فيديو: إيجاد المساحة تحت منحنى دالة جذرية

أوجد لأقرب جزء من ألف مساحة المنطقة المستوية المحددة بالمنحنى ‪𝑦 = √(2𝑥 − 2)‬‏ والخطوط المستقيمة ‪𝑥 = 2‬‏، ‪𝑥 = 3‬‏، ‪𝑦 = 0‬‏.

٠٥:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد لأقرب جزء من ألف مساحة المنطقة المستوية المحددة بالمنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي الجذر التربيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين، والخطوط المستقيمة ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين، و‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة، و‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا.

هذا تمثيل بياني يحتوي على المنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي الجذر التربيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين، والخطين المستقيمين ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين و‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة. الخط المستقيم ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا هو ببساطة المحور ‪𝑥‬‏. إذن، المساحة التي نحاول إيجادها هي مساحة هذه المنطقة المظللة. يمكننا أيضًا تعريف هذه المنطقة على أنها المساحة التي تقع أسفل المنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي الجذر التربيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين بين ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين و‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة. إذن، هذه المساحة تساوي التكامل من اثنين إلى ثلاثة للجذر التربيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏.

لنحسب الآن قيمة هذا التكامل. بالرغم من أنه يمكننا حساب التكامل مباشرة، يمكننا تسهيل الحل عن طريق التعويض بشيء ما عن اثنين ‪𝑥‬‏. وذلك لكيلا نقلق بشأن العدد الثابت اثنين. إذن لنفترض أن اثنين ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑢‬‏. نحتاج الآن إلى إيجاد ‪d𝑥‬‏ بدلالة ‪d𝑢‬‏. سنستخدم الصيغة التي تقول إن ‪d𝑢‬‏ يساوي ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ في ‪d𝑥‬‏. ويمكننا حساب ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ باستخدام حقيقة أن ‪𝑢‬‏ يساوي اثنين ‪𝑥‬‏. إذن اشتقاق ذلك بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يعطينا اثنين فقط. هذا يعني أن ‪d𝑢‬‏ يساوي اثنين ‪d𝑥‬‏. إعادة ترتيب ذلك للحصول على ‪d𝑥‬‏ يعطينا أن ‪d𝑥‬‏ يساوي نصف ‪d𝑢‬‏.

بما أننا نكامل بين ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين و‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة، نحتاج إلى إيجاد هذين الحدين بدلالة ‪𝑢‬‏. إذن لدينا قيمتان لـ ‪𝑢‬‏، وهذا سيعطينا مساحة مكافئة عند حساب التكامل بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏. إذن عندما يكون ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين، فإن ‪𝑢‬‏ يساوي اثنين في ‪𝑥‬‏. وذلك يعني أن ‪𝑢‬‏ يساوي أربعة. ثم، عندما يكون ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة، فإن ‪𝑢‬‏ يساوي اثنين في ‪𝑥‬‏. وهذا يساوي ستة. إذن سنكامل بين ‪𝑢‬‏ يساوي أربعة و‪𝑢‬‏ يساوي ستة.

والآن نحن مستعدون للتعويض. إذن نعوض بـ ‪𝑢‬‏ عن الحد اثنين ‪𝑥‬‏. ونعوض بنصف ‪d𝑢‬‏ عن ‪d𝑥‬‏. والآن، نحن نحسب التكامل بين ‪𝑢‬‏ يساوي أربعة و‪𝑢‬‏ يساوي ستة. وهذا يعطينا التكامل من أربعة إلى ستة للجذر التربيعي لـ ‪𝑢‬‏ ناقص اثنين في نصف ‪d𝑢‬‏. ويمكننا إخراج هذا العامل الثابت نصف خارج التكامل.

بعد ذلك، نلاحظ أنه يمكننا كتابة الجذر التربيعي لـ ‪𝑢‬‏ ناقص اثنين على الصورة: ‪𝑢‬‏ ناقص اثنين مرفوعًا للقوة الأسية نصف. هذا سيجعل التكامل أسهل. عند هذه المرحلة، نحن جاهزون لحساب التكامل. عند حساب التكامل، الحد الثابت نصف سيبقى كما هو. بالنسبة للحد ‪𝑢‬‏ ناقص اثنين مرفوعًا للقوة الأسية نصف، علينا أن نزيد القوة الأسية بمقدار واحد ونقسم على القوة الأسية الجديدة. زيادة القوة الأسية بمقدار واحد يعطينا ‪𝑢‬‏ ناقص اثنين مرفوعًا للقوة الأسية ثلاثة على اثنين. بعد ذلك نقسم على القوة الأسية الجديدة. إذن نقسم على ثلاثة على اثنين.

الآن، علينا توخي الحذر هنا لأن هذه دالة داخل دالة. ولذا يجب أن نقسم على مشتقة الدالة الأخرى التي داخل الدالة. وهي ‪𝑢‬‏ ناقص اثنين. ومشتقة ‪𝑢‬‏ ناقص اثنين تساوي واحدًا فقط. إذن عند القسمة على واحد، لا يتغير شيء. بالتالي لا مشكلة هنا. بعد ذلك، يجب ألا ننسى أننا نكامل بين ستة وأربعة. هذا يعني أننا سنعوض بستة في الصيغة ثم نطرح الصيغة مرة أخرى، لكن بعد التعويض بأربعة.

ما الذي ينتج عن ذلك؟ الآن لدينا عامل مشترك، هو واحد على ثلاثة على اثنين، يمكننا إخراجه هنا. يصبح لدينا واحد على اثنين في واحد على ثلاثة على اثنين في ستة ناقص اثنين مرفوعًا للقوة الأسية ثلاثة على اثنين ناقص أربعة ناقص اثنين مرفوعًا للقوة الأسية ثلاثة على اثنين. ويمكننا ضرب نصف في واحد على ثلاثة على اثنين، لنحصل على واحد على ثلاثة. ويمكننا أيضًا تبسيط ستة ناقص اثنين إلى أربعة، وأربعة ناقص اثنين إلى اثنين.

الآن، يمكننا كتابة هذا على الآلة الحاسبة ليعطينا الناتج ‪1.723857625‬‏. والآن، نلاحظ أن المطلوب هو إيجاد الإجابة لأقرب جزء من ألف. ونلاحظ أن جزءًا واحدًا من ألف أو واحدًا على ألف يساوي ‪0.001‬‏. إذن، علينا تقريب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية. هذا يعطينا حلًا يساوي ‪1.724‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.