نسخة الفيديو النصية
يوضح الجدول الآتي العلاقة بين الأعمار الافتراضية لسيارات بالسنوات وأسعار بيعها بآلاف الجنيهات. أوجد معادلة خط الانحدار على الصورة ﺹ هات يساوي ﺃ زائد ﺏﺱ، مع تقريب ﺃ وﺏ لأقرب ثلاث منازل عشرية.
في هذا السؤال، بعض المعلومات معطاة على صورة جدول. فلدينا في هذا الجدول العمر الافتراضي لعدد من السيارات مقيسًا بالسنوات، ولدينا أيضًا أسعار بيع هذه السيارات بآلاف الجنيهات. يطلب منا السؤال أن نستخدم هذا الجدول لإيجاد معادلة خط الانحدار، وهو خط أفضل مطابقة لهذه البيانات. وعلينا كتابة الإجابة على الصورة ﺹ هات يساوي ﺃﺱ زائد ﺏ، مع تقريب قيمتي ﺃ وﺏ لأقرب ثلاث منازل عشرية. لحل هذا السؤال، سنستخدم طريقة الانحدار باستخدام المربعات الصغرى لإيجاد معادلة خط أفضل مطابقة. لذلك، أول ما علينا فعله هو أن نتذكر كيفية فعل ذلك.
لإيجاد معادلة خط الانحدار وذلك من خلال طريقة الانحدار باستخدام المربعات الصغرى، يمكننا إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ باستخدام الصيغ الآتية. أولًا، قيمة ﺏ تساوي ﻍﺱﺹ على ﻍﺱﺱ، حيث تجدر الإشارة هنا إلى أن ﻍﺱﺹ هو مقياس للتغاير بين ﺱ وﺹ، وﻍﺱﺱ هو مقياس لتباين ﺱ. يمكننا إيجاد هاتين القيمتين باستخدام الصيغتين الآتيين: ﻍﺱﺹ يساوي المجموع لـ ﺱ في ﺹ ناقص المجموع لـ ﺱ في المجموع لـ ﺹ على ﻥ. وﻍﺱﺱ يساوي المجموع لـ ﺱ تربيع ناقص المجموع لـ ﺱ الكل تربيع على ﻥ، حيث ﻥ هو عدد نقاط البيانات المعطاة. بالمثل، فإن قيمة ﺃ تساوي الوسط الحسابي لقيم ﺹ ناقص ﺏ في الوسط الحسابي لقيم ﺱ.
لعلنا نتذكر أنه يمكننا إيجاد الوسط الحسابي لعدة قيم عن طريق جمع هذه القيم والقسمة على عددها. إذن، الوسط الحسابي لقيم ﺹ هو مجموع قيم ﺹ على ﻥ، والوسط الحسابي لقيم ﺱ هو مجموع قيم ﺱ على ﻥ. تبدو هذه الصيغ مربكة للغاية. ولكن، نلاحظ أننا نحتاج فقط إلى حساب أربعة قيم لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ كليًّا. علينا إيجاد المجموع لـ ﺱ. وعلينا إيجاد المجموع لـ ﺹ. وعلينا إيجاد المجموع لـ ﺱ في ﺹ. وعلينا إيجاد المجموع لـ ﺱ تربيع. بعد ذلك، كل ما علينا فعله هو التعويض بهذه القيم في الصيغ التي لدينا لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ.
قبل أن نوجد هذه القيم الأربع، ثمة أمر تجدر الإشارة إليه. في هذا السؤال، نعلم من المعطيات أن العمر الافتراضي للسيارة يمثله المتغير ﺱ، وأن سعر بيع السيارة يمثله المتغير ﺹ، ولكن لا تعطى لنا المتغيرات التي تمثل البيانات دائمًا. عندما لا تعطى لنا هذه المتغيرات التي تمثل البيانات، سيكون علينا أن نتذكر أن ﺱ هو المتغير المستقل وﺹ هو المتغير التابع، وحينئذ سيكون علينا النظر إلى المعطيات لتحديد المتغير المستقل والمتغير التابع. في هذه الحالة، من المنطقي أن يكون العمر الافتراضي للسيارة هو المتغير المستقل لأنه هو الذي يؤثر على سعر بيع السيارة. دعونا نبدأ بإيجاد مجموع قيم ﺱ ومجموع قيم ﺹ.
