فيديو السؤال: إيجاد القيم المجهولة في دالة كثيرة الحدود بمعلومية معدل تغيرها عند نقطة ما، ومتوسط معدل تغيرها عند نقطتين الرياضيات

افترض أن الدالة ﺩ(ﺱ) = ٥ + ﺃﺱ + ﺏﺱ^٢. وافترض أن تغير الدالة ﺩ(ﺱ) عند تغير ﺱ من −١ إلى ٢ يساوي ٦، ومعدل تغير ﺩ(ﺱ) عند ﺱ = ٢ هو ١٧. أوجد قيمتي ﺃ، ‏ﺏ.

٠٧:٢٩

‏نسخة الفيديو النصية

افترض أن الدالة ﺩﺱ تساوي خمسة زائد ﺃ في ﺱ زائد ﺏ في ﺱ تربيع. وافترض أن تغير الدالة ﺩﺱ عند تغير ﺱ من سالب واحد إلى اثنين يساوي ستة، ومعدل تغير ﺩﺱ عند ﺱ يساوي اثنين هو ١٧. أوجد قيمتي ﺃ وﺏ.

لدينا في معطيات السؤال دالة كثيرة الحدود ﺩﺱ ذات متغيرين لثابتين مجهولين، وهما ﺃ وﺏ. ومطلوب منا في السؤال إيجاد قيمة كل من ﺃ وﺏ باستخدام المعطيات التالية. تغير الدالة ﺩﺱ عند تغير ﺱ من سالب واحد إلى اثنين هو ستة. ومعدل تغير ﺩﺱ عند ﺱ يساوي اثنين هو ١٧.

نتذكر أن تغير الدالة ﺭﺱ من ﺱ يساوي ﺟ إلى ﺱ يساوي ﺩ هو قيمة ﺭ عند ﺩ ناقص قيمة ﺭ عند ﺟ. وهذا يمثل تغير الدالة ﺭ عند تغير ﺱ من ﺟ إلى ﺩ.

يخبرنا السؤال بأن تغير ﺩﺱ عند تغير ﺱ من سالب واحد إلى اثنين يساوي ستة. بعبارة أخرى، قيمة ﺩ عند اثنين ناقص قيمة ﺩ عند سالب واحد تساوي ستة. بالتعويض بـ ﺱ يساوي اثنين وﺱ يساوي سالب واحد في الدالة ﺩﺱ، نجد أن تغير ﺩﺱ عند تغير ﺱ من سالب واحد إلى اثنين يساوي خمسة زائد ﺃ في اثنين زائد ﺏ في اثنين تربيع ناقص خمسة زائد ﺃ في سالب واحد زائد ﺏ في سالب واحد تربيع. يمكننا إيجاد قيمة ذلك لنحصل على خمسة زائد اثنين ﺃ زائد أربعة ﺏ ناقص خمسة زائد ﺃ ناقص ﺏ.

وأخيرًا، لدينا خمسة ناقص خمسة يساوي صفرًا. واثنان ﺃ زائد ﺃ يساوي ثلاثة ﺃ. وأربعة ﺏ ناقص ﺏ يساوي ثلاثة ﺏ. إذن، باستخدام حقيقة أن تغير ﺩﺱ عند تغير ﺱ من سالب واحد إلى اثنين يساوي ستة، نكون قد أوضحنا أن ستة يساوي ثلاثة ﺃ زائد ثلاثة ﺏ.

وفي الواقع، يمكننا قسمة كلا طرفي هذه المعادلة على ثلاثة لنحصل على اثنين يساوي ﺃ زائد ﺏ. وبما أن قيمة كل من ﺃ وﺏ يمكن أن تساوي أي عدد ثابت، فإن المعادلة اثنين يساوي ﺃ زائد ﺏ لها عدة حلول. لذا، علينا الحصول على مزيد من المعطيات لإيجاد قيمة كل من ﺃ وﺏ.

لكي نفعل ذلك، سنستخدم الجزء الثاني من المعطيات. نحن نعلم أن معدل تغير ﺩﺱ عند ﺱ يساوي اثنين هو ١٧. ونتذكر أن معدل تغير ﺩﺱ عند ﺱ يساوي ﺃ يعطى بالعلاقة ﺩ شرطة ﺃ تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لقيمة ﺩ عند ﺃ زائد ﻫ ناقص قيمة ﺩ عند ﺃ الكل مقسوم على ﻫ، بافتراض وجود هذه النهاية.

