فيديو الدرس: تبسيط الدوال الكسرية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نبسط الدوال الكسرية، ونوجد مجالاتها.

١٧:٣٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نبسط الدوال الكسرية ونوجد مجالاتها. سوف نبسط الدوال الكسرية بإيجاد العوامل المشتركة في تعبيرات البسط والمقام ثم حذفها. وسنفعل ذلك من خلال التحليل. سنوجد أيضًا مجال الدالة الكسرية بإيجاد قيم ﺱ التي يكون المقام عندها مساويًا لصفر. نبدأ بتناول بعض التعريفات الأساسية.

الدالة الكسرية هي أي دالة يمكن تعريفها بواسطة كسر نسبي. في هذا الفيديو، سنتناول الكسور الجبرية التي تكون فيها تعبيرات البسط والمقام كثيرات حدود. إن مجال الدالة ﺩﺱ هو مجموعة قيم ﺱ التي يمكننا إدخالها في الدالة. ولا توجد أي حلول حقيقية للدالة عندما يكون المقام مساويًا لصفر. لذلك، يمكننا مساواة المقام بصفر حتى نتمكن من حساب القيم الحقيقية التي لا تنتمي إلى المجال.

لنتناول مثلًا الدالة أربعة ﺱ زائد سبعة على ﺱ ناقص ثلاثة. هذه الدالة مكتوبة بالفعل في أبسط صورة لها. وبما أنه لا توجد قيود واضحة، فقد نظن أن المجال هو جميع القيم الحقيقية. لكن نظرًا لأن المقام لا يمكن أن يساوي صفرًا، علينا أن نساوي هذا بصفر حتى نتمكن من إيجاد القيم التي لا تنتمي إلى المجال. بإضافة ثلاثة إلى طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺱ يساوي ثلاثة. هذا يعني أنه عند ﺱ يساوي ثلاثة، فإن المقام يساوي صفرًا. وهو ما يعني أن مجال الدالة هو جميع القيم الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على العدد ثلاثة.

سنتناول الآن بعض الأسئلة، حيث علينا تبسيط الدوال الكسرية وإيجاد مجالاتها.

بسط الدالةﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ مقسومًا على ﺱ تربيع ناقص أربعة، وأوجد مجالها.

يطلب منا الجزء الأول من السؤال تبسيط الدالة. سنفعل ذلك بتحليل البسط والمقام أو القسمة على العامل المشترك في كل منهما. العامل المشترك في البسط هو ﺱ، لذا يمكننا إخراجه. بما أن ﺱ تربيع مقسومًا على ﺱ يساوي ﺱ، واثنين ﺱ مقسومًا على ﺱ يساوي اثنين، يصبح البسط ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد اثنين. يمكننا التحقق من ذلك بإعادة توزيع القوس. مقام الكسر مكتوب على الصورة ﺱ تربيع ناقص ﺃ تربيع. هذا هو الفرق بين مربعين، وهو يساوي ﺱ زائد ﺃ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺃ. إذن، ﺱ تربيع ناقص أربعة يساوي ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين.

مرة أخرى، يمكننا التحقق من ذلك بتوزيع القوسين باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني‎. نلاحظ أن لدينا ﺱ زائد اثنين في كل من البسط والمقام. يعني هذا أنه يمكننا حذفهما معًا. وهذا يعطينا الصورة المبسطة:ﺩﺱ يساوي ﺱ مقسومًا على ﺱ ناقص اثنين.

مطلوب منا أيضًا إيجاد مجال الدالةﺩﺱ. المجال هو قيم ﺱ التي يمكننا إدخالها في الدالةﺩﺱ. يبدو أنه لا يوجد هنا أي قيد واضح؛ لكننا نتذكر أن مقام أي كسر لا يمكن أن يساوي صفرًا. لذا، علينا حل المقام ﺱ تربيع ناقص أربعة يساوي صفرًا لنوجد القيم التي لا تنتمي إلى مجال الدالة ﺩﺱ.

