فيديو الدرس: الزوايا المتقابلة بالرأس الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الزوايا المتقابلة بالرأس ونحل مسائلها.

١٧:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الزوايا المتقابلة بالرأس ونحل مسائلها. وسوف نلقي نظرة على إثبات قصير لنظرية الزوايا الرأسية قبل أن نتناول بعض الأمثلة البسيطة وأمثلة تتضمن استخدام الجبر.

عندما يلتقي خطان عند نقطة في مستوى، نقول إنهما يتقاطعان؛ أي إنهما خطان متقاطعان. أما إذا لم يكن الأمر كذلك، أي إذا لم يتقاطع الخطان، فسنقول إنهما متوازيان؛ أي لن يلتقيا أبدًا. على سبيل المثال، في هذا الشكل، نرى أن الخطين ﺃﺏ وﺟد يتقاطعان عند النقطة ﻡ.

ما الذي نعرفه عن هذه الزوايا إذن؟

ماذا تسمى الزاويتان ﺃﻡد وﺏﻡﺟ؟ سنبدأ هنا بالتعريف ببعض المصطلحات. نقول إنه إذا كان لدينا خطان متقاطعان، فستكون الزاويتان المقابلتان إحداهما للأخرى زاويتين متقابلتين بالرأس. وهذا يعني أن الزاوية ﺃﻡد، وهي هذه الزاوية، وﺏﻡﺟ، وهي هذه الزاوية، متقابلتان بالرأس. وبالمثل، ستكون الزاوية ﺃﻡﺟ، هذه الزاوية، والزاوية ﺏﻡد، هذه الزاوية، متقابلتين بالرأس أيضًا. إذن، فالعبارة التي تناسب هذه المساحة الفارغة هي «متقابلتان بالرأس».

ماذا نعرف إذن عن الزوايا المتقابلة بالرأس؟

إذا كانت الزاويتان متقابلتين بالرأس، فهل تكونان متساويتين في القياس؟ لدينا خطان ﺃﺏ وﺟد يتقاطعان عند النقطة ﻡ. نستخدم الآن إحدى المسلمات. إنها عبارة تستخدم في الإثبات، ونعرف أنها صحيحة. تنص المسلمة على أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة.

إذن، لننظر إلى الخط المستقيم ﺃﺏ. يمكننا القول إن مجموع قياسي الزاوية ﺃﻡد والزاوية ﺏﻡد يساوي ١٨٠ درجة. وبالمثل، يمكننا القول أيضًا إن مجموع قياسي الزاوية ﺃﻡﺟ والزاوية ﺏﻡﺟ يساوي ١٨٠ درجة. وفي الواقع، إذا نظرنا إلى الخط المستقيم ﺟد، يمكننا أن نصوغ عبارتين أخريين. وهما أن مجموع قياسي الزاويتين ﺃﻡﺟ وﺃﻡد يساوي ١٨٠ درجة وكذلك الحال بالنسبة لقياسي الزاويتين ﺏﻡﺟ وﺏﻡد.

إذن، سنعرف إحدى الزوايا. لنفترض أن قياس الزاوية ﺃﻡد يساوي ﺱ درجة. ويمكننا القول في هاتين العبارتين إن ﺱ زائد ﺏﻡد يساوي ١٨٠ درجة، ولكن كذلك ﺃﻡﺟ زائد ﺱ يساوي ١٨٠ درجة. سنعيد ترتيب المعادلتين بطرح ﺱ من كلا الطرفين. المعادلة الأولى ستكون ﺏﻡد يساوي ١٨٠ ناقص ﺱ. والمعادلة الأخرى ستصبح ﺃﻡﺟ يساوي ١٨٠ ناقص ﺱ.

والآن، لاحظ أننا أوضحنا أن ﺏﻡد يساوي ١٨٠ ناقص ﺱ وﺃﻡﺟ أيضًا يساوي ١٨٠ ناقص ﺱ. هذه النقاط الثلاث تعني «إذن»، ويمكننا القول، إذن، لا بد أن ﺏﻡد يساوي ﺃﻡﺟ. وهما، على الشكل الذي أمامنا، هذه الزاوية وهذه الزاوية. والآن، في واقع الأمر، بما أن هذا هو الحال وبما أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة، فيمكننا أن نقول إن ﺃﻡد وﺏﻡﺟ متساويتان أيضًا. وبالتالي، نقول إن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان في القياس. إذن، إجابة هذا السؤال هي «نعم».

