فيديو السؤال: إيجاد الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين في بعدين الرياضيات

أوجد قياس الزاوية الحادة الواقعة بين الخطين المستقيمين ﻝ_١: ﺭ = ⟨−٤‎، −٣⟩ + ﻙ⟨٤‎، −٩⟩ ،ﻝ_٢: ٧ﺱ − ٣ﺹ + ١٧ = ٠، لأقرب ثانية.

٠٦:٥٦

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قياس الزاوية الحادة الواقعة بين الخطين المستقيمين ﻝ واحد ﺭ يساوي المتجه سالب أربعة، سالب ثلاثة زائد ﻙ في المتجه أربعة، سالب تسعة، و ﻝ اثنان سبعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ زائد ١٧ يساوي صفرًا لأقرب ثانية.

في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد قياس الزاوية الحادة الواقعة بين خطين مستقيمين، ولدينا في المعطيات معادلتا هذين الخطين المستقيمين. إحدى المعادلتين معطاة على الصورة المتجهة، والأخرى معطاة على الصورة العامة. وعلينا إيجاد قياس الزاوية لأقرب ثانية. لحل هذا السؤال، يمكننا البدء بتذكر كيفية إيجاد قياس الزاوية الحادة الواقعة بين خطين مستقيمين معطيين. نعلم أنه إذا كان لدينا خطان مستقيمان ﻝ واحد و ﻝ اثنان، وميلاهما ﻡ واحد و ﻡ اثنان، فإن الزاوية الحادة 𝜃 المحصورة بين الخطين المستقيمين تحقق المعادلة ظا 𝜃 يساوي القيمة المطلقة لـ ﻡ واحد ناقص ﻡ اثنين مقسومًا على واحد زائد ﻡ واحد في ﻡ اثنين.

هناك بضعة أمور جديرة بالملاحظة في هذه المعادلة. على سبيل المثال، إذا كان الخطان المستقيمان متوازيين وغير رأسيين، فلا بد أن يكون ميلاهما متساويين. ومن ثم، ﻡ واحد يساوي ﻡ اثنين. والبسط في الطرف الأيسر من هذه المعادلة يساوي صفرًا. إذن، يصبح لدينا ظا 𝜃 يساوي صفرًا، أي إن 𝜃 تساوي صفرًا. وبالمثل، إذا كان الخطان المستقيمان متعامدين، فسنجد أن ﻡ واحد في ﻡ اثنين يساوي سالب واحد، بشرط ألا يكون أي من الخطين رأسيًّا. وهذا يعني أن قيمة ظا 𝜃 غير معرفة، وهذا يعني أن 𝜃 تساوي ٩٠ درجة. وأخيرًا، لا يمكننا تطبيق هذه الصيغة إذا كان أي من الخطين رأسيًّا. لذا، سنبدأ بإيجاد ميل كلا الخطين المستقيمين.

وسنبدأ بإيجاد ميل الخط المستقيم ﻝ واحد. للقيام بذلك، نتذكر أنه يمكننا إيجاد الميل من خلال معادلة الخط المستقيم على الصورة المتجهة ﺭ يساوي ﺭ صفر زائد ﻙ في المتجه ﺃ, ﺏ من خلال إيجاد ﺏ مقسومًا على ﺃ فحسب. وذلك بشرط ألا يكون ﺃ يساوي صفرًا. وبتطبيق هذه النتيجة على معادلة ﻝ واحد، نجد أن ﻡ واحد يساوي سالب تسعة مقسومًا على أربعة. وجدير بالذكر أنه كان بإمكاننا إيجاد ذلك باستخدام معادلة الخط المستقيم مباشرة. نلاحظ أن متجه اتجاه الخط المستقيم يساوي أربعة، سالب تسعة. ومن ثم، فإنه لكل أربع وحدات نتحركها إلى اليمين، يتحرك الخط المستقيم بمقدار تسع وحدات لأسفل. إذن، التغير في قيمة ﺹ على التغير في قيمة ﺱ يساوي سالب تسعة على أربعة.