كما عرفنا من قبل، يمكننا إعادة كتابة ﺱ تربيع ناقص أربعة على الصورة ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين. إذا كان حاصل ضرب هذين القوسين يساوي صفرًا، فهذا يعني أنه إما ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا وإما ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. هذا يعطينا حلين وهما: ﺱ يساوي سالب اثنين، وﺱ يساوي اثنين. إذن، مجال الدالةﺩﺱ يساوي جميع القيم الحقيقية فيما عدا المجموعة سالب اثنين واثنين.

يتضمن السؤال التالي إيجاد قيمة مجهول في دالة كسرية.

إذا كانت الدالة ﻥﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ زائد ٣٦ على ﺱ تربيع ناقص ﺃ تبسط إلى ﻥﺱ يساوي ﺱ زائد ستة على ﺱ ناقص ستة، فما قيمة ﺃ؟

توجد عدة طرق لحل هذه المسألة. من هذه الطرق مساواة المقدارين أو الدالتين إحداهما بالأخرى. هذا يعطينا ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ زائد ٣٦ على ﺱ تربيع ناقص ﺃ يساوي ﺱ زائد ستة على ﺱ ناقص ستة. البسط في الطرف الأيمن هو مقدار تربيعي يمكن تحليله إلى قوسين. وبما أن معامل الحد الرئيسي هو واحد، فإن الحد الأول في كلا القوسين هو ﺱ. علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما ٣٦ ومجموعهما ١٢.

يوجد خمسة أزواج من العوامل للعدد ٣٦ وهي: واحد و٣٦، واثنان و١٨، وثلاثة و١٢، وأربعة وتسعة، وستة وستة. الزوج الوحيد الذي مجموعه ١٢ هو ستة وستة. وعليه، تكون الصيغة التحليلية لـ ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ زائد ٣٦ هي ﺱ زائد ستة مضروبًا في ﺱ زائد ستة. الخطوة التالية هي قسمة طرفي المعادلة على ﺱ زائد ستة. هذا يعطينا ﺱ زائد ستة على ﺱ تربيع ناقص ﺃ يساوي واحدًا على ﺱ ناقص ستة. يمكننا بعد ذلك استخدام الضرب التبادلي. فنضرب طرفي المعادلة في ﺱ تربيع ناقص ﺃ وﺱ ناقص ستة. هذا يعطينا ﺱ زائد ستة مضروبًا في ﺱ ناقص ستة في الطرف الأيمن وﺱ تربيع ناقص ﺃ في الطرف الأيسر.

يمكننا فك الطرف الأيمن باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، وهي ضرب الحدين الأولين، ثم الحدين الخارجيين، ثم الوسطين، ثم الحدين الأخيرين. هذا يعطينا ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد ستة ﺱ ناقص ٣٦. يحذف سالب ستة ﺱ مع موجب ستة ﺱ هنا. بدلًا من ذلك، قد نلاحظ أن ﺱ زائد ستة مضروبًا في ﺱ ناقص ستة هو الفرق بين مربعين، ومن ثم فهو يساوي ﺱ تربيع ناقص ٣٦. نعرف أن هذا يساوي ﺱ تربيع ناقص ﺃ. وعليه، فإن قيمة ﺃ تساوي ٣٦.

الدالة الكسرية التالية تحتوي على مقام تكعيبي.

بسط الدالةﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع ناقص ٨١ على ﺱ تكعيب زائد ٧٢٩، وأوجد مجالها.

لتبسيط الدالةﺩﺱ، علينا تحليل البسط والمقام. ولكي نفعل هذا، يجب أن ندرك أن البسط هو الفرق بين مربعين. يوضح لنا هذا أن أي مقدار تربيعي على الصورة ﺱ تربيع ناقص ﺃ تربيع يساوي ﺱ زائد ﺃ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺃ. نعلم أن تسعة تربيع يساوي ٨١. هذا يعني أن ﺱ تربيع ناقص ٨١ يساوي ﺱ زائد تسعة مضروبًا في ﺱ ناقص تسعة. المقام ﺱ تكعيب زائد ٧٢٩ مكتوب على الصورة ﺱ تكعيب زائد ﺃ تكعيب.