لإيجاد مجموع قيم ﺱ، كل ما علينا فعله هو جمع كل قيم ﺱ المعطاة في الجدول. وبجمع كل قيم ﺱ معًا، نحصل على ٢٥. إذن، المجموع لـ ﺱ يساوي ٢٥. يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه لحساب المجموع لـ ﺹ. علينا فقط جمع كل قيم ﺹ معًا. سنجمع كل هذه القيم معًا على الآلة الحاسبة، فنحصل على ٥٥٣. إذن، المجموع لـ ﺹ يساوي ٥٥٣. لكن هناك مقدارين آخرين علينا إيجاد قيمتيهما. علينا إيجاد المجموع لـ ﺱﺹ، وعلينا إيجاد المجموع لـ ﺱ تربيع. دعونا نبدأ بإيجاد المجموع لـ ﺱ تربيع. وهو ما يعني أن علينا تربيع جميع قيم ﺱ قبل جمعها معًا.
أول قيمة لـ ﺱ هي خمسة، إذن نكتب خمسة تربيع. القيمة الثانية لـ ﺱ هي اثنان، لذا علينا أن نضيف اثنين تربيع. القيمة الثالثة لـ ﺱ هي اثنان، لذا علينا إضافة اثنين تربيع مرة أخرى. وسيكون علينا مواصلة فعل ذلك حتى نضيف مربعات جميع قيم ﺱ. وهذا يعطينا المقدار الموضح لمجموع قيم ﺱ تربيع. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنجد أنها تساوي ٩٧. والآن، أصبح كل ما علينا فعله هو إيجاد المجموع لـ ﺱ في ﺹ. ولفعل ذلك، علينا النظر إلى أعمدة الجدول. في العمود الأول من الجدول، عند ﺱ يساوي خمسة، فإن ﺹ يساوي ٧١. إذن، لجمع كل القيم الناتجة عن ضرب ﺱ في ﺹ معًا، سيكون علينا ضرب هاتين القيمتين معًا أولًا. لدينا هنا خمسة في ٧١.
بعد ذلك، سنكرر الأمر نفسه مع العمود الثاني. في هذا العمود، نلاحظ أنه عند ﺱ يساوي اثنين، فإن ﺹ يساوي ٨٣. إذن، علينا ضربهما معًا وإضافة الناتج. وعلينا تكرار الأمر نفسه مع كل عمود في الجدول. وهذا يعطينا المقدار التالي الذي يساوي المجموع لـ ﺱﺹ. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنجد أن المجموع لـ ﺱﺹ يساوي ١٨٥٧. أصبحنا جاهزين تقريبًا لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. ولكن، ثمة أمر آخر علينا ملاحظته. علينا إيجاد قيمة ﻥ، أي عدد نقاط البيانات. يمكننا أن نلاحظ من الجدول أن لدينا ثماني نقاط بيانات، ومن ثم فإن قيمة ﻥ تساوي ثمانية.
والآن بعد أن أوجدنا المجموع لـ ﺱ، والمجموع لـ ﺹ، والمجموع لـ ﺱ تربيع، والمجموع لـ ﺱﺹ، وﻥ، أصبحنا جاهزين للبدء بإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. لنبدأ بإيجاد قيمة ﻍﺱﺹ. كل ما علينا فعله هو التعويض بقيمة كل من المجموع لـ ﺱﺹ، والمجموع لـ ﺱ، والمجموع لـ ﺹ، وﻥ في الصيغة. بالتعويض بهذه القيم، نحصل على ١٨٥٧ ناقص ٢٥ في ٥٥٣ على ثمانية. وإذا حسبنا قيمة ذلك، فسنحصل على ١٠٣١ على ثمانية. بعد ذلك، سنكرر الأمر نفسه لإيجاد قيمة ﻍﺱﺱ. نتذكر أن المجموع لـ ﺱ تربيع يساوي ٩٧، والمجموع لـ ﺱ يساوي ٢٥، وقيمة ﻥ تساوي ثمانية، إذن نحصل على ٩٧ ناقص ٢٥ تربيع على ثمانية. وإذا حسبنا ذلك، فسنحصل على ١٥١ على ثمانية.