لنر إذن كيف يمكن أن يساعدنا هذا في حل المسائل.

أوجد قيمة ﺱ في الشكل المعطى.

نقول إن هاتين الزاويتين متقابلتان رأسيًّا إحداهما مع الأخرى؛ إذن فهما زاويتان متقابلتان بالرأس. ويمكننا أن نذكر ما يلي. الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان في القياس. ومن ثم، فهذا لا بد وأن يعني أن هاتين الزاويتين، الموضحتين في الشكل، لا بد أن تكون كل منهما مساوية للأخرى. بعبارة أخرى، ﺱ يجب أن يساوي ٦٢. هذا كل شيء. وهذا هو حل هذه المسألة. إذن، ﺱ يساوي ٦٢.

في المثال التالي، سنعمل على زيادة التعقيد قليلًا ليشمل أكثر من زاويتين.

أوجد قيمة ﺱ.

أحيانًا، قد يكون من الصعب تحديد ما علينا فعله لإيجاد قياسات الزوايا المجهولة. ولذا، بدلًا من ذلك، سنرى ما نعرفه بالفعل ونبدأ منه. في الواقع، عادة ما توجد أكثر من طريقة للحل، كما في هذه المسألة. إذن، لنستعرض الحلين كليهما. لنبدأ برسم خطين مستقيمين. لدينا الخط المستقيم ﺃﺟ والخط المستقيم ﺏد. واللذان يتقاطعان في نقطة؛ إذن فهما خطان متقاطعان. ومن ثم، سنحاول العثور على بعض من أزواج الزوايا المتقابلة بالرأس.

والآن، إذا دققنا النظر، فسنلاحظ أن هذه الزاوية متقابلة بالرأس مع تلك الزاوية. نعلم أن الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية في القياس. وبذلك، فإن مجموع قياسي الزاويتين بين ﺃ ود، أي ﺱ و ٧٤، لا بد أن يساوي ١٤٤. يمكننا أن نصوغ معادلة، وهي ١٤٤ يساوي ﺱ زائد ٧٤. نحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ عن طريق طرح ٧٤ من كلا الطرفين. وبذلك، يصبح لدينا ﺱ يساوي ١٤٤ ناقص ٧٤. ‏١٤٤ ناقص ٧٤ يساوي ٧٠. ومن ثم، نجد أن ﺱ يساوي ٧٠. وقياس هذه الزاوية ٧٠ درجة.

لكن ما الذي كان يمكننا فعله أيضًا؟ حسنًا، نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أن مجموع قياسي هذه الزاوية وهذه الزاوية يساوي ١٨٠. ‏١٨٠ ناقص ١٤٤ يساوي ٣٦. لدينا هنا زاوية قياسها ٣٦ درجة. بعد ذلك، نستخدم الحقيقة نفسها؛ وهي أن مجموع الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠. ونعرف أن قياسات هذه الزاوية، وهذه الزاوية، وتلك الزاوية؛ يجب أن تساوي ١٨٠. ومن ثم، يمكننا صياغة معادلة. يمكننا القول إن ﺱ زائد ٧٤ زائد ٣٦ يساوي ١٨٠. ‏٧٤ زائد ٣٦ يساوي ١١٠. إذن، يصبح لدينا ﺱ زائد ١١٠ يساوي ١٨٠. ونحل المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ بطرح ١١٠ من كلا الطرفين. مرة أخرى، ﺱ يساوي ٧٠.

في المثال التالي، سنرى كيف يمكن أن تساعدنا المعادلات الجبرية المكونة من خطوتين على حل هذه المسائل.

في الشكل التالي، أوجد قيمة ﺱ.

في الشكل، لدينا خطان مستقيمان متقاطعان. ونقول إن هاتين الزاويتين متقابلتان بالرأس. ومن ثم، نتذكر ما نعرفه عن الزاويتين المتقابلتين بالرأس. نعلم أنهما متساويتان في القياس. ولذا، نقول إن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان في القياس. إذن، هذا يعني أن قياسا الزاويتين، اثنين ﺱ زائد خمسة و ٦٧، متساويان. لنكتب ذلك على صورة معادلة: اثنان ﺱ زائد خمسة يساوي ٦٧.

ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ بإجراء سلسلة من العمليات العكسية. نبدأ بطرح خمسة من كلا الطرفين. عندما نطرح خمسة من الطرف الأيمن، يتبقى لدينا اثنان ﺱ. و ٦٧ ناقص خمسة يساوي ٦٢. إذن، أصبحت المعادلة الآن اثنان ﺱ يساوي ٦٢. الآن، لدينا ﺱ مضروبًا في اثنين. والعملية العكسية هنا هي القسمة على اثنين. اثنان ﺱ على اثنين يساوي ﺱ. و ٦٢ على اثنين يساوي ٣١. وهكذا، نكون قد أوجدنا أن قيمة ﺱ تساوي ٣١.

حسنًا، بما أننا أوجدنا الحل جبريًّا، فمن المنطقي أن نتحقق من الناتج عن طريق التعويض بالقيم في التعبير الأصلي. اثنان ﺱ يعني اثنين في ﺱ. وكنا قد توصلنا إلى أن ﺱ يساوي ٣١. إذن، نضرب ٣١ في اثنين ونضيف خمسة. وهذا يساوي ٦٢ زائد خمسة، وهو ما يساوي ٦٧. ونعلم أن هذه الزاوية تساوي ٦٧؛ لأن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان في القياس. إذن، هذا دليل على أننا أجرينا العمليات الحسابية بطريقة صحيحة. ‏ﺱ يساوي ٣١.

في المثال الأخير، سنرى كيفية حل هذه المسائل عندما يكون لدينا مقداران جبريان.

يوضح الشكل التالي خطين مستقيمين متقاطعين. أوجد قيمة كل من ﺱ وﺹ.

وكما يقول السؤال، لدينا خطان مستقيمان متقاطعان. وفي هذه الحالة، علينا البحث عن الزوايا المتقابلة بالرأس. حسنًا، لدينا زوجان منها. هاتان الزاويتان متقابلتان بالرأس. والزاوية المحددة بالحرف ﺹ متقابلة بالرأس مع هذه الزاوية. لكن في الواقع، سنبدأ بمحاولة إيجاد ﺱ.

بعد ذلك، نستخدم الحقيقة التالية. الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان في القياس. والآن، قلنا إن الزاوية تسعة ﺱ ناقص ٣٠ درجة تتقابل بالرأس مع الزاوية سبعة ﺱ ناقص أربعة درجة. هذا يعني أنه يمكننا القول إن تسعة ﺱ ناقص ٣٠ يساوي سبعة ﺱ ناقص أربعة. مهمتنا هي حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ.

والآن، بما أن لدينا ﺱ في كلا طرفي المعادلة، فإن مهمتنا الأولى هي أن نتخلص من أصغر عدد لـ ﺱ من أحد الطرفين. وسبعة ﺱ أصغر من تسعة ﺱ، ومن ثم سنطرح سبعة ﺱ من طرفي المعادلة. تسعة ﺱ ناقص سبعة ﺱ يساوي اثنين ﺱ. إذن، أصبح الطرف الأيمن من المعادلة عبارة عن اثنين ﺱ ناقص ٣٠. وفي الطرف الأيسر، يتبقى سالب أربعة فقط.

بعد ذلك، نريد التخلص من سالب ٣٠. إذن، سنجري العملية العكسية؛ أي نضيف ٣٠ إلى الطرفين. في الطرف الأيمن، يتبقى لدينا اثنان ﺱ. وسالب أربعة زائد ٣٠ يساوي موجب ٢٦. إذن، معادلتنا هي اثنان ﺱ يساوي ٢٦. تذكر أن اثنين ﺱ يعني بالطبع اثنين في ﺱ، وأصبحنا ندرك الآن أن علينا قسمة طرفي المعادلة على اثنين. اثنان ﺱ مقسومًا على اثنين يساوي ﺱ. و ٢٦ مقسومًا على اثنين يساوي ١٣.

