فيديو السؤال: حساب القدرة عند الحركة على مستويات مائلة مع وجود قوى مقاومة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

سيارة كتلتها ثلاثة أطنان مترية صعدت طريقًا يميل على الأفقي بزاوية جيبها واحد على ٤٠ بسرعة قصوى ٥٤ كيلومترًا لكل ساعة. في وقت لاحق، صعدت نفس السيارة طريقًا آخر يميل على الأفقي بزاوية جيبها واحد على ١٢٠. كانت السرعة القصوى للسيارة على هذا الطريق ٧٢ كيلومترًا لكل ساعة. إذا كانت المقاومة لحركة السيارة على الطريقين متماثلة، فأوجد قدرة محرك السيارة ﻕ بالحصان والمقاومة ﻡ للطريقين.

إذن، نحن نفكر هنا في سيارة تصعد طريقين مائلين بزاويتين مختلفتين. من أول الأشياء التي قد نلاحظها بشأن هذه المسألة أننا لم نعلم الزوايا الفعلية التي يميل بها الطريقان. فقد أخبرتنا المسألة أن الطريق الأول يميل على الأفقي بزاوية جيبها واحد على ٤٠. لذا يمكننا القول بأن الطريق يميل بزاوية 𝜃 واحد، وأن جا 𝜃 واحد يساوي واحدًا على ٤٠. يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة ليتبين لنا أن 𝜃 واحد يساوي الدالة العكسية لـ جا واحد على ٤٠، وهو ما ستوضح لنا الآلة الحاسبة أنه يساوي تقريبًا ١٫٤ من الدرجات.

يمكننا فعل الشيء نفسه مع الزاوية الأخرى. لنسمها 𝜃 اثنين. تخبرنا المسألة أن هذا الطريق يميل على الأفقي بزاوية جيبها هو واحد على ١٢٠. هذا يعني أنه يمكننا القول بأن جا 𝜃 اثنين يساوي واحدًا على ١٢٠. إذن، 𝜃 اثنان يساوي الدالة العكسية لـ جا واحد على ١٢٠، وهو ما تخبرنا الآلة الحاسبة أنه يساوي ٠٫٤٨ درجة تقريبًا. إذن، لماذا لا تخبرنا المسألة بزاوية الميل بالدرجات؟ حسنًا، كما سنرى لاحقًا، تكون العمليات الحسابية أسهل إذا عرفنا جيب الزاوية بدلًا من معرفة الزاوية نفسها. إذن في الوقت الحالي، يمكننا أن نتجاهل قيم الزوايا بالدرجات. بدلًا من ذلك، كل ما سنتذكره هو أن انحدار الطريق المائل الأول بالكاد يزيد عن انحدار الطريق المائل الثاني وليس كما بالغنا في رسم الشكلين.

تطلب منا هذه المسألة حساب مقاومة الطريقين، وهي القوة ﻡ، وقدرة محرك السيارة بالحصان، التي نسميها ﻕ. يمكننا تذكر أن الحصان هو ببساطة وحدة لقياس القدرة، وأن القدرة بشكل عام تساوي القوة في السرعة. بما أننا هنا نوجد قدرة محرك السيارة، فالقوة المعنية هي بالتحديد القوة الناتجة عن محرك السيارة. بما أننا مهتمون بالقوى المؤثرة على السيارة، دعونا نبدأ بوضع بيانات هذه القوى المؤثرة كلها على الشكلين.

أولًا، لدينا قوة ناتجة عن محرك السيارة في كلتا الحالتين. لم يتضح حتى الآن ما إذا كان المحرك ينتج القوة نفسها على الميلين، لذا، لنسم هاتين القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين. نعلم أيضًا أن السيارة تواجه قوة مقاومة، وأن قوة المقاومة هذه متساوية في كلا الطريقين. إذن، لقوة المقاومة هذه قيمة ﻡ في كلتا الحالتين. لدينا أيضًا وزن السيارة، الذي يؤثر بالطبع لأسفل. وهذا يساوي كتلة السيارة ﻙ مضروبة في عجلة الجاذبية ﺩ. وأخيرًا، لدينا في كلتا الحالتين قوة رد الفعل العمودي التي يؤثر بها الطريق على السيارة. لنسمهما ﺭ واحد وﺭ اثنين، على الترتيب.

