يساوي جذر متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي.

وهذا يعني بشكل أساسي أن علينا حساب متوسط قيم البيانات المعطاة في السؤال. ومن ثم علينا إيجاد الفرق بين المتوسط وكل قيمة من قيم البيانات على حدة، وتربيع كل ناتج. بعد ذلك، نجمع كل هذه القيم ونقسم على عدد القيم التي لدينا. والناتج الذي سنحصل عليه هو ما نطلق عليه التباين.

إذا أخذنا الجذر التربيعي لهذا الناتج، فسنحصل على الانحراف المعياري. في البداية، سنحسب المتوسط. وسنطلق عليه ﺱ بار. بعد ذلك، سنقوم بتربيع الفرق بين كل قيمة من قيم البيانات والمتوسط. ومن ثم، سنجمع كل قيم مربعات الفروق هذه، ثم نقسم المجموع على عدد قيم البيانات التي لدينا، ثم نأخذ الجذر التربيعي لهذا الناتج.

حسنًا، دعونا نفرغ بعض المساحة أمامنا لإجراء بعض العمليات الحسابية. أولًا، لنحسب قيمة المتوسط لهذه البيانات. حسنًا، أول ما علينا فعله هو إيجاد عدد قيم البيانات التي لدينا. فلنعد القيم: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة، سبعة، ثمانية، تسعة، ١٠. إذن ﻥ، أي عدد قيم البيانات، يساوي ١٠.

علينا الآن جمع جميع القيم والقسمة على عدد هذه القيم. إذن، المتوسط هو مجموع جميع هذه الأعداد مقسومًا على ١٠، وهو ما يعطينا ١٨٢٢ مقسومًا على ١٠. هذا يعني أنه إذا وضعنا جميع لاعبي كرة السلة على الأرض كلًّا منهم وراء الآخر بحيث يلمس رأس أحدهم باطن قدم اللاعب الذي يسبقه، فسنحصل على طول إجمالي يساوي ١٨٢٢ سنتيمترًا. وإذا قسمنا هذا الطول على اللاعبين الـ ١٠ بالتساوي، فسيكون طول كل منهم ١٨٢٫٢ سنتيمترًا. إذن، متوسط الطول يساوي ١٨٢٫٢ سنتيمترًا. وبذلك نكون قد انتهينا من الخطوة الأولى من الإجابة.

علينا الآن تربيع الفرق بين المتوسط وطول كل لاعب من لاعبي كرة السلة. حسنًا، بالنسبة إلى الاعب الأول، الفرق يساوي ١٨٢٫٢ ناقص ١٨٠. وإذا قمنا بتربيع ذلك، فسنحصل على ٤٫٨٤.

وبالنسبة إلى اللاعب الثاني، تصبح العملية الحسابية ١٨٢٫٢ ناقص ١٨١ الكل تربيع، وهو ما يعطينا ١٫٤٤. أما عن لاعب كرة السلة الثالث فطوله ١٨٣ سنتيمترًا، وهذه القيمة أكبر من المتوسط. فإذا طرحنا طوله من المتوسط، فسنحصل على عدد سالب. لكن عند تربيع هذا العدد السالب، فإن عددًا سالبًا مضروبًا في عدد سالب يعطينا عددًا موجبًا. إذن، الإجابة هي ٠٫٦٤. وعلينا أن نجري هذه الخطوة مع كل لاعب من لاعبي كرة السلة. وبذلك، نكون قداستكملنا الخطوة الثانية.

والآن، علينا إجراء الخطوة الثالثة. علينا أن نجمع مربعات جميع هذه الفروق. فإذا جمعنا جميع هذه الأعداد، نحصل على الإجابة ١١٧٫٦. وبذلك نكون انتهينا من الخطوة الثالثة.

ننتقل الآن إلى الخطوة الرابعة وهي قسمة هذا المجموع على عدد قيم البيانات. حسنًا، يوجد ١٠ من لاعبي كرة السلة. علينا القسمة على ١٠. وكما نرى، فقد أوشكنا على الوصول إلى صيغة الانحراف المعياري.

لدينا الآن مجموع مربعات الفروق بين القيم والمتوسط مقسومًا على ١٠، وهو ما يساوي ١١٫٧٦. هذا هو التباين أو ‪𝜎‬‏ تربيع لمجموعة البيانات الخاصة بأطوال لاعبي كرة السلة.

لكن تذكر أننا نريد إيجاد الانحراف المعياري ‪𝜎‬‏. ومن ثم، علينا حساب الجذر التربيعي لهذه الإجابة. ووفقًا للآلة الحاسبة، فالجذر التربيعي يساوي ٣٫٤٢٩٢٨٥٦٤ وهكذا مع توالي الأرقام. لكن هيا نلق نظرة أخرى على السؤال. مطلوب منا حساب الانحراف المعياري لأقرب ثلاث منازل عشرية. علينا إذن تقريب هذا العدد لأقرب ثلاث منازل عشرية. إذن، نحصل من ذلك على الإجابة وهي أن الانحراف المعياري يساوي ٣٫٤٢٩ لأقرب ثلاث منازل عشرية.