فيديو السؤال: إيجاد تكامل دالة كسرية باستخدام التكامل بالتعويض الرياضيات

أوجد تكامل −٢ﺱ‏/‏(ﺱ + ٨)^٢ بالنسبة إلى ﺱ.

٠٤:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل سالب اثنين ﺱ على ﺱ زائد ثمانية تربيع بالنسبة إلى ﺱ.

يمكننا حل مسألة التكامل هذه بالتعويض. خطوتنا الأولى هي جعل ﻉ يساوي ﺱ زائد ثمانية. وهذا يعني أن المقام سيصبح ﻉ تربيع. إذا كان ﻉ يساوي ﺱ زائد ثمانية، فإن المشتقة ﺩﻉ على ﺩﺱ تساوي واحدًا. وعلى الرغم من أنه لا يمكن فصل ﺩﻉ وﺩﺱ عمليًّا، لكن لأغراض التكامل بالتعويض، يمكننا كتابة ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ. هذا يتيح لنا حذف ﺩﺱ من التكامل الأصلي. وآخر شيء علينا حذفه هو ﺱ الموجود في البسط. وبما أن ﻉ يساوي ﺱ زائد ثمانية، فإن ﺱ يساوي ﻉ ناقص ثمانية.

يمكننا الآن التعويض بهذه القيم، فيصبح لدينا تكامل بدلالة ﻉ. سيصبح البسط سالب اثنين مضروبًا في ﻉ ناقص ثمانية. المقام هو ﻉ تربيع. وبما أن ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ، يمكننا إجراء تكامل هذا بالنسبة إلى ﻉ. وبفك القوسين بالتوزيع، نحصل على سالب اثنين ﻉ زائد ١٦. يمكننا الآن تقسيم البسط بحيث يكون لدينا حدان يمكننا إجراء تكامليهما كلًّا على حدة. سيكون الحد الأول هو سالب اثنين ﻉ على ﻉ تربيع. يمكننا بعد ذلك حذف ﻉ من بسط الكسر ومقامه، وبذلك يتبقى لدينا سالب اثنين على ﻉ. والحد الثاني هو ١٦ على ﻉ تربيع.

سنوجد الآن تكامل سالب اثنين على ﻉ و١٦ على ﻉ تربيع بالنسبة إلى ﻉ، كلًّا على حدة. في هذه المرحلة، يجدر بنا استرجاع بعض قوانين أو قواعد التكامل الأساسية. إذا أردنا أن نوجد تكامل الثابت ﺃ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، فإن هذا يساوي ﺃ اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد ﺟ. وعليه، فإن تكامل سالب اثنين على ﻉ يساوي سالب اثنين اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ. بالنسبة إلى الحد الثاني، من المفيد إعادة كتابة ١٦ على ﻉ تربيع على الصورة ١٦ﻉ أس سالب اثنين.

يمكننا بعد ذلك استخدام القاعدة العامة للتكامل التي تنص على أن تكامل ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد زائد ﺟ. وعليه، فإن تكامل ١٦ﻉ أس سالب اثنين يساوي ١٦ﻉ أس سالب واحد على سالب واحد. قسمة عدد موجب على عدد سالب تعطينا عددًا سالبًا. ومن ثم، يمكن تبسيط ذلك إلى سالب ١٦ﻉ أس سالب واحد. ويمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة سالب ١٦ على ﻉ. علينا الآن العودة إلى التعبير الأصلي الذي عوضنا به، ﻉ يساوي ﺱ زائد ثمانية، ونعوض به مرة أخرى. هذا يعطينا سالب اثنين اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد ثمانية ناقص ١٦ على ﺱ زائد ثمانية. خطوتنا الأخيرة هي إضافة ثابت التكامل ﺙ. يجب أن نفعل ذلك في كل مرة نتعامل مع تكامل غير محدد.

إذن، تكامل سالب اثنين ﺱ على ﺱ زائد ثمانية تربيع بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب اثنين اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد ثمانية ناقص ١٦ على ﺱ زائد ثمانية زائد ﺙ. لاحظ أننا نستخدم القيمة المطلقة أو المقياس عند التعامل مع أي لوغاريتمات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.