والآن، في مثل هذه الحالة، حيث لدينا عدة قوى تؤثر على جسم واحد، يمكننا استخدام قانون نيوتن الثاني لمعرفة العلاقة بين هذه القوى. ينص قانون نيوتن الثاني على أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم ما تساوي كتلة هذا الجسم مضروبة في عجلته. ويمكننا أن نتذكر أن القوة المحصلة هي ببساطة مجموع متجهات جميع القوى المؤثرة على الجسم. عند جمع المتجهات، علينا أولًا تحليلها إلى مركبات متعامدة. في الميكانيكا، عادة ما نوجد المركبات الرأسية والأفقية للقوى. لكن عندما نتعامل مع مستوى مائل، يكون من الأسهل غالبًا إيجاد مركبتي كل قوة من القوى التي تؤثر في اتجاه مواز للطريق المائل واتجاه عمودي على اتجاه الطريق المائل.

في هذه المسألة، ما يعنينا فقط هو حركة السيارة الموازية للميل. هذا يعني أنه يمكننا تبسيط الأمر بالتفكير فقط في مركبتي كل قوة من القوى التي تؤثر في اتجاه مواز لاتجاه الطريق المائل. لنبدأ إذن بحساب القوة المحصلة الموازية للميل للشكل الموجود على اليسار. أولًا، يمكننا ملاحظة أن ﻕ واحد وﻡ كلاهما يؤثر في اتجاه مواز لاتجاه الميل. لنفترض أن أعلى الطريق المائل هو الاتجاه الموجب، وأسفل الطريق المائل هو الاتجاه السالب. إذن، مركبة ﻕ واحد التي تؤثر لأعلى الطريق المائل هي ببساطة ﻕ واحد، ومركبة ﻡ التي تؤثر لأسفل الطريق المائل هي سالب ﻡ.

إذا نظرنا إلى قوة رد الفعل العمودي ﺭ واحد، يمكننا أن نلاحظ أن هذه القوة تؤثر في اتجاه عمودي على اتجاه الميل. ومن ثم، ليس لها أي مركبة موازية للميل. لذا، هي لا تساهم بأي قوة محصلة موازية للميل. وأخيرًا، لدينا وزن السيارة ﻙﺩ. وهذه القوة لها بالفعل مركبة موازية للميل. يمكننا تصور مركبتي قوة الوزن هذه باستخدام سهمين. هذه هي مركبة قوة الوزن التي تؤثر في اتجاه عمودي على الميل. وهذه هي المركبة التي تؤثر في اتجاه مواز لاتجاه الميل. يمكننا ملاحظة أن هذه الأسهم الثلاثة تشكل مثلثًا قائم الزاوية؛ حيث يساوي الوتر مقدار قوة الوزن ﻙﺩ. هذه الزاوية تساوي زاوية الميل، أي 𝜃 واحد، والضلع المقابل في المثلث هو مركبة قوة الوزن المؤثرة في اتجاه مواز لاتجاه الميل.

يخبرنا حساب المثلثات بأن طول هذا السهم يساوي ﻙﺩ جا 𝜃 واحد. ومن ثم، فهذه هي مركبة قوة الوزن التي تؤثر في اتجاه يوازي اتجاه الميل. بملاحظة أن هذا السهم يشير إلى الاتجاه السالب، فإن القوة المحصلة الأفقية المؤثرة على السيارة تساوي ﻕ واحد ناقص ﻡ ناقص ﻙﺩ جا 𝜃 واحد.

وماذا عن الطرف الأيسر لهذا التعبير؟ نعلم كتلة السيارة ﻙ، لكن يبدو أن المسألة لم تخبرنا بأي شيء عن عجلة السيارة. لكننا نعلم السرعة القصوى للسيارة على كلا الطريقين المائلين. على الطريق الأول، السرعة القصوى للسيارة تساوي ٥٤ كيلومترًا لكل ساعة. وعلى الطريق الثاني، السرعة القصوى تساوي ٧٢ كيلومترًا لكل ساعة. إذن، كيف يساعدنا هذا؟ حسنًا، إذا نظرنا إلى السيارة عندما تسير بسرعتها القصوى، فإننا نعلم أن سرعة السيارة ثابتة. وإذا كانت سرعة السيارة ثابتة، فهذا يعني أنه ليست لها عجلة. إذن، يمكننا القول بأن عجلة السيارة ﺟ تساوي صفرًا. إذا كان ﺟ يساوي صفرًا، فإن ﻙ في ﺟ يساوي صفرًا أيضًا، وهو ما يعني أن قانون نيوتن الثاني ستنتج عنه هذه المعادلة في الحالة الأولى.

الآن، نفعل الشيء نفسه بالضبط في الحالة التي في الطرف الأيمن. باستخدام قانون نيوتن الثاني على سبيل الإرشاد، علينا أولًا أن نحسب القوة المحصلة التي تؤثر في اتجاه مواز للطريق المائل. يمكننا حساب ذلك من خلال ﻕ اثنين، أي القوة المحركة للسيارة، ناقص ﻡ، أي القوة المقاومة لحركة السيارة، ناقص مركبة الوزن المؤثرة في اتجاه مواز للطريق المائل. وهي ﻙﺩ جا 𝜃 اثنين. وأخيرًا، نساوي هذا بالكتلة مضروبة في العجلة. وبما أن العجلة تساوي صفرًا عند تحرك السيارة بسرعتها القصوى، فهذا يعني أن الطرف الأيسر من هذه المعادلة يساوي صفرًا.

