فيديو الدرس: معكوس مصفوفة من الرتبة ٢ × ٢ الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتحقق مما إذا كانت مصفوفة من الرتبة ٢ × ٢ لها معكوس ضربي، ثم نوجد معكوسها، إن أمكن.

١٩:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتحقق مما إذا كانت مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين لها معكوس ضربي، ثم نوجد معكوسها، إن أمكن. عند التعامل مع المصفوفات، لا يوجد ما يسمى بالقسمة. ويمكننا جمع المصفوفات وطرحها وضربها، ولكن لا يمكننا قسمتها. ولكن هناك مفهومًا ذا صلة يسمى «التعاكس». وهذا مفيد جدًا لمساعدتنا في إيجاد معكوس المصفوفة، وحل معادلات المصفوفات. يمكننا القول إن أي مصفوفة من الرتبة ﻥ في ﻥ، أي المصفوفة المربعة، يمكن إيجاد معكوس لها إذا كانت هناك مصفوفة مربعة ثانية من الرتبة ﻥ في ﻥ؛ بحيث يكون حاصل ضرب المصفوفة ومعكوسها يساوي 𝐼، وهي مصفوفة الوحدة. في حالة المصفوفات من الرتبة اثنين في اثنين، تكون هذه المصفوفة: واحدًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا.

والآن، تذكر أن ضرب المصفوفات ليس إبداليًا. ولا يمكن إجراؤه بأي ترتيب. ومع ذلك، عند ضرب أي مصفوفة في معكوسها بأي ترتيب، سنحصل دائمًا على مصفوفة الوحدة. لكن لاحظ أنه ليس لكل المصفوفات معكوس. سنلقي نظرة على عملية إيجاد المعكوس الضربي لمصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وسنرى المعايير التي يجب توفرها في المصفوفات للتأكد من أن لها معكوسًا. بالنسبة إلى مصفوفة: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ من الرتبة اثنين في اثنين، يمكن إيجاد معكوسها عن طريق ضرب واحد على قيمة محدد ﺃ في المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين، والتي هي ﺩ سالب ﺏ، سالب ﺟ، ﺃ. حيث يمثل محدد ﺃ حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر ناقص حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن.

لاحظ أيضًا أنه للحصول من المصفوفة ﺃ ذات الرتبة اثنين في اثنين على معكوس المصفوفة ﺃ ذات الرتبة اثنين في اثنين، فإننا نبدل ترتيب هذين العنصرين ونغير إشارة العنصرين الآخرين. إذن، ماذا يعني هذا الجزء الأخير من الصيغة لإيجاد معكوس المصفوفة ﺃ؟ حسنًا، نعلم أن واحدًا مقسومًا على صفر يساوي قيمة غير معرفة. ومن ثم، نقول إنه إذا كانت قيمة محدد المصفوفة صفرًا، فلن تكون المصفوفة قابلة للعكس، أي إنها ليس لها معكوس. وجدير بالذكر أيضًا أن المصفوفات المربعة فقط هي التي يمكن إيجاد معكوس لها. ولذا، دعونا نلق نظرة على بعض الأمثلة.

هل المصفوفة ثلاثة، واحد، سالب ثلاثة، سالب واحد قابلة للعكس؟

تذكر أنه في المصفوفة ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين، وتعطى بالعلاقة: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، معكوس ﺃ يساوي واحدًا على قيمة محدد ﺃ في ﺩ، سالب ﺏ، سالب ﺟ، ﺃ؛ حيث إن قيمة محدد ﺃ تساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. يمكننا القول إن محدد المصفوفة يكون غير موجود. أو بعبارة أخرى، لا يمكن إيجاد معكوس ﺃ إذا كان محددها يساوي صفرًا. إذن، كل ما علينا فعله لتحديد إذا ما كانت المصفوفة لها معكوس أم لا هو إيجاد قيمة محددها، ومعرفة إذا ما كان يساوي صفرًا أم لا. إذن، دعونا نوجد قيمة محدد المصفوفة: ثلاثة، واحد، سالب ثلاثة، سالب واحد. وسنستخدم هذين الخطين الرأسيين على جانبي المصفوفة لتمثيل المحدد.

نوجد قيمة المحدد عن طريق طرح حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن من حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر. إذن، لدينا هنا ﺃ في ﺩ يساوي ثلاثة مضروبًا في سالب واحد. ثم نطرح ﺏ مضروبًا في ﺟ. هذا يساوي واحدًا مضروبًا في سالب ثلاثة. إذن، المحدد هو ثلاثة مضروبًا في سالب واحد ناقص واحد مضروبًا في سالب ثلاثة. هذا يعطينا سالب ثلاثة ناقص سالب ثلاثة، وهو ما يساوي سالب ثلاثة زائد ثلاثة، أي ما يساوي صفرًا. إذن، قيمة محدد المصفوفة: ثلاثة، واحد، سالب ثلاثة، سالب واحد؛ هي: صفر. يمكننا القول إذن إن المصفوفة ليس لها معكوس. وعليه، فإن إجابة هذا السؤال هي: «لا»؛ فهي ليست قابلة للعكس.

