فيديو السؤال: إيجاد نهايات تتضمن دوال مثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لستة ﺱ ظتا تربيع أربعة ﺱ الكل مقسومًا على قتا ثمانية ﺱ.

حسنًا، مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد قيمة نهاية مجموعة من الدوال المثلثية. ونلاحظ أنه إذا حاولنا استخدام التعويض المباشر، بما أن النهاية لدينا عندما يقترب ﺱ من صفر، فسنحصل على ظتا أربعة في صفر يساوي لانهاية في البسط وأيضًا لا نهاية في المقام، وهي صيغة غير معينة. وبما أن هذه الصيغة غير معينة، لا يمكننا استخدام التعويض المباشر في هذه الحالة. علينا إذن إعادة كتابة هذا التعبير؛ بحيث نتمكن من استخدام التعويض المباشر واستخدام إحدى قواعد نهايات الدوال المثلثية.

سنبدأ بإعادة كتابة هذا التعبير كله بدلالة دالتي الجيب وجيب التمام. إننا نعلم أن ظتا 𝜃 يساوي واحدًا مقسومًا على ظا 𝜃، وهذا يساوي جتا 𝜃 مقسومًا على جا 𝜃. لكن في التعبير لدينا، نحن نوجد ظتا أربعة ﺱ؛ لذا سنعوض عن 𝜃 بأربعة ﺱ. وهذا يعطينا ظتا أربعة ﺱ يساوي جتا أربعة ﺱ مقسومًا على جا أربعة ﺱ.

ونريد بعد ذلك إعادة كتابة قتا ثمانية ﺱ بدلالة دالتي الجيب وجيب التمام. يمكننا فعل ذلك باسترجاع أن قتا 𝜃 يساوي واحدًا مقسومًا على جا 𝜃. وكما فعلنا من قبل، بما أننا نريد إيجاد قتا ثمانية ﺱ، فسنعوض عن 𝜃 بثمانية ﺱ. هذا يعطينا قتا ثمانية ﺱ يساوي واحدًا مقسومًا على جا ثمانية ﺱ.

بالتعويض عن ظتا أربعة ﺱ بـ جتا أربعة ﺱ مقسومًا على جا أربعة ﺱ، نحصل على بسط جديد في النهاية لدينا وهو ستة ﺱ مضروبًا في جتا أربعة ﺱ على جا أربعة ﺱ الكل تربيع. وبالتعويض بعد ذلك عن قتا ثمانية ﺱ بواحد مقسومًا على جا ثمانية ﺱ، نحصل على مقام جديد في النهاية لدينا وهو واحد مقسومًا على جا ثمانية ﺱ.

والآن بدلًا من أن نقسم على الكسر واحد مقسومًا على جا ثمانية ﺱ، يمكننا الضرب في المقلوب. وبذلك، فإنه بالضرب في مقلوب واحد على جا ثمانية ﺱ وفك التربيع على القوسين لدينا، تصبح النهاية لدينا تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لستة ﺱ في جتا تربيع أربعة ﺱ في جا ثمانية ﺱ الكل مقسومًا على جا تربيع أربعة ﺱ.

لكننا ما زلنا لا نستطيع استخدام التعويض المباشر مع هذه النهاية. وبما أن النهاية لدينا تكون عندما يقترب ﺱ من صفر، فسنحصل على المقام جا تربيع أربعة في صفر، وهو ما يساوي صفرًا. والبسط سيكون جا ثمانية في صفر، أي صفر، وهو ما يعطينا صيغة غير معينة. لذا، ما زلنا بحاجة إلى إجراء المزيد من العمليات لإيجاد قيمة هذه النهاية.

سنبدأ باسترجاع صيغة ضعف الزاوية للجيب، والتي توضح أن جا اثنين 𝜃 يساوي اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃. إننا نريد تطبيق هذا على جا ثمانية ﺱ في البسط. إذن، نجد أن لدينا جا أربعة ﺱ في البسط، وهو ما يمكننا حذفه مع أحد عاملي جا أربعة ﺱ في المقام. وبجعل 𝜃 تساوي أربعة ﺱ، نجد أن جا ثمانية ﺱ يساوي اثنين جا أربعة ﺱ جتا أربعة ﺱ.