إذن، نتج عن قانون نيوتن الثاني معادلتان، لكن ما زالت لدينا ثلاث قيم مجهولة، وهي ﻕ واحد وﻡ وﻕ اثنان. لكن، تذكر أن المسألة لا تطلب في الواقع القوة المحركة للسيارة، أي ﻕ واحد وﻕ اثنين، على الطريقين المائلين المختلفين. المطلوب منا حسابه هو قدرة المحرك، التي تساوي القوة الناتجة عن المحرك مضروبة في سرعة السيارة ﻉ.

وبالنظر إلى المعادلة التي على اليمين، يمكننا التوصل إلى تعبير لقدرة المحرك عن طريق إعادة الترتيب أولًا لجعل ﻕ واحد في طرف بمفرده. يمكننا فعل ذلك بإضافة ﻡ إلى كلا الطرفين، ثم إضافة ﻙﺩ جا 𝜃 واحد إلى كلا الطرفين، وهو ما يعطينا أن ﻕ واحد يساوي ﻙﺩ جا 𝜃 واحد زائد ﻡ. بعد ذلك، نظرًا لأن قدرة المحرك تساوي القوة الناتجة عن المحرك مضروبة في سرعة السيارة، يمكننا ضرب ﻕ واحد في سرعة السيارة لنحصل على القدرة. وبكتابة ذلك على صورة معادلة، يمكننا أن نقول إن ﻕ، وهي قدرة المحرك، تساوي ﻕ واحد، وهي القوة الناتجة عن المحرك، مضروبة في سرعة السيارة، أي ﻉ واحد. وبما أننا أوضحنا أن ﻕ واحد يساوي ﻙﺩ جا 𝜃 واحد زائد ﻡ، فيمكننا التعويض بهذا كله عن ﻕ واحد، لنحصل على هذا التعبير لقدرة المحرك.

دعونا الآن نفعل الشيء نفسه في التعبير الذي على اليسار، أولًا نجعل ﻕ اثنين في طرف بمفرده، ونتذكر أن قدرة المحرك هي القوة الناتجة عن المحرك مضروبة في سرعة السيارة، وهي ما سنسميه في هذه الحالة ﻉ اثنين. حسنًا، لدينا الآن هاتان المعادلتان. ‏ﻙ، أي كتلة السيارة، معطاة في المسألة. وﺩ ثابت معروف. ميلا الطريقين، أي 𝜃 واحد و𝜃 اثنان، موضحان أيضًا في المسألة، وكذلك قيمتا السرعة القصوى للسيارة، وهما ﻉ واحد وﻉ اثنان. هذا يعني أن المجهولين الوحيدين في هاتين المعادلتين هما ﻕ، أي قدرة المحرك، وﻡ، وهي مقاومة الطريقين، وهما الكميتان المطلوب إيجادهما في المسألة.

بما أن لدينا معادلتين فقط، وكل منهما يحتوي على نفس الكميتين المجهولتين، فمن الممكن حل هاتين المعادلتين آنيًّا وإيجاد حل المسألة. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة على الشاشة ونحل المعادلتين. الآن نظرًا لأن ﻕ، قدرة محرك السيارة، هو الطرف المراد إيجاده في المعادلتين، يمكننا البدء بمساواة الطرف الأيسر من كل معادلة من المعادلتين بالآخر، ثم عمليًّا استبعاد ﻕ وهو ما يمكننا من إيجاد ﻡ. بعد ذلك، بتوزيع ﻉ على القوس في الطرف الأيمن، نحصل على ﻉ واحد ﻙﺩ جا 𝜃 واحد زائد ﻉ واحد ﻡ. وبفعل الأمر نفسه في الطرف الأيمن، نحصل على ﻉ اثنين ﻙﺩ جا 𝜃 اثنين زائد ﻉ اثنين ﻡ.

