فيديو السؤال: اشتقاق الدوال التي تتضمن نسبًا مثلثية باستخدام قاعدة الضرب الرياضيات

إذا كان ﺹ = ٥ﺱ^٢ ظتا ٤ﺱ، فأوجد ﺩﺹ‏/‏ﺩﺱ.

٠٣:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺹ يساوي خمسة ﺱ تربيع ظتا أربعة ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

بالنظر إلى الدالة ﺹ، يمكننا أن نرى أنها حاصل ضرب. وهي تساوي خمسة ﺱ تربيع مضروبًا في ظتا أربعة ﺱ. ومن ثم، لإيجاد مشتقتها الأولى ﺩﺹ على ﺩﺱ، علينا استخدام قاعدة الضرب للاشتقاق. هذا يخبرنا أنه لأي دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ، فإن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لحاصل ضربهما ﻉﻕ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ.

إذن يمكننا المتابعة لإيجاد ﻉ باعتباره أحد العاملين، وﻕ هو العامل الآخر. علينا بعد ذلك إيجاد كل مشتقة على حدة. فيما يتعلق بمشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ، يمكن إيجاد ذلك مباشرة. يمكننا تطبيق قاعدة القوة للاشتقاق لنحصل على خمسة مضروبًا في اثنين ﺱ، ما يساوي ١٠ﺱ. لكن ﺩﻕ على ﺩﺱ أكثر تعقيدًا لأن الدالة ﻕ هي مقلوب دالة مثلثية. تذكر أن دالة ظل تمام الزاوية هي مقلوب دالة ظل الزاوية. إذن ﻕ يساوي واحدًا على ظا أربعة ﺱ. علينا بعد ذلك التفكير في كيفية إيجاد هذه المشتقة.

حسنًا، الخيار الأول سيكون تذكر المتطابقة التي توضح أن ظا أربعة ﺱ يساوي جا أربعة ﺱ على جتا أربعة ﺱ. إذن مقلوب ظا أربعة ﺱ هو جتا أربعة ﺱ على جا أربعة ﺱ. ثم يمكننا إيجاد هذه المشتقة باستخدام قاعدة القسمة والنتائج القياسية لاشتقاق دالتي الجيب وجيب التمام. لكننا في الواقع لا نحتاج إلى المرور بهذه العملية في كل مرة؛ لأننا نقتبس نتيجة قياسية؛ وهي أن المشتقة بالنسبة لـ ﺱ لظل تمام ﺃﺱ حيث ﺃ ثابت تساوي سالب ﺃ مضروبًا في قتا تربيع ﺃﺱ. إذن يمكننا القول إن مشتقة ظتا أربعة ﺱ تساوي سالب أربعة مضروبًا في قتا تربيع أربعة ﺱ.

وهذه النتيجة القياسية لاشتقاق مقلوب أحد الدوال المثلثية ظتا ﺃﺱ هي إحدى النتائج التي يجب علينا أن نتذكرها. وإن كان لا يمكننا تذكرها، فبإمكاننا إعادة كتابة ظتا ﺃﺱ على الصورة جتا ﺃﺱ على جا ﺃﺱ، ويمكننا اشتقاق الناتج باستخدام قاعدة القسمة كما ذكرنا سابقًا. لكننا الآن على استعداد للتعويض في قاعدة الضرب، إذ لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ. هذا يساوي خمسة ﺱ تربيع مضروبًا في سالب أربعة قتا تربيع أربعة ﺱ. ثم نضيف إلى الناتج ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. هذا يساوي ظتا أربعة ﺱ مضروبًا في ١٠ﺱ. يمكننا بعد ذلك تبسيط المعامل في الحد الأول وإعادة ترتيب العوامل في الحد الثاني قليلًا حتى لا يزعجنا التفكير في أن هذا هو ظتا أربعة ﺱ ١٠ﺱ.

وباستخدام قاعدة الضرب ثم النتائج القياسية لاشتقاق حدود القوى ومقلوب الدوال المثلثية، توصلنا إلى أنه بالنسبة لهذه الدالة ﺹ، فإن مشتقتها الأولى ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي سالب ٢٠ﺱ تربيع قتا تربيع أربعة ﺱ زائد ١٠ﺱ ظتا أربعة ﺱ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.