تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إيجاد المساحة الجانبية والكلية للهرم

أحمد مدحت

يوضح الفيديو مفهوم الهرم المنتظم، والصيغ الرياضية للمساحة الجانبية والكلية لسطح الهرم المنتظم، وكيفية إيجادهما، مع أمثلة توضيحية.

٠٧:٣٦

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم عن إيجاد المساحة الجانبية والكلية للهرم.

في الفيديو ده هنعرف إيه هو الهرم المنتظم، وكمان هنعرف الصيغ الرياضية اللي هنستخدمها علشان نِوجد المساحة الجانبية والكلية للهرم، وبعد كده هنشوف أمثلة نعرف من خلالها إزاي نِوجد المساحة الجانبية والكلية للهرم.

هنبدأ نعرف إيه هو الهرم المنتظم. الهرم المنتظم ده هو هرم قاعدته مضلع منتظم، والمضلع المنتظم ده هو عبارة عن مضلع بتكون زواياه متطابقة، وكمان أضلاعه متطابقة. كمان الأوجه الجانبية للهرم المنتظم عبارة عن مثلثات متساوية الساقين، ومش بس كده، ده المثلثات دي كمان متطابقة. كمان المثلثات دي بتلتقي عند أعلى الهرم في نقطة بنسميها قمة الهرم. وبما إن الأوجه الجانبية عبارة عن مثلثات، بالتالي هيكون ليها ارتفاعات، والارتفاع بتاع كل وجه جانبي بنسميه الارتفاع الجانبي. كده إحنا عرفنا إيه هو الهرم المنتظم.

بعد كده هيظهر لنا شكل، الشكل اللي عندنا عبارة عن نموذج لهرم منتظم ومخطط ليه، موضح عليهم بعض المصطلحات؛ زي قمة الهرم، وكمان الوجه الجانبي، ورأس والقاعدة بتاعة الهرم، وكمان الارتفاع الجانبي. كمان من خلال الشكل اللي عندنا هنلاحظ إن النموذج اللي عندنا هو نموذج لهرم رباعي منتظم؛ بالتالي هنلاقي المخطط بتاعه بيتكون من مربع (واللي هو بيمثل القاعدة بتاعة الهرم)، وأربع مثلثات (واللي هي عبارة عن الأوجه الجانبية)، وطبعًا المثلثات دي متساوية الساقين متطابقة، وارتفاعات المثلثات دي بنسميها الارتفاع الجانبي.

ومن خلال مخطط الهرم المنتظم اللي عندنا، هنلاقي المساحة الجانبية لسطح الهرم المنتظم عبارة عن مجموع مساحات الأوجه الجانبية بتاعته. كمان هنلاحظ من خلال المخطط اللي عندنا إن كل ضلع من أضلاع المضلع المنتظم بيمثل قاعدة للأوجه الجانبية، اللي هي عبارة عن مثلثات. فلو فرضنا إن طول ضلع المضلع المنتظم هو س، أما طول الارتفاع الجانبي فهو ل؛ بكده مساحة الوجه الجانبي تساوي نص في س في ل؛ يعني نص س ل. والهرم اللي عندنا ليه أربعة أوجه جانبية؛ بالتالي المساحة الجانبية للهرم تساوي أربعة في نص س ل. وباستخدام خاصية الإبدال في الضرب نقدر نقول إن المساحة الجانبية للهرم تساوي نص في أربعة س في ل. هنلاحظ إن أربعة س دي بتمثل محيط القاعدة بتاعة الهرم، أما ل فهي بتمثل الارتفاع الجانبي للهرم؛ معنى كده إن المساحة الجانبية للهرم تساوي نص في محيط القاعدة في الارتفاع الجانبي؛ معنى كده إن المساحة الكلية لسطح الهرم المنتظم تساوي المساحة الجانبية للهرم زائد مساحة القاعدة.

بكده نقدر نقول إن الصيغة الرياضية للمساحة الجانبية لسطح الهرم هي المساحة الجانبية لسطح الهرم المنتظم تساوي نص في محيط القاعدة في الارتفاع الجانبي.

بعد كده هنشوف الصيغة الرياضية للمساحة الكلية لسطح الهرم، هتبقى المساحة الكلية لسطح الهرم المنتظم تساوي المساحة الجانبية بتاعة الهرم زائد مساحة قاعدة الهرم. وبما إن المساحة الجانبية لسطح الهرم تساوي نص في محيط القاعدة في الارتفاع الجانبي؛ بالتالي هتبقى المساحة الكلية لسطح الهرم المنتظم تساوي نص في محيط القاعدة في الارتفاع الجانبي زائد مساحة القاعدة.