بعد ذلك، بما أننا نريد إيجاد ﻡ، سنجمع جميع الحدود التي بها ﻡ في الطرف الأيمن. أولًا، نطرح ﻉ واحد ﻡ من كلا الطرفين، ثم نطرح ﻉ اثنين ﻙﺩ جا 𝜃 اثنين من كلا الطرفين. وهذا يعطينا ﻉ واحد ﻙﺩ جا 𝜃 واحد ناقص ﻉ اثنين ﻙﺩ جا 𝜃 اثنين يساوي ﻉ اثنين ﻡ ناقص ﻉ واحد ﻡ. لنفرغ بعض المساحة على الشاشة وننقل هذه المعادلة إلى أعلى. وأخيرًا، إذا نظرنا إلى الطرف الأيسر من المعادلة، يمكننا إخراج العامل المشترك ﻡ، وهو ما يعطينا ﻡ في ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد. ثم يمكننا قسمة طرفي هذا التعبير على ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد، لنحصل على ﻡ يساوي ﻉ واحد ﻙﺩ جا 𝜃 واحد ناقص ﻉ اثنين ﻙﺩ جا 𝜃 اثنين الكل مقسوم على ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد.

حسنًا، لدينا الآن تعبير لـ ﻡ، كل ما علينا فعله هو التعويض بقيم الكميات المعلومة، مع الحرص على التعبير عنها بالوحدات القياسية. نعلم أن كتلة السيارة ثلاثة أطنان مترية. ونعرف أن الوحدة القياسية لقياس الكتلة هي الكيلوجرام. الطن المتري الواحد يساوي ١٠٠٠ كيلوجرام. إذن، ثلاثة أطنان مترية تساوي ٣٠٠٠ كيلوجرام. نعلم أيضًا من المعطيات أن جيب زاوية الطريق المائل الأول يساوي واحدًا على ٤٠. لاحظ أننا نستطيع التعويض عن جيب الزاويتين في المعادلة مباشرة، لذا لا داعي للقلق بشأن ما تساويه القيم الفعلية للزاويتين. وبالمثل، جيب زاوية الطريق المائل الثاني، أي 𝜃 اثنين، يساوي واحدًا على ١٢٠.

بعد ذلك، علمنا من المعطيات أن السرعة القصوى للسيارة على الطريق المائل الأول، التي سميناها ﻉ واحد، تساوي ٥٤ كيلومترًا لكل ساعة. والوحدة القياسية للسرعة هي متر لكل ثانية. لتحويل هذه الكمية إلى متر لكل ثانية، نضربها أولًا في ١٠٠٠، وهو عدد الأمتار في الكيلومتر، ثم نقسم ذلك على ٣٦٠٠، وهو عدد الثواني في الساعة. إجمالًا، هذا يساوي قسمة الكمية على ٣٫٦. و٥٤ على ٣٫٦ يعطينا ١٥ مترًا لكل ثانية. السرعة القصوى للسيارة على الطريق المائل الثاني، التي أسميناها ﻉ اثنين، تساوي ٧٢ كيلومترًا لكل ساعة. مرة أخرى، يمكننا قسمة هذه الكمية على ٣٫٦ لنحصل على القيمة بالمتر لكل ثانية، وهي التي تساوي في هذه الحالة ٢٠.

وأخيرًا، نحتاج فقط إلى قيمة ﺩ، أي عجلة الجاذبية على سطح الأرض، وهي تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية تربيع. يضمن استخدام الوحدات القياسية لكل كمية من هذه الكميات، أن القيمة التي نحسبها لـ ﻡ ستكون بالنيوتن. والآن، بالتعويض بكل هذه القيم، سنحصل على هذا. وبإيجاد قيمة هذا التعبير بحرص باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على ١٢٢٥ نيوتن. بما أن ﻡ قوة، إذن يمكننا أيضًا التعبير عنها بوحدة الثقل كيلوجرام. وللقيام بذلك، نقسم ببساطة القيمة على ٩٫٨، وهي قيمة ﺩ. ‏١٢٢٥ على ٩٫٨ يساوي ١٢٥ ثقل كيلوجرامًا.

والآن بعد أن أوجدنا قيمة ﻡ، يمكننا استخدامها مع أي من هاتين المعادلتين لإيجاد ﻕ. إذن، بأخذ المعادلة الموجودة على اليمين، كل ما علينا فعله هو التعويض بقيم ﻙ، وﺩ، وجا 𝜃 واحد وﻡ — ولاحظ أننا نستخدم القيمة المعبر عنها بالوحدة القياسية وهي النيوتن — وأخيرًا ﻉ واحد، وهو ما يعطينا القيمة ٢٩٤٠٠.

بما أننا استخدمنا الكميات معبرًا عنها بالوحدات القياسية في العملية الحسابية، فهذا يعني أن الإجابة معطاة بالوحدة القياسية للقدرة، وهي الوات. لكن المسألة تطلب منا تحديد قدرة محرك السيارة بالحصان. ولفعل ذلك، علينا فقط أن نتذكر أن الحصان المتري الواحد يساوي ٧٣٥ وات. إذن، لتحويل هذه القيمة المعطاة بالوات إلى حصان متري، كل ما علينا فعله هو القسمة على ٧٣٥، وهو ما يعطينا القيمة النهائية ٤٠ حصانًا.