بما أننا نعلم أن معدل تغير ﺩﺱ عند ﺱ يساوي اثنين هو ١٧، فسنفترض أن ﺃ يساوي اثنين. وهذا يعطينا ١٧ يساوي قيمة ﺩ شرطة عند اثنين. وباستخدام تعريف معدل التغير، نجد أن هذا يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لقيمة ﺩ عند اثنين زائد ﻫ ناقص قيمة ﺩ عند اثنين الكل مقسوم على ﻫ.

بإيجاد قيمة ﺩ عند اثنين زائد ﻫ واثنين داخل النهاية، نحصل على النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لخمسة زائد ﺃ في اثنين زائد ﻫ زائد ﺏ في اثنين زائد ﻫ تربيع ناقص خمسة زائد ﺃ في اثنين زائد ﺏ في اثنين تربيع، الكل مقسوم على ﻫ. ونلاحظ أننا نجمع خمسة هنا، ثم نطرح خمسة هنا. لذا، يمكننا حذفهما معًا.

والآن، أصبحنا مستعدين لتبسيط هذه النهاية. سنفك المجموعة الأولى من الأقواس؛ لنحصل على اثنين ﺃ زائد ﻫﺃ. بعد ذلك، لدينا اثنان زائد ﻫ الكل تربيع يساوي أربعة زائد أربعة ﻫ زائد ﻫ تربيع. ثم نطرح اثنين ﺃ ونطرح ﺏ في اثنين تربيع، وهو ما يساوي أربعة ﺏ. وأخيرًا، نقسم كل ذلك على ﻫ.

يمكننا التبسيط أكثر من ذلك. فنحن نلاحظ هنا أننا نجمع اثنين ﺃ، ثم نطرح اثنين ﺃ. ويمكننا أيضًا ملاحظة أن أربعة في ﺏ يساوي أربعة ﺏ. ثم نطرح أربعة ﺏ. لذا، يمكننا حذفهما معًا. وبتوزيع ﺏ على القوسين، نحصل على النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﻫ في ﺃ زائد أربعة ﻫﺏ زائد ﻫ تربيع ﺏ الكل مقسوم على ﻫ.

لا يمكننا إيجاد هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر حتى الآن. ولكن، إذا حذفنا العامل المشترك ﻫ من البسط والمقام، فسنحصل على النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺃ زائد أربعة ﺏ زائد ﻫﺏ. وإحدى طرق إيجاد ذلك هي ملاحظة أن هذه دالة خطية بدلالة ﻫ. لذا، يمكننا إجراء التعويض المباشر.

سنعوض بـ ﻫ يساوي صفرًا لنحصل على ﺃ زائد أربعة ﺏ زائد صفر في ﺏ. وصفر في ﺏ يساوي صفرًا. إذن، معدل تغير الدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي اثنين هو ﺃ زائد أربعة ﺏ. ونحن نعلم أيضًا من السؤال أن هذا يساوي ١٧. ومن ثم، أصبح لدينا الآن معادلتان لكل من ﺃ وﺏ. لدينا اثنان يساوي ﺃ زائد ﺏ، و١٧ يساوي ﺃ زائد أربعة ﺏ.

هناك العديد من الطرق المختلفة لحل هاتين المعادلتين الآنيتين. سنطرح المعادلة الموجودة بالأسفل من المعادلة الموجودة بالأعلى. بطرح ١٧ من اثنين، نحصل على سالب ١٥. وبطرح ﺃ من ﺃ، نحصل على صفر. ثم بطرح أربعة ﺏ من ﺏ، نحصل على سالب ثلاثة ﺏ. إذن، لدينا سالب ١٥ يساوي سالب ثلاثة ﺏ. وبقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على سالب ثلاثة، نحصل على ﺏ يساوي خمسة.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد قيمة ﺃ بالتعويض بـ ﺏ يساوي خمسة في أي من هاتين المعادلتين الآنيتين. بالتعويض بـ ﺏ يساوي خمسة في المعادلة اثنين يساوي ﺃ زائد ﺏ، نحصل على اثنين يساوي ﺃ زائد خمسة. وبطرح خمسة من كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺃ يساوي سالب ثلاثة.

وبهذا، نكون قد أوضحنا أن ﺩﺱ يساوي خمسة زائد ﺃﺱ زائد ﺏﺱ تربيع. وتغير الدالة ﺩﺱ عند تغير ﺱ من سالب واحد إلى اثنين يساوي ستة. ومعدل تغير ﺩﺱ عند ﺱ يساوي اثنين هو ١٧. وبناء على ذلك، فإن ﺃ يساوي سالب ثلاثة وﺏ يساوي خمسة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.