نسخة الفيديو النصية
إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي سالب واحد، أربعة، سالب واحد، ١١، و𝐼 مصفوفة الوحدة التي لها نفس رتبة ﺃ، فأوجد ﺃ مضروبًا في 𝐼، و𝐼 تربيع.
لنتذكر أن مصفوفة الوحدة هي مصفوفة مربعة لها آحاد على طول القطر الرئيسي وأصفار في كل مكان آخر. في هذه الحالة، تكون مصفوفة الوحدة من الرتبة اثنين في اثنين، تشمل العناصر: واحدًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا. في الجزء الأول من هذا السؤال، علينا ضرب مصفوفة الوحدة في المصفوفة ﺃ. عند ضرب مصفوفتين، نضرب عناصر كل صف من المصفوفة الأولى في كل عمود من المصفوفة الثانية. نبدأ بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولى في العمود الأول من المصفوفة الثانية. نحصل على سالب واحد مضروبًا في واحد زائد أربعة مضروبًا في صفر.
بعد ذلك، لدينا سالب واحد مضروبًا في صفر زائد أربعة مضروبًا في واحد. نكرر هذه العملية باستخدام عناصر الصف الثاني من المصفوفة الأولى. لدينا سالب واحد مضروبًا في واحد زائد ١١ مضروبًا في صفر، والعنصر الموجود في أسفل اليسار هو سالب واحد مضروبًا في صفر زائد ١١ مضروبًا في واحد. وهو ما يعطينا المصفوفة: سالب واحد، أربعة، سالب واحد، ١١. المصفوفة ﺃ𝐼 هي المصفوفة ﺃ نفسها. وهذا يقودنا إلى القاعدة العامة التي تنص على أن المصفوفة ﺃ مضروبة في مصفوفة الوحدة تساوي المصفوفة ﺃ. عند التعامل مع مصفوفة الوحدة، تكون هذه العلاقة إبدالية. ﺃ مضروبًا في 𝐼 يساوي 𝐼 مضروبًا في ﺃ، وهو ما يساوي المصفوفة ﺃ.
الجزء الثاني من السؤال يطلب منا حساب المصفوفة 𝐼 تربيع. علينا ضرب المصفوفة: واحد، صفر، صفر، واحد في المصفوفة: واحد، صفر، صفر، واحد. العنصر العلوي الأيمن سوف يساوي واحدًا؛ حيث لدينا واحد مضروبًا في واحد زائد صفر مضروبًا في صفر. في الجزء العلوي الأيسر، لدينا صفر. سنضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولى في العمود الثاني من المصفوفة الثانية.
بتكرار هذه العملية، نحصل على العنصرين: صفر وواحد في الصف الثاني. 𝐼 تربيع يساوي واحدًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا، وهي مصفوفة الوحدة. يمكننا إذن استنتاج أن 𝐼 تربيع يساوي 𝐼. وهذا يقودنا إلى قاعدة عامة ثانية تتضمن ضرب المصفوفات. رفع مصفوفة الوحدة لأي قوة يعطينا مصفوفة الوحدة. وعليه، إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي سالب واحد، أربعة، سالب واحد، ١١، فإن ﺃ𝐼 يساوي ﺃ، و𝐼 تربيع يساوي 𝐼.
