فيديو الدرس: حجم الهرم الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد حجم هرم، ونحل المسائل التي تتضمن المواقف الحياتية. دعونا نبدأ بتعريف المقصود بالهرم، والكلمات المختلفة التي نستخدمها للتعبير عن أجزاء الهرم، بالإضافة إلى الأنواع المختلفة من الأهرامات.

الأهرامات أشكال هندسية ثلاثية الأبعاد، تكون فيها القاعدة على شكل مضلع، وجميع أوجهها الأخرى عبارة عن مثلثات تلتقي عند قمة الهرم. هناك العديد من الأنواع المختلفة من الأهرامات، وفي بعض الأحيان يمكننا الإشارة إلى هذه الأهرامات بتسميتها وفقًا للمضلع الخاص بالقاعدة، مثل هرم رباعي، أو هرم ثلاثي، حتى الأهرامات الخماسية والسداسية. هناك أيضًا تعريفان آخران مهمان. الهرم القائم هرم تقع قمته فوق مركز القاعدة مباشرة. ولدينا كذلك نوع أكثر تحديدًا من الهرم القائم، وهو الهرم المنتظم، وهو هرم قائم تكون قاعدته عبارة عن مضلع منتظم. وهذا يعني أن جميع أضلاع القاعدة متساوية في الطول، وجميع الأحرف الجانبية للهرم متساوية في الطول.

قبل أن نتناول حجم الهرم، دعونا نميز بين كل من الارتفاع الجانبي والارتفاع العمودي للهرم. الارتفاع العمودي للهرم هو المسافة بين القمة والقاعدة. والارتفاع الجانبي هو المسافة المقيسة على طول الوجه الجانبي من القمة إلى حرف القاعدة. بعبارة أخرى، هو ارتفاع المثلث المكون لأحد الأوجه الجانبية. والآن، لنلق نظرة على حجم هرم ارتفاعه العمودي يساوي ﻉ. بعد ذلك، لنتخيل أننا نملأ هذا الهرم بشيء ما مثل الماء. إذا سكبنا بعد ذلك الماء الموجود بالهرم داخل منشور له نفس القاعدة والارتفاع، فسنلاحظ أن مستوى الماء يساوي ثلث ارتفاع المنشور بالضبط. وهذا يمكننا من وضع قاعدة عامة لأي هرم.

حجم الهرم يساوي ثلث حجم المنشور الذي له نفس القاعدة والارتفاع العمودي. ويمكننا إيجاد حجم الهرم عن طريق حساب ثلث مضروبًا في مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع العمودي. دعونا نر كيف يمكننا تطبيق هذه الصيغة في المثال الأول.

أوجد حجم الهرم الموضح، لأقرب جزء من مائة.

للإجابة عن هذا السؤال، يمكننا أن نتذكر أنه لإيجاد حجم الهرم، نحسب ثلثًا مضروبًا في مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع العمودي. وعلى الرغم من أن المعطيات توضح أن الارتفاع العمودي يساوي تسعة أمتار، فإننا لا نعلم مساحة القاعدة؛ ومن ثم علينا حسابها حتى يتسنى لنا استخدام صيغة حجم الهرم. ولأن القاعدة تمثل مثلثًا، فسوف نستخدم الصيغة الخاصة بإيجاد مساحة المثلث، وهي نصف في طول القاعدة في الارتفاع. لاحظ أنه في هاتين الصيغتين، نستخدم الارتفاع مرتين، لكنهما ليسا الارتفاع نفسه. بالنسبة إلى مساحة المثلث، فالارتفاع هو ارتفاع المثلث، وبالنسبة إلى الارتفاع في صيغة الحجم، فهو ارتفاع الهرم.