وهكذا، نكون قد أوجدنا أن قيمة ﺱ تساوي ١٣. لكننا لم ننته من حل المسألة بالكامل بعد. تطلب منا المسألة أيضًا إيجاد قيمة ﺹ. إذن، ماذا سنفعل بعد ذلك؟ حسنًا، ثمة عدة أمور يمكننا فعلها. ومن الحقائق التي يمكننا استخدامها أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم هو ١٨٠ درجة. كما يمكننا استخدام حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة ما يساوي ٣٦٠ درجة. لكن هذا يتطلب المزيد من العمل. ولذا، سنحسب قيمة سبعة ﺱ ناقص أربعة أو تسعة ﺱ ناقص ٣٠.

تذكر أن ذلك سيعطينا القيمة نفسها. لنحسب سبعة ﺱ ناقص أربعة عندما ﺱ يساوي ١٣. إنها سبعة في ١٣ ناقص أربعة، وهو ما يساوي ٨٧. هذه الزاوية قياسها ٨٧ درجة. يمكننا صياغة معادلة وحلها لإيجاد قيمة ﺹ. نعرف أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة، فنقول إن ٨٧ زائد ﺹ يساوي ١٨٠. هذه المرة، نوجد الحل بطرح ٨٧ من كلا الطرفين. ونجد أن ﺹ يساوي ٩٣. إذن ﺱ يساوي ١٣، وﺹ يساوي ٩٣.

في الواقع، في حالة مسائل الزوايا، عادة ما يوجد أكثر من طريقة لحل نفس المسألة. في هذه الحالة، كان بإمكاننا أن نستخدم من البداية حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. ثم نصوغ معادلة عبر جمع هاتين الزاويتين معًا. ونعرف أن مجموع قياسيهما يساوي ١٨٠. إذن، تسعة ﺱ ناقص ٣٠ زائد ﺹ يساوي ١٨٠. والآن، لنجمع الحدود العددية معًا عبر إضافة ٣٠ إلى كلا الطرفين. وعندئذ، نجد أن تسعة ﺱ زائد ﺹ يساوي ٢١٠.

ثم نستخدم الفكرة نفسها، حيث نجمع هاتين الزاويتين هذه المرة. فنحصل على سبعة ﺱ ناقص أربعة زائد ﺹ يساوي ١٨٠. ولجمع الحدود العددية معًا، نضيف أربعة إلى كلا الطرفين. ونجد أن سبعة ﺱ زائد ﺹ يساوي ١٨٤. لاحظ أن لدينا الآن زوجًا من المعادلات الآنية. ويمكننا أن نرى أن المعامل، أي عدد الحدود التي تتضمن ﺹ لدينا في كل معادلة، هو نفسه. وبما أن إشارات معامل ﺹ هي نفسها أيضًا، فنطرح كلتا المعادلتين.

تسعة ﺱ ناقص سبعة ﺱ يساوي اثنين ﺱ. ‏ﺹ ناقص ﺹ يساوي صفرًا. و ٢١٠ ناقص ١٨٤ يساوي ٢٦. ولإيجاد قيمة ﺱ، نقسم طرفي المعادلة على اثنين. ومرة أخرى، نجد أن ﺱ يساوي ١٣ درجة. نوجد قيمة ﺹ بالتعويض بقيمة ﺱ في أي من المعادلتين الأصليتين. إذا عوضنا بهذه القيمة في المعادلة الثانية، نحصل على سبعة في ١٣ زائد ﺹ يساوي ١٨٤. سبعة في ١٣ يساوي ٩١. ثم نوجد قيمة ﺹ بطرح ٩١ من كلا الطرفين. ومرة أخرى، نجد أن ﺹ يساوي ٩٣.

في هذا الفيديو، رأينا أنه عندما يلتقي خطان في نقطة في مستوى، أي يتقاطعان؛ فإننا نسميهما خطين متقاطعين، كما هو موضح في الشكل. ونقول أيضًا إنه في أي خطين مستقيمين متقاطعين، تشكل الزاويتان المتقابلتان زاويتين متقابلتين بالرأس. كما رأينا، بالطبع، أن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان في القياس. ومن ثم، ففي الشكل الذي أمامنا، قياسا هاتين الزاويتين متساويان. ورأينا كذلك أن هذا يمكن أن يساعدنا على حل المسائل التي تتضمن زوايا متقابلة بالرأس.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.