بعد كده هنشوف مثال نعرف بيه إزاي نِوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح الهرم المنتظم. عندنا في المثال شكل عبارة عن هرم ثلاثي، ومطلوب إننا نِوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح الهرم ده. هنبدأ الأول نجيب المساحة الجانبية للهرم اللي عندنا. بالنسبة للقاعدة بتاعة الهرم اللي عندنا هنلاقيها عبارة عن مثلث، والمثلث ده هنلاقي أطوال أضلاعه التلاتة كلها متساوية؛ بالتالي هو مثلث متساوي الأضلاع؛ وده معناه إن القاعدة عبارة عن مضلع منتظم؛ بكده الهرم اللي عندنا هرم منتظم. والمساحة الجانبية لسطح الهرم المنتظم تساوي نص في محيط القاعدة في الارتفاع الجانبي.

بالنسبة لمحيط القاعدة، فمن خلال الشكل اللي عندنا هنلاقي محيط القاعدة يساوي عشرة زائد عشرة زائد عشرة، يعني يساوي تلاتين متر. أما الارتفاع الجانبي فهنلاقيه اتناشر متر. بالتالي المساحة الجانبية لسطح الهرم تساوي نص في تلاتين في اتناشر. ولما هنضرب هنلاقيها تساوي مية وتمانين؛ بكده هتبقى المساحة الجانبية لسطح الهرم هي مية وتمانين متر مربع.

بعد كده هنِوجد المساحة الكلية لسطح الهرم، والمساحة الكلية لسطح الهرم المنتظم تساوي المساحة الجانبية بتاعة الهرم زائد مساحة القاعدة. بالنسبة للمساحة الجانبية فهي مية وتمانين متر مربع، أما مساحة القاعدة فمن خلال الشكل هنلاقيها بتساوي نص في عشرة في تمنية وسبعة من عشرة؛ يعني مساحة القاعدة تساوي تلاتة وأربعين ونص متر مربع؛ بالتالي المساحة الكلية لسطح الهرم تساوي مية وتمانين زائد تلاتة وأربعين ونص، يعنى هتساوي ميتين تلاتة وعشرين ونص، بكده المساحة الكلية لسطح الهرم هي ميتين تلاتة وعشرين ونص متر مربع.

بعد كده هنشوف مثال كمان، عندنا في المثال عايزين نِوجد المساحة الجانبية لهرم خفرع، إذا كان ارتفاعه الجانبي مية تمنية وسبعين متر، وطول ضلع قاعدته المربعة ميتين وخمستاشر متر. بما إن قاعدة هرم خفرع عبارة عن مربع، ده معناه إن القاعدة مضلع منتظم؛ بالتالي الهرم هيبقى هرم منتظم. والمساحة الجانبية لسطح الهرم المنتظم تساوي نص في محيط القاعدة في الارتفاع الجانبي. بالنسبة لمحيط القاعدة فهيساوي أربعة في طول ضلع القاعدة؛ وده لأن محيط المربع يساوي أربعة في طول ضلعه؛ معنى كده إن محيط القاعدة يساوي أربعة في ميتين وخمستاشر، يعني يساوي تمنمية وستين متر. أما الارتفاع الجانبي للهرم فهو مُعطى وبيساوي مية تمنية وسبعين متر؛ بالتالي هتبقى المساحة الجانبية لهرم خفرع تساوي نص في تمنمية وستين في مية تمنية وسبعين. فلما هنضرب هنلاقيها تساوي ستة وسبعين ألف خمسمية وأربعين؛ بكده هتبقى المساحة الجانبية لهرم خفرع هي ستة وسبعين ألف خمسمية وأربعين متر مربع.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إن الهرم المنتظم هو هرم قاعدته مضلع منتظم، وأوجهه الجانبية عبارة عن مثلثات متطابقة، وكلٍّ منها متساوي الساقين، والمثلثات دي بتلتقي عند أعلى الهرم في نقطة بنسميها قمة الهرم، وعرفنا كمان إن ارتفاع كل وجه جانبي منها بنسميه الارتفاع الجانبي. بعد كده عرفنا إن الصيغة الرياضية للمساحة الجانبية لسطح الهرم المنتظم هي إن المساحة الجانبية لسطح الهرم المنتظم تساوي نص في محيط القاعدة في الارتفاع الجانبي، أما الصيغة الرياضية للمساحة الكلية لسطح الهرم المنتظم هي إن المساحة الكلية لسطح الهرم المنتظم تساوي المساحة الجانبية للهرم زائد مساحة القاعدة، أو إن المساحة الكلية لسطح الهرم المنتظم تساوي نص في محيط القاعدة في الارتفاع الجانبي زائد مساحة القاعدة، بعد كده شُفنا أمثلة على إيجاد المساحة الجانبية والكلية لسطح الهرم.