فيديو: الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص

كريم علي

استنتاج الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص.

١١:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده، هنستنتج الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص.

زيّ ما ظاهر في الشكل اللي قدامنا، عندنا قطع ناقص، المركز بتاعه م، وإحداثياتها ك وَ ر. وعندنا بؤرتين؛ ب واحد، وَ ب اتنين. ب واحد إحداثياتها ك ناقص ج. ده الإحداث السيني، حيث ج هي المسافة ما بين البؤرة والمركز بتاع القطع الناقص. والإحداث الصادي بتاعها بيساوي ر. أمَّا البؤرة التانية، ب اتنين، فالإحداثيات بتاعتها ك زائد ج، وَ ر. وعندنا نقطة عامَّة ن بتقع على منحنى القطع الناقص. وإحداثياتها س وَ ص. المطلوب نعمله إننا نجيب علاقة ما بين س وَ ص بتاعة أيّ نقطة عامَّة على منحنى القطع الناقص، بدلالة القيم ك وَ ر، وكمان القيم أ وَ ب. حيث أ هو نصف طول المحور الأكبر. وَ ب هو نصف طول المحور الأصغر.

من تعريف القطع الناقص، مجموع المسافتين ما بين النقطة ن والبؤرتين ب واحد وَ ب اتنين، بيكون قيمة ثابتة. والقيمة الثابتة دي هي طول المحور الأكبر، اللي هو اتنين أ. يبقى إذن ن ب واحد زائد ن ب اتنين بتساوي اتنين أ. طيب المسافة ن ب واحد نقدر نجيبها باستخدام إحداثيات النقطتين ن وَ ب واحد، وكذلك المسافة ن ب اتنين. فالمعادلة هتبقى … طيب المسافة ما بين نقطتين هو الجذر التربيعي لفرق الإحداث السيني تربيع زائد فرق الإحداث الصادي تربيع.

فيبقى المسافة ن ب واحد بتساوي الجذر التربيعي لـ س ناقص، ك ناقص ج، وكل ده تربيع. زائد ص ناقص ر الكل تربيع. والمسافة ن ب اتنين هتبقى بتساوي الجذر التربيعي لـ س ناقص، ك زائد ج، وكل ده تربيع. زائد ص ناقص ر الكل تربيع. كل ده بيساوي اتنين أ. لو بسّطنا الأقواس اللي في المعادلة، وأعدنا كتابتها، هتبقى: الجذر التربيعي لـ س ناقص ك زائد ج، الكل تربيع. زائد ص ناقص ر الكل تربيع. وكل ده يساوي اتنين أ ناقص الجذر التربيعي لـ س ناقص ك ناقص ج الكل تربيع، زائد ص ناقص ر الكل تربيع.

لو ربّعنا طرفين المعادلة، هتبقى: س ناقص ك، زائد ج، الكل تربيع. زائد ص ناقص ر الكل تربيع تساوي أربعة أ تربيع. ناقص أربعة أ مضروبة في الجذر التربيعي لـ س ناقص ك، ناقص ج، الكل تربيع، زائد ص ناقص ر الكل تربيع. زائد س ناقص ك، ناقص ج، الكل تربيع، زائد ص ناقص ر الكل تربيع.

لو فكّينا الأقواس المتربّعة، هتبقى … الطرف الأيمن هيبقى س ناقص ك الكل تربيع. زائد اتنين ج مضروبة في، س ناقص ك. زائد ج تربيع. زائد ص ناقص ر الكل تربيع بيساوي … الطرف الأيسر هيبقى أربعة أ تربيع. هنا فيه تربيع. ناقص أربعة أ مضروبة في الجذر التربيعي لـ س ناقص ك، ناقص ج الكل تربيع، زائد ص ناقص ر الكل تربيع. زائد س ناقص ك الكل تربيع. ناقص اتنين ج مضروبة في، س ناقص ك. زائد ج تربيع. زائد ص ناقص ر الكل تربيع.

لو بصّينا على الطرف الأيمن والطرف الأيسر، هنلاقي إن القوس س ناقص ك الكل تربيع متكرّر في الناحيتين، فممكن نختصرهم مع بعض. وكمان المقدار ج تربيع متكرّر في الطرفين، فممكن برضو نختصرهم مع بعض. وكمان القوس ص ناقص ر الكل تربيع متكرّر في الطرف الأيمن والطرف الأيسر، فممكن نختصرهم مع بعض. فممكن نوسّع المكان شوية، ونعيد كتابة المعادلة بعد إعادة ترتيبها. بعد إعادة ترتيب المعادلة، هتبقى: أربعة أ مضروبة في الجذر التربيعي لـ س ناقص ك، ناقص ج، الكل تربيع، زائد ص ناقص ر الكل تربيع. يساوي أربعة أ تربيع ناقص، أربعة ج مضروبة في، س ناقص ك.

ممكن نقسم الطرفين على أربعة، فالمعادلة هتبقى: أ مضروبة في الجذر التربيعي لـ س ناقص ك، ناقص ج، الكل تربيع، زائد ص ناقص ر الكل تربيع. يساوي أ تربيع ناقص ج مضروبة في، س ناقص ك. طيب لو ربّعنا الطرفين، المعادلة هتبقى: أ تربيع مضروبة في، س ناقص ك، ناقص ج، الكل تربيع. زائد ص ناقص ر الكل تربيع. يساوي أ أُس أربعة، ناقص اتنين أ تربيع، مضروبة في ج مضروبة في، س ناقص ك. زائد ج تربيع مضروبة في، س ناقص ك الكل تربيع.