إذن دعونا نوجد مساحة المثلث. يمكننا التعويض عن القاعدة بستة، وعن الارتفاع بـ ٤٫٧، ويمكننا استخدام ٤٫٧ مباشرة؛ لأن المعطيات توضح أن هذا هو الارتفاع العمودي. عندما نجري هذه العملية الحسابية، نحصل على ناتج يساوي ١٤٫١. والآن، تذكر أن هذا الناتج يمثل المساحة، ووحدات القياس المعطاة بالمتر؛ ومن ثم ستكون المساحة بالمتر المربع. يمكننا الآن استخدام هذه القيمة لحساب حجم الهرم، من خلال التعويض بقيمة مساحة القاعدة التي تساوي ١٤٫١، وارتفاع الهرم الذي يساوي تسعة أمتار هذه المرة. عندما نحسب ثلثًا في ١٤٫١ في تسعة، نحصل على ٤٢٫٣. وبما أن هذا الناتج يشير إلى الحجم، فإن وحدة القياس هي الوحدة المكعبة؛ ومن ثم ستكون القيمة بالمتر المكعب. ويمكننا تقريب الناتج لأقرب جزء من مائة بإضافة صفر في خانة الجزء من مائة لنحصل على الحجم الذي يساوي ٤٢٫٣٠ مترًا مكعبًا.

في السؤال التالي، سنتعرف على كيفية تطبيق صيغة الحجم لإيجاد ارتفاع مجهول في سياق مثال مأخوذ من واقع الحياة.

هرم اللوفر في باريس له قاعدة مربعة طول ضلعها ١١٢ قدمًا. إذا كان حجم الهرم ٢٩٦٨٧٥ قدمًا مكعبة، فأوجد ارتفاعه لأقرب قدم.

في هذا السؤال، لدينا هرم قاعدته مربعة، وطول ضلع قاعدته يساوي ١١٢ قدمًا. ونعلم الحجم من المعطيات، ولكن علينا حساب ارتفاع هذا الهرم. لعلنا نتذكر أنه لإيجاد حجم الهرم، علينا أن نحسب ثلثًا في مساحة القاعدة في الارتفاع العمودي. ولكن، في هذا السؤال، لدينا حجم الهرم. وعلينا حساب ارتفاعه العمودي. وبالرغم من أننا لا نعرف مساحة القاعدة، فيمكننا حسابها.

مساحة المربع تساوي طول أحد أضلاعه تربيع. إذن في هذه الحالة، علينا حساب ١١٢ تربيع. وهذا يعطينا ١٢٥٤٤، ووحدة القياس ستكون القدم المربعة. بعد ذلك، يمكننا تطبيق صيغة الحجم، نعوض عن الحجم بالقيمة المعطاة وهي ٢٩٦٨٧٥، ونعوض عن مساحة القاعدة التي حسبناها للتو بـ ١٢٥٤٤. ولأننا نرغب في إيجاد قيمة ﻉ، يمكننا لدى إعادة ترتيب هذه المعادلة أن نبدأ بضرب كلا الطرفين في ثلاثة. بعد ذلك، يمكننا قسمة كلا الطرفين على ١٢٥٤٤. ومن ثم، نحصل على ٧١٫٠٠، وهكذا مع توالي الأرقام يساوي ﻉ. وبما أنه مطلوب منا تقريب القيمة لأقرب قدم، يمكننا كتابة الإجابة على هذه الصورة؛ بحيث نجد أن ارتفاع هرم اللوفر يساوي ٧١ قدمًا.

الآن، سنرى كيف يمكننا استخدام الحجم المعطى للهرم وارتفاعه لإيجاد محيط قاعدته.

إذا كان حجم هرم مربع الشكل ٣٧٢ سنتيمترًا مكعبًا، وارتفاعه ٣١ سنتيمترًا، فأوجد محيط قاعدته.

لم يتضمن السؤال شكلًا توضيحيًّا، ولكن يفضل في بعض الأحيان أن نرسم واحدًا. أولًا: علمنا من المعطيات أن الهرم مربع، ومن ثم نعلم أن الطول والعرض سيكونان متساويين في القياس عند القاعدة. كذلك، علمنا أن حجم الهرم يساوي ٣٧٢ سنتيمترًا مكعبًا، وأن ارتفاعه العمودي يساوي ٣١ سنتيمترًا. لعلنا نتذكر أن حجم الهرم يساوي ثلثًا في مساحة القاعدة في الارتفاع العمودي. ويمكننا الاستفادة من حقيقة أن لدينا حجم الهرم وارتفاعه العمودي لإيجاد مساحة القاعدة. وهذا سيمكننا بعد ذلك من حساب محيط القاعدة.