مرة أخرى، ﺃ يساوي تسعة، لأن تسعة تكعيب يساوي ٧٢٩. ‏ﺱ تكعيب زائد ﺃ تكعيب يساوي ﺱ زائد ﺃ مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص ﺃﺱ زائد ﺃ تربيع. يعني هذا أن ﺱ تكعيب زائد ٧٢٩ يساوي ﺱ زائد تسعة مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد ٨١. يمكننا قسمة البسط والمقام على ﺱ زائد تسعة، وعليه نحذف هذين الحدين. إذن، الصورة المبسطة لـﺩﺱ هي ﺱ ناقص تسعة على ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد ٨١.

يطلب منا الجزء الثاني من السؤال إيجاد المجال. مجال الدالة هو مجموعة قيم ﺱ التي يمكننا التعويض بها أو إدخالها في الدالةﺩﺱ. بما أن مقام الكسر لا يمكن أن يساوي صفرًا، فسيكون المجال هو جميع القيم الحقيقية فيما عدا القيم التي تجعل المقام يساوي صفرًا. لحساب هذه القيم، نساوي ﺱ تكعيب زائد ٧٢٩ بصفر. نعرف بالفعل أن هذا يساوي ﺱ زائد تسعة مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد ٨١. لنتناول أولًا الحد من الدرجة الأولى ﺱ زائد تسعة. عند ﺱ زائد تسعة يساوي صفرًا، فإن ﺱ يساوي سالب تسعة. وعليه، لا يمكن أن يكون سالب تسعة ضمن مجال الدالةﺩﺱ. ولا يمكن تحليل المقدار التربيعي ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد ٨١ أو إخراج عامل مشترك منه.

في الواقع، يمكننا هنا إجراء خطوة إضافية؛ لأن هذا المقدار ليس له حلول حقيقية. نحن نعلم أن أي مقدار تربيعي على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ ليس له حلول حقيقية عندما يكون المميز، أي ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ، أقل من صفر. لدينا هنا ﺃ يساوي واحدًا، وهو معامل ﺱ تربيع، وﺏ يساوي سالب تسعة، وهو معامل ﺱ، وﺟ يساوي ٨١. علينا حساب سالب تسعة تربيع ناقص أربعة مضروبًا في واحد مضروبًا في ٨١. هذا يساوي سالب ٢٤٣. وبما أن هذه القيمة أقل من صفر، فإن المقدار التربيعي ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد ٨١ يساوي صفرًا ليس له حلول حقيقية.

هذا يعني أن القيمة الوحيدة التي تجعل ﺱ تكعيب زائد ٧٢٩ يساوي صفرًا هي ﺱ يساوي سالب تسعة. وعليه، فإن مجال الدالةﺩﺱ يساوي جميع القيم الحقيقية فيما عدا سالب تسعة. يمكننا كتابة ذلك باستخدام ترميز المجموعة، كما هو موضح.

يتضمن السؤال الأخير تبسيط دالة كسرية أكثر تعقيدًا.

بسط الدالة ﻥﺱ يساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص ١٥ﺱ على ﺱ أس أربعة زائد اثنين ﺱ تكعيب ناقص ١٥ﺱ تربيع ناقص ٣٦ ناقص ﺱ تربيع على ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ٣٠، ثم أوجد مجموعة حل المعادلة ﻥﺱ يساوي صفرًا.

يمكننا تبسيط الدالة ﻥﺱ بتحليل كل جزء منها. هيا نبدأ بالتفكير في خمسة ﺱ تربيع ناقص ١٥ﺱ. العامل المشترك الأكبر هنا هو خمسة ﺱ. وبإخراج هذا كعامل مشترك، نحصل على خمسة ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة. يبدو مقام الحد الأول أكثر تعقيدًا لأنه دالة من الدرجة الرابعة. وهي من الدرجة الرابعة لأن أكبر أس هو أربعة. لكن، يوجد هنا عامل مشترك، وهو ﺱ تربيع. ومن ثم، ﺱ أس أربعة زائد اثنين ﺱ تكعيب ناقص ١٥ﺱ تربيع يساوي ﺱ تربيع مضروبًا في ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ١٥.