إذن، بالتعويض بـ جا ثمانية ﺱ يساوي اثنين جا أربعة ﺱ جتا أربعة ﺱ في النهاية لدينا، نحصل على تعبير جديد لهذه النهاية. ويمكننا حذف العامل المشترك جا أربعة ﺱ في البسط مع أحد العاملين في المقام. بتبسيط هذا، نجد أن النهاية لدينا تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ١٢ﺱجتا تكعيب أربعة ﺱ الكل مقسومًا على جا أربعة ﺱ.

لكننا ما زلنا لا نستطيع إجراء التعويض المباشر على هذه النهاية. وبما أن قيمة النهاية لدينا تكون عندما يقترب ﺱ من صفر في البسط، فإن العامل ﺱ سيقترب من صفر. وفي المقام، تقترب جا أربعة ﺱ من جا أربعة في صفر، وهذا يساوي صفرًا، ما يجعلنا نحصل على صيغة غير معينة. لذا، ما زلنا بحاجة إلى إجراء المزيد من العمليات الحسابية. سنفعل هذا باستخدام إحدى نتائج النهايات القياسية للدوال المثلثية.

حسنًا، سنستخدم حقيقة أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ مقسومًا على ﺱ تساوي واحدًا. هذه نتيجة قياسية علينا أن نحفظها عن ظهر قلب. لكن في هذه النهاية، لدينا ﺱ في البسط ودالة الجيب في المقام. لذا، علينا إيجاد مقلوب هذه النهاية. إننا نعلم أن مقلوب النهاية يساوي نهاية المقلوب. إذن، النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺱ مقسومًا على جا ﺱ تساوي مقلوب واحد، وهو ما يساوي واحدًا.

نلاحظ هنا أننا نحسب جا أربعة ﺱ في النهاية لدينا. إذن، علينا التعويض عن ﺱ بأربعة ﺱ. وهذا يعطينا أن النهاية عندما يقترب أربعة ﺱ من صفر لأربعة ﺱ مقسومًا على جا أربعة ﺱ تساوي واحدًا. وإذا كان أربعة ﺱ يقترب من صفر، فإن ﺱ يقترب من صفر. وعليه، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لأربعة ﺱ مقسومًا على جا أربعة ﺱ تساوي واحدًا.

إذن، سنحتاج إلى أربعة ﺱ في البسط. ويمكننا هنا ملاحظة أن ١٢ﺱ يساوي ثلاثة مضروبًا في أربعة ﺱ. وهذا يعني أن النهاية لدينا تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لثلاثة في أربعة ﺱ على جا أربعة ﺱ الكل مضروبًا في جتا تكعيب أربعة ﺱ. وبما أن ثلاثة عدد ثابت، يمكننا أخذه خارج النهاية.

سنستخدم بعد ذلك حقيقة أن نهاية حاصل الضرب تساوي حاصل ضرب النهاية كي نتمكن من تقسيم النهاية إلى حاصل ضرب نهايتين. هذا يعطينا ثلاثة مضروبًا في النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لأربعة ﺱ على جا ﺱ في النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جتا تكعيب أربعة ﺱ. نحن الآن مستعدون تقريبًا لإيجاد قيمة هذه النهاية. سنغير نهاية جتا تكعيب أربعة ﺱ باستخدام قاعدة القوة للنهايات لتصبح النهاية لـ جتا أربعة ﺱ الكل تكعيب.

حسنًا، لدينا الآن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لأربعة ﺱ مقسومًا على جا ﺱ تساوي واحدًا. والنهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جتا ﺱ تساوي واحدًا أيضًا. إذن، هذه النهاية تساوي ثلاثة مضروبًا في واحد مضروبًا في واحد تكعيب، وهو ما يساوي ثلاثة. وبذلك، نجد أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لستة ﺱ مضروبًا في ظتا تربيع أربعة ﺱ الكل مقسومًا على قتا ثمانية ﺱ تساوي ثلاثة.