فيديو السؤال: إيجاد المعادلة المتجهة لخط مستقيم الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي من الآتي يمثل المعادلة المتجهة للخط المستقيم الذي يمر بنقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ؛ حيث ﺃ يساوي خمسة، سالب اثنين وﺏ يساوي ثلاثة، ثمانية، ويمر بالنقطة ثلاثة، واحد؟ (أ) المتجه ﺭ يساوي خمسة، سالب اثنين زائد ﻙ في سبعة، أربعة. (ب) المتجه ﺭ يساوي أربعة، ثلاثة زائد ﻙ في سالب واحد، سالب اثنين. (ج) المتجه ﺭ يساوي سالب أربعة، سالب ثلاثة زائد ﻙ في اثنين، سالب ١٠. (د) المتجه ﺭ يساوي أربعة، ثلاثة زائد ﻙ في سبعة، أربعة. (هـ) المتجه ﺭ يساوي سالب واحد، سالب اثنين زائد ﻙ أربعة، ثلاثة.

دعونا نبدأ باسترجاع كيفية تمثيل المعادلة المتجهة للخط المستقيم. يمكن تمثيل المعادلة المتجهة للخط المستقيم على الصورة ﺭ يساوي ﻕ زائد ﻙ في ﻱ. ‏ﻕ هو متجه الموضع لنقطة على الخط المستقيم. لهذا السبب، يمكن أن يأخذ ﻕ أي عدد من القيم. علينا فقط التأكد من أن النقطة تقع على الخط المستقيم. ‏ﻙ هو كمية قياسية؛ أي ثابت قياسي. وﻱ هو متجه اتجاه الخط المستقيم. إذن، مهمتنا هي تحديد متجه الموضع ومتجه الاتجاه. قد نلاحظ في هذا السؤال أن كل كمية قياسية ممثلة بالحرف ﻙ. سنستخدم ﻙ أثناء حل هذا السؤال. وهذا أمر جيد.

لإيجاد متجه الموضع، دعونا نحدد نقطة على الخط المستقيم. يمكننا استخدام النقطة ثلاثة، واحد. لكننا نعلم أيضًا أن الخط المستقيم يمر بنقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ. نحن نعلم أن متجه الموضع للنقطة ثلاثة، واحد هو ثلاثة، واحد. وهذا لا يمثل متجه الموضع لأي من الخطوط المستقيمة في هذا السؤال. ومن ثم، هذه إشارة جيدة على أننا سنحتاج إلى إيجاد نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة ﺃﺏ. للقيام بذلك، دعونا نسترجع معًا أنه يمكننا إيجاد نقطة المنتصف لزوج إحداثي عن طريق جمع قيمتي الإحداثيين وقسمتهما على اثنين. على وجه التحديد، نقطة المنتصف لـ ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين تساوي ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين، ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين.

إننا نريد إيجاد نقطة المنتصف بين النقطتين ﺃ وﺏ، وهي نقطة المنتصف بين خمسة، سالب اثنين وثلاثة، ثمانية. وهذا يساوي خمسة زائد ثلاثة على اثنين، سالب اثنين زائد ثمانية على اثنين. خمسة زائد ثلاثة يساوي ثمانية، وثمانية مقسومًا على اثنين يساوي أربعة. وبالمثل، سالب اثنين زائد ثمانية مقسومًا على اثنين يساوي ثلاثة. وبهذا، نكون قد توصلنا إلى نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ. وبما أن متجه الموضع للنقطة التي تقع على الخط المستقيم يوضح لنا كيفية إيجادها من نقطة الأصل، فإننا نعرف أن متجه الموضع ﻕ يمكن أن يعطى من خلال المتجه أربعة، ثلاثة.

والآن بعد أن أصبح لدينا متجه الموضع، دعونا نوجد متجه الاتجاه. يمكننا إيجاد متجه الاتجاه عن طريق إيجاد الفرق بين متجهي موضع نقطتين على الخط المستقيم. نحن نعلم أن الخط المستقيم يمر بالنقطتين ثلاثة، واحد وأربعة، ثلاثة. إذن، يمكن أن يكون متجه الاتجاه هو ثلاثة، واحدًا ناقص أربعة، ثلاثة. وتجدر الإشارة إلى أنه يمكننا فعل ذلك في الاتجاه المعاكس. بعبارة أخرى، يمكننا حساب أربعة، ثلاثة ناقص ثلاثة، واحد. وعندما نضرب في الكمية القياسية، يمكن أن تأخذ هذه الكمية القياسية أي قيمة. ومن ثم، يمكن أن يكون متجه الاتجاه أيًّا من مضاعفات هذا الفرق.

لكن ربما نلاحظ أنه إذا طرحنا المتجه أربعة، ثلاثة من ثلاثة، واحد، فسنحصل على أحد متجهات الاتجاه في خيارات السؤال لدينا. في الواقع، بطرح كل مركبتين على حدة، نحصل على المتجه سالب واحد، سالب اثنين. إذن، بجعل متجه الاتجاه يساوي سالب واحد، سالب اثنين، وجعل متجه الموضع لنقطة على الخط المستقيم لدينا يساوي أربعة، ثلاثة، وأخيرًا باستخدام الكمية القياسية ﻙ؛ ستكون معادلة الخط المستقيم هي أربعة، ثلاثة زائد ﻙ في سالب واحد، سالب اثنين. وهذا يكافئ الخيار (ب).