من ثم، يمكننا التعويض بالقيمتين الواردتين. الحجم يساوي ٣٧٢، والارتفاع يساوي ٣١، وبذلك يصبح لدينا ٣٧٢ يساوي ثلثًا مضروبًا في مساحة القاعدة في ٣١. وبضرب كلا الطرفين في ثلاثة، نحصل على ١١١٦ يساوي مساحة القاعدة في ٣١. بعد ذلك، نقسم كلا الطرفين على ٣١ لنحصل على مساحة القاعدة والتي تساوي ٣٦ سنتيمترًا مربعًا. إذن كيف يمكن بمعلومية مساحة قاعدة هذا الهرم إيجاد محيطه؟ حسنًا، تذكر أن القاعدة مربعة الشكل. وعليه، إذا عرفنا طول أحد الأضلاع بـ ﻝ، فسيكون طول كل ضلع من أضلاعه الأخرى هو ﻝ كذلك. وبذلك، تحسب مساحة المربع بأنها ﻝ تربيع. في هذه الحالة، لا بد أن ﻝ تربيع يساوي ٣٦. ولإيجاد قيمة ﻝ، نحسب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، والجذر التربيعي لـ ٣٦ يساوي ستة. وبالطبع، وحدة قياس الطول ستكون السنتيمتر.

والمحيط هو المسافة حول الحافة الخارجية للشكل. ولإيجاد المحيط، يمكننا جمع ستة وستة وستة وستة أو نضرب ستة في أربعة ببساطة، وهو ما يعطينا ٢٤. ولأن المحيط يظل طولًا، فستكون وحدة القياس السنتيمتر. وبذلك، نجد أن محيط قاعدة هذا الهرم يساوي ٢٤ سنتيمترًا، وتوصلنا إلى ذلك باستخدام الحجم من خلال حساب مساحة القاعدة أولًا.

حتى الآن في هذا الفيديو، تناولنا أمثلة على الأهرامات التي لها قواعد مثلثية أو رباعية، والتي يسهل إيجاد حجمها باستخدام الطرق الهندسية. لكن إذا كان لدينا هرم أكثر تعقيدًا، فسيظل بإمكاننا إيجاد الحجم إذا علمنا ارتفاع الهرم ومساحة قاعدته. ومع ذلك، قد يكون من الأصعب إيجاد حجم هرم قاعدته تتألف من خمسة أضلاع أو أكثر، إذا لم نكن نعلم مساحته. ولكن إذا كان لدينا قاعدة على شكل مضلع منتظم له عدد ﻥ من الأضلاع، فيمكننا استخدام الصيغة الآتية لمساعدتنا في إيجاد مساحته. تنص الصيغة على أن مساحة مضلع منتظم له عدد ﻥ من الأضلاع وطول ضلعه ﺱ يساوي ﻥﺱ تربيع على أربعة في ظتا ١٨٠ درجة على ﻥ. قد يكون من المفيد تدوين هذه الصيغة بالإضافة إلى صيغ حجوم الأهرامات؛ لأنها تستخدم بشكل متكرر. وسنرى الآن كيف يمكن تطبيق هذه الصيغة في المثال الأخير.

هرم خماسي منتظم طول قاعدته ٤١ سنتيمترًا وارتفاعه ٧١ سنتيمترًا. احسب حجم الهرم، لأقرب منزلة عشرية.

دعونا نبدأ برسم الهرم باستخدام الأبعاد المعطاة. لدينا هنا الشكل الذي رسمناه للهرم. ولأن المعطيات توضح أن الهرم خماسي، فهذا يعني أن القاعدة لها خمسة أضلاع. علمنا كذلك أن الهرم منتظم، ومن ثم فإن جميع أطوال أضلاع القاعدة ستكون متساوية، وقياسها يساوي ٤١ سنتيمترًا. وتشير المعطيات أيضًا إلى أن الارتفاع يساوي ٧١ سنتيمترًا، وهذا بدوره يمثل الارتفاع العمودي. تذكر أن الارتفاع الجانبي يساوي ارتفاع أحد المثلثات التي تكون الوجوه الجانبية.