طيب لو فكّينا الأقواس المتربّعة اللي في الطرف الأيمن، المعادلة هتبقى: أ تربيع مضروبة في، س ناقص ك الكل تربيع. ناقص اتنين أ تربيع ج مضروبة في، س ناقص ك. زائد أ تربيع ج تربيع. زائد أ تربيع مضروبة في، ص ناقص ر الكل تربيع. يساوي أ أُس أربعة. ناقص اتنين أ تربيع ج مضروبة في، س ناقص ك. زائد ج تربيع مضروبة في، س ناقص ك الكل تربيع.

لو بصّينا على الطرف الأيمن والطرف الأيسر، هنلاقي إن المقدار سالب اتنين أ تربيع ج مضروبة في، س ناقص ك متكرّر في الطرف الأيمن والطرف الأيسر. فممكن نختصرهم مع بعض. لو أعدنا ترتيب المعادلة دي، هتبقى: أ تربيع مضروبة في، س ناقص ك الكل تربيع. ناقص ج تربيع مضروبة في، س ناقص ك الكل تربيع. زائد أ تربيع مضروبة في، ص ناقص ر الكل تربيع. يساوي أ أُس أربعة. ناقص أ تربيع ج تربيع.

دلوقتي ممكن ناخد القوس س ناقص ك الكل تربيع عامل مشترك من الحدّ الأول والحدّ التاني في الطرف الأيمن. أمَّا في الطرف الأيسر، فنقدر ناخد أ تربيع عامل مشترك. فلو وسّعنا المكان شويّة، وعملنا كده، المعادلة هتبقى: أ تربيع ناقص ج تربيع الكل مضروب في، س ناقص ك الكل تربيع. زائد أ تربيع مضروبة في، ص ناقص ر الكل تربيع. يساوي أ تربيع مضروبة في، أ تربيع ناقص ج تربيع.

من خصائص القطع الناقص إن أ تربيع ناقص ج تربيع بتساوي ب تربيع. ودي جات من العلاقة اللي بتربط ما بين المسافة ما بين البؤرة والمركز والقيمتين أ وَ ب. فهنشيل القوس أ تربيع ناقص ج تربيع من المعادلة، ونعوّض بـ ب تربيع مكانه. فالمعادلة هتبقى: ب تربيع مضروبة في، س ناقص ك الكل تربيع. زائد أ تربيع مضروبة في، ص ناقص ر الكل تربيع. يساوي أ تربيع ب تربيع.

طيب لو قسمنا الطرفين على أ تربيع ب تربيع، هنوصل للصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص. اللي هي: س ناقص ك الكل تربيع، والكل مقسوم على أ تربيع. زائد ص ناقص ر الكل تربيع، والكل مقسوم على ب تربيع. يساوي واحد. يبقى إذن المعادلة اللي إحنا استنتجناها دي بتعبّر عن الصورة القياسية لقطع ناقص، المركز بتاعه عند النقطة ك وَ ر. ونصف طول المحور الأكبر بيساوي أ. ونصف طول المحور الأصغر بيساوي ب.

فيه حالتين المعادلة اللي إحنا استنتجناها دي، زيّ ما هنشوف في الصفحة اللي جايَّة. الحالة الأولانية هي المعادلة اللي إحنا استنتجناها إن س ناقص ك الكل تربيع، مقسومة على أ تربيع. زائد ص ناقص ر الكل تربيع، مقسومة على ب تربيع. تساوي واحد. ودي بتناظر لقطع ناقص، المحور الأكبر بتاعه بيكون أفقي، والمحور الأصغر بيكون رأسي. ودي نقدر نعرفها من إن نصف طول المحور الأكبر تربيع ملحق بالإحداث السيني في المعادلة. أمَّا نصف طول المحور الأصغر تربيع، فهو ملحق بالإحداث الصادي بتاع المعادلة. فيبقى المحور الأكبر موازي للمحور السيني. والمحور الأصغر موازي للمحور الصادي. أو إن المحور الأكبر أفقي والمحور الأصغر رأسي.

أمَّا الحالة التانية، فالمعادلة بتاعتها: س ناقص ك الكل تربيع، الكل مقسوم على ب تربيع. زائد ص ناقص ر الكل تربيع، والكل مقسوم على أ تربيع. يساوي واحد. في الحالة دي نصف طول المحور الأصغر تربيع ملحق بالإحداث السيني. ونصف طول المحور الأكبر ملحق بالإحداث الصادي. يبقى المحور الأصغر موازي للمحور السيني. أو المحور الأصغر هيبقى أفقي، والمحور الأكبر موازي للمحور الصادي. أو نقدر نقول: إن المحور الأكبر هيبقى رأسي. وصورة القطع الناقص ده ظاهرة في الشكل قدامنا، زيّ ما هو واضح. المحور الأكبر رأسي والمحور الأصغر أفقي.

طيب كده في الفيديو ده، إحنا استنتجنا الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص. وشُفنا الحالات الخاصة للمعادلة القياسية دي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.