أصبحنا جاهزين الآن لإيجاد قيمة ﺏ. سيكون ﺏ هو خارج قسمة هاتين القيمتين. إذن، القيمة الدقيقة لـ ﺏ هي ١٠٣١ على ثمانية مقسومًا على ١٥١ على ثمانية. وبالطبع نتذكر أنه عند قسمة كسرين، يمكننا قلب الكسر الثاني، وضرب الكسرين. هذا يعطينا ١٠٣١ على ثمانية في ثمانية على ١٥١. يمكننا حذف العامل المشترك ثمانية من البسط والمقام، وهو ما يعطينا ١٠٣١ على ١٥١. يطلب منا السؤال أن نقرب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية. لكننا سنفعل ذلك في النهاية. ولكن، دعونا الآن نوجد مقدارًا لقيمة ﺃ.
مرة أخرى، لإيجاد قيمة ﺃ، علينا التعويض بقيمة كل من المجموع لـ ﺹ، والمجموع لـ ﺱ، وﻥ، وﺏ. ومن ثم، نحصل على أن ﺃ يساوي ٥٥٣ على ثمانية ناقص ١٠٣١ على ١٥١ في ٢٥ على ثمانية. ومن المهم جدًّا أن نستخدم القيمة الدقيقة لـ ﺏ عندما نحسب قيمة هذا المقدار. لأننا إن لم نفعل ذلك، فعندما نقرب قيمة ﺃ، قد نحصل على إجابة خطأ. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنجد أن ﺃ يساوي ٧٢١٦ على ١٥١.
ولكن، تذكر أن السؤال يطلب منا تقريب قيمتي ﺃ وﺏ لأقرب ثلاث منازل عشرية. لنبدأ بقيمة ﺃ. بكتابة هذه القيمة في صورة عدد عشري، نحصل على ٤٧٫٧٨٨٠، وهكذا حتى آخر العدد. لتقريب هذه القيمة لأقرب ثلاث منازل عشرية، علينا النظر إلى المنزلة العشرية الرابعة لتحديد إذا ما كان علينا التقريب لأعلى أم لأسفل. المنزلة العشرية الرابعة بها صفر. وهو رقم أقل من خمسة، لذا علينا التقريب لأسفل. إذن، قيمة ﺃ هي ٤٧٫٧٨٨ لأقرب ثلاث منازل عشرية.
دعونا الآن نكرر الأمر نفسه مع قيمة ﺏ. بكتابة الكسر في صورة عدد عشري، نحصل على ٦٫٨٢٧، وهكذا حتى آخر العدد. سننظر إلى المنزلة العشرية الرابعة لتحديد إذا ما كان علينا التقريب لأعلى أم لأسفل. نجد أن المنزلة العشرية الرابعة بها ثمانية، وهو رقم أكبر من أو يساوي خمسة. إذن، علينا التقريب لأعلى، وهذا يعطينا أن قيمة ﺏ لأقرب ثلاث منازل عشرية هي ٦٫٨٢٨. وتذكر أن السؤال يطلب منا كتابة ذلك في صورة الميل والمقطع لمعادلة الخط المستقيم. نجد أن ﺹ هات يساوي ٦٫٨٢٨ﺱ زائد ٤٧٫٧٨٨، وهي الإجابة النهائية.
إذن، بمعلومية جدول يتضمن الأعمار الافتراضية لسيارات مختلفة وأسعار بيعها، تمكنا من إيجاد معادلة خط الانحدار، وحسبنا المعاملين لأقرب ثلاث منازل عشرية. فقد أوجدنا أن ﺹ هات يساوي ٦٫٨٢٨ﺱ زائد ٤٧٫٧٨٨.