ويمكننا أن نتذكر أنه لحساب حجم الهرم، نضرب ثلثًا في مساحة القاعدة في الارتفاع العمودي. بالرغم من أنه ليس لدينا مساحة قاعدة هذا الهرم، فيمكننا حسابها باستخدام المعطيات التي توضح أن هذا الهرم خماسي منتظم. ومن ثم، ستكون قاعدة الهرم مضلعًا خماسي الأضلاع، وجميع الأضلاع لها الطول نفسه. ويمكننا إيجاد مساحة مضلع منتظم له عدد ﻥ من الأضلاع وطول ضلعه ﺱ من خلال الصيغة التي تنص على أن مساحة المضلع تساوي ﻥﺱ تربيع على أربعة في ظتا ١٨٠ درجة على ﻥ. ومن ثم، بالتعويض عن عدد الأضلاع ﻥ بخمسة، وطول الضلع ﺱ بـ ٤١، نحصل على مساحة المضلع تساوي خمسة في ٤١ تربيع على أربعة في ظتا ١٨٠ درجة على خمسة. ويمكن تبسيط ذلك إلى ٨٤٠٥ على أربعة في ظتا ٣٦ درجة.

وبما أن الضرب في ظل تمام الزاوية يساوي القسمة على ظل الزاوية، فيمكننا كتابة ذلك على الصورة: ٨٤٠٥ مقسومًا على أربعة في ظا ٣٦ درجة. وباستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا إيجاد العدد العشري المكافئ: ٢٨٩٢٫١٢٢ سنتيمترًا مربعًا، وهكذا مع توالي الأرقام. ولأننا لم ننته من الحل بالحصول على هذه القيمة، فلن نقربها الآن. وعندما نستخدمها في الجزء التالي من العملية الحسابية، يمكننا الاحتفاظ بالعدد العشري المطول، أو استخدام هذه القيمة الكسرية في الخطوة السابقة بدلًا من ذلك.

بمقدورنا، الآن، إيجاد حجم الهرم، مع تذكر أن مساحة القاعدة هي مساحة المضلع الذي حسبناه للتو. يمكننا إذن كتابة أن حجم الهرم يساوي ثلثًا في ٢٨٩٢٫١٢٢، وهكذا مع توالي الأرقام، مضروبًا في الارتفاع العمودي، الذي يساوي ٧١. وهذا يعطينا القيمة ٦٨٤٤٦٫٨٩٩، وهكذا مع توالي الأرقام. ولأن هذا الناتج يمثل الحجم، فسيقاس بالوحدات المكعبة، وهو ما يعني أن وحدة القياس ستكون السنتيمتر المكعب. مطلوب في السؤال تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية، إذن يمكننا كتابة حجم الهرم على هذه الصورة ٦٨٤٤٦٫٩ سنتيمترًا مكعبًا.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. بدأنا بالتعريف الذي ينص على أن الأهرامات أشكال هندسية ثلاثية الأبعاد، تكون فيها القاعدة على شكل مضلع، وجميع الأوجه الأخرى عبارة عن مثلثات تلتقي عند القمة. تناولنا بعد ذلك التعريفين الآتيين. الهرم القائم هرم تقع قمته فوق مركز القاعدة مباشرة، والهرم المنتظم هرم قائم وقاعدته عبارة عن مضلع منتظم. وهذا يعني أن جميع أضلاع القاعدة متساوية في الطول، وجميع الأحرف الجانبية للأهرامات متساوية في الطول.

ثم تطرقنا إلى القاعدة البالغة الأهمية. تنص هذه القاعدة على أن حجم الهرم يساوي ثلث حجم المنشور الذي له نفس طول القاعدة والارتفاع. وهكذا، فإن حجم الهرم يساوي ثلثًا في مساحة القاعدة في الارتفاع العمودي. وأخيرًا، كما أوضحنا في المثال الأخير، لإيجاد مساحة قاعدة هرم منتظم، قد نحتاج إلى تطبيق الصيغة الخاصة بإيجاد مساحة مضلع له عدد ﻥ من الأضلاع وطول ضلعه ﺱ، والتي تنص على أن مساحة المضلع تساوي ﻥﺱ تربيع على أربعة في ظتا ١٨٠ درجة على ﻥ.