ولتحديد معادلة الخط المستقيم الثاني، سنكتبها بصيغة الميل والمقطع. سنبدأ بإضافة ثلاثة ﺹ إلى طرفي المعادلة. وسنحصل على سبعة ﺱ زائد ١٧ يساوي ثلاثة ﺹ . وبعد ذلك نقسم طرفي المعادلة على ثلاثة. ومن ثم نحصل على سبعة على ثلاثة ﺱ زائد ١٧ على ثلاثة يساوي ﺹ . ونحن نعرف أن معامل ﺱ هو ميل الخط المستقيم. وبذلك، نجد أن قيمة ﻡ اثنين تساوي سبعة على ثلاثة.

والآن بعد أن أوجدنا ميلي الخطين المستقيمين، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في المعادلة. وبناء على ذلك، نحصل على ظا 𝜃 يساوي القيمة المطلقة لسالب تسعة على أربعة ناقص سبعة على ثلاثة مقسومًا على واحد زائد سالب تسعة على أربعة مضروبًا في سبعة على ثلاثة. وبحساب قيمة الطرف الأيسر من هذه المعادلة، نحصل على ٥٥ على ٥١، وهو ما يجب أن يساوي ظا 𝜃 . يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة 𝜃 بالدرجات عن طريق حساب الدالة العكسية للظل لطرفي المعادلة. وعلينا التأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات.

وبذلك نحصل على 𝜃 يساوي ٤٧٫١٦١، وهكذا مع توالي الأرقام درجة. لكننا لم ننته من الحل بعد، حيث يطلب السؤال تقريب الإجابة لأقرب ثانية. لذا، علينا تحويل هذا الناتج إلى درجات ودقائق وثوان. للقيام بذلك، سنبدأ بتذكر أن لدينا ٦٠ دقيقة في الدرجة و٦٠ ثانية في الدقيقة. ويمكننا أن نلاحظ بالفعل أن هناك ٤٧ درجة كاملة في هذا الناتج، لذا سنستبعد هذا الجزء من القياس. ومن ثم يتبقى لدينا ٠٫١٦١ وهكذا مع توالي الأرقام درجة. وإذا ضربنا هذه القيمة المتبقية في ٦٠، فسنحصل على قياس الزاوية بالدقائق. وعند حساب قيمة هذا المقدار، مع الحرص على استخدام القيمة الدقيقة للزاوية، نحصل على ٩٫٦٦٤، وهكذا مع توالى الأرقام دقائق.

يمكننا تكرار هذه العملية. ونلاحظ وجود تسع دقائق كاملة في هذه الزاوية. وعند استبعادها، يتبقى لدينا هذا الجزء من القياس: ٠٫٦٦٤ وهكذا مع توالي الأرقام دقيقة. إذا ضربنا هذه القيمة في ٦٠، فسنحصل على الزاوية المتبقية بالثواني. وبحساب ذلك، مع التأكد أيضًا من استخدام القيمة الدقيقة، نحصل على ٣٩٫٨٨٦، وهكذا مع توالي الأرقام ثانية. تذكر أن السؤال يطلب منا تقريب الإجابة لأقرب ثانية. لذا سننظر إلى المنزلة العشرية الأولى ونجد أنها تساوي ثمانية، وهذا يعني أن علينا تقريب هذه القيمة لأعلى. وبتقريب القيمة إلى ٤٠ ثانية، نحصل على الإجابة النهائية ٤٧ درجة، وتسع دقائق، و٤٠ ثانية.

إذن، تمكنا من تحديد أن قياس الزاوية الحادة الواقعة بين الخطين المستقيمين ﺭ يساوي المتجه سالب أربعة، سالب ثلاثة زائد ﻙ في المتجه أربعة، سالب تسعة؛ وسبعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ زائد ١٧ يساوي صفرًا، يساوي ٤٧ درجة، وتسع دقائق، و٤٠ ثانية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.