يمكن أيضًا تحليل المقدار التربيعي هنا. ‏ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ١٥ يساوي ﺱ زائد خمسة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة. هذا يعني أن بسط الحد الأول هو خمسة ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة، ومقامه هو ﺱ تربيع مضروبًا في ﺱ زائد خمسة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة. فلنفكر الآن في بسط الحد الثاني. لدينا ٣٦ ناقص ﺱ تربيع مكتوب على صورة الفرق بين مربعين، أي ﺃ تربيع ناقص ﺱ تربيع. هذا يعني أنه يمكن تحليله على الصورة ﺃ ناقص ﺱ مضروبًا في ﺃ زائد ﺱ‏ ‏٣٦ ناقص ﺱ تربيع يساوي ستة ناقص ﺱ مضروبًا في ستة زائد ﺱ. وأخيرًا، يمكن تبسيط مقام الحد الثاني إلى ﺱ ناقص ستة مضروبًا في ﺱ زائد خمسة.

يمكننا الآن إعادة كتابة الدالة ﻥﺱ في صورتها المبسطة. الدالة ﻥﺱ تساوي خمسة ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة على ﺱ تربيع مضروبًا في ﺱ زائد خمسة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة ناقص ستة ناقص ﺱ مضروبًا في ستة زائد ﺱ على ﺱ ناقص ستة مضروبًا في ﺱ زائد خمسة. في الحد الأول، يمكننا حذف ﺱ وﺱ ناقص ثلاثة من البسط والمقام. هذا يعطينا خمسة على ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد خمسة. سالب ستة ناقص ﺱ هو نفسه سالب ستة زائد ﺱ. ويمكن كتابة ذلك على الصورة ﺱ ناقص ستة. يمكننا إذن حذف ﺱ ناقص ستة من بسط الحد الثاني ومقامه. وبذلك، يتبقى لدينا ستة زائد ﺱ أو ﺱ زائد ستة على ﺱ زائد خمسة.

يمكننا الآن جمع حدي الدالة من خلال إيجاد مقام مشترك. نفعل ذلك بضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في ﺱ. هذا يعطينا ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد ستة على ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد خمسة. بجمع البسطين، نحصل على خمسة زائد ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد ستة على ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد خمسة. خطوتنا التالية هي توزيع القوس في البسط. وبإعادة كتابة هذا، نحصل على ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد خمسة. يمكن تحليل هذا إلى ﺱ زائد خمسة مضروبًا في ﺱ زائد واحد. بحذف ﺱ زائد خمسة من بسط الكسر ومقامه، نحصل على الصورة المبسطة لـ ﻥﺱ، وهي ﺱ زائد واحد على ﺱ.

نريد أيضًا إيجاد مجموعة الحل حيث ﻥﺱ يساوي صفرًا. وهو ما يعني أن ﺱ زائد واحد على ﺱ يساوي صفرًا. بضرب الطرفين في ﺱ، فإن ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن ﺱ يساوي سالب واحد. وعليه، فإن مجموعة حل المعادلة ﻥﺱ يساوي صفرًا هي القيمة سالب واحد.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. من الممكن تبسيط أي دالة على صورة كسر جبري عن طريق تحليل البسط والمقام ثم حذف الحدود المتشابهة. تكون الدالة غير معرفة عندما يكون المقام مساويًا لصفر. والقيم التي يكون المقام عندها مساويًا لصفر لا تنتمي إلى المجال. عرفنا في هذا الفيديو أيضًا أنه يمكننا كتابة المجال باستخدام ترميز المجموعة، كما هو موضح.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.