في المثال التالي، سنعرض بصورة أكبر هذه الفكرة عن معايير قابلية المصفوفة للعكس.

إذا كانت المصفوفة: سبعة، واحد، سالب سبعة، ﺃ؛ قابلة للعكس، فما قيمة ﺃ الصحيحة؟

تذكر أنه لكي تكون المصفوفة المربعة ﺃ التي تساوي ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ قابلة للعكس، فإن محددها يجب ألا يساوي صفرًا. والآن بالنسبة إلى هذه المصفوفة، قيمة محددها هي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. إذن دعونا نوجد التعبير الذي يعبر عن محدد المصفوفة. إنه حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر، أي سبعة في ﺃ أو سبعة ﺃ، ناقص حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن. وهذا يساوي واحدًا مضروبًا في سالب سبعة. إذن، محدد المصفوفة يساوي سبعة ﺃ ناقص سالب سبعة، وهو ما يمكننا كتابته على صورة: سبعة ﺃ زائد سبعة.

نعلم أن هذه المصفوفة قابلة للعكس، ومن ثم فإن محددها لا يمكن أن يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، سبعة ﺃ زائد سبعة لا يمكن أن يساوي صفرًا. علينا إيجاد قيم ﺃ بحيث لا يساوي هذا التعبير صفرًا. ولذا، سنحل هذه اللامتساوية. وسوف نحلها مثلما نحل أي معادلة عادية. لكن بدلًا من أن تكون الإجابة ﺃ يساوي عددًا ثابتًا ما، نعلم أن ﺃ لن يساوي الناتج.

فلنبدأ بطرح سبعة من كلا الطرفين. عند إجراء ذلك، نجد أن سبعة ﺃ لن يساوي سالب سبعة. بعد ذلك، نقسم الطرفين على سبعة، ونجد أن ﺃ لا يمكن أن يساوي سالب واحد. فإذا كان ﺃ يساوي سالب واحد، فلن يكون للمصفوفة معكوس. إذن، لكي تكون هذه المصفوفة قابلة للعكس، فإن ﺃ لا يمكن أن يساوي سالب واحد.

في المثال التالي، سنتعرف على كيفية إثبات إذا ما كانت هناك مصفوفتان تمثل كل منهما معكوسًا ضربيًا للأخرى أم لا.

هل المصفوفتان التاليتان: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة؛ وواحد، نصف، ثلث، ربع؛ كل منهما معكوس ضربي للأخرى؟

لنذكر أنفسنا بما نعنيه بعبارة «المعكوسات الضربية». نقول إن أي مصفوفة من الرتبة ﻥ في ﻥ، أي مصفوفة مربعة، يمكن إيجاد معكوس لها إذا كانت هناك مصفوفة ثانية من الرتبة ﻥ في ﻥ، بحيث يكون حاصل ضرب المصفوفة ومعكوسها بأي ترتيب يساوي 𝐼؛ حيث 𝐼 هي مصفوفة الوحدة. في حالة مصفوفات الوحدة من الرتبة اثنين في اثنين، فهي تساوي: واحدًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا. لذلك، يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بإحدى طريقتين. يمكننا إيجاد معكوس كل مصفوفة والتحقق مما إذا كان يطابق العناصر الأصلية للمصفوفة الأخرى أم لا. أو بدلًا من ذلك، يمكننا أن نوجد حاصل ضرب المصفوفتين ونرى إذا ما كنا سنحصل على مصفوفة الوحدة أم لا. لنستخدم الطريقة الأخيرة.

سنضرب واحدًا، اثنين، ثلاثة، أربعة في واحد، نصف، ثلث، ربع. ونذكر أنفسنا بأنه لإجراء ذلك، نبدأ بإيجاد حاصل الضرب القياسي لعناصر الصف الأول من المصفوفة الأولى في عناصر العمود الأول من المصفوفة الثانية. إذن، هذا يساوي حاصل الضرب القياسي لواحد، اثنين، وواحد، ثلث. هذا يساوي واحدًا مضروبًا في واحد زائد اثنين مضروبًا في ثلث. هذا يعطينا خمسة أثلاث. بعد ذلك، نوجد حاصل الضرب القياسي لعناصر الصف الأول من المصفوفة الأولى في عناصر العمود الثاني من المصفوفة الثانية. إذن، لدينا واحد مضروب في نصف زائد اثنين مضروب في ربع، وهو ما يساوي واحدًا.

والآن، نوجد حاصل الضرب القياسي لعناصر الصف الثاني من المصفوفة الأولى في عناصر العمود الأول من المصفوفة الثانية. وهو ما يساوي ثلاثة في واحد زائد أربعة في ثلث، أي ١٣ على ثلاثة. وأخيرًا، حاصل الضرب القياسي لثلاثة، أربعة، ونصف، ربع. هذا يساوي ثلاثة في نصف زائد أربعة في ربع، أي خمسة على اثنين. وهكذا، نرى أنه عند ضرب المصفوفة: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة في المصفوفة: واحد، نصف، ثلث، ربع؛ نحصل على مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وعناصرها: خمسة أثلاث، وواحد، و١٣ على ثلاثة، وخمسة على اثنين. من الواضح أن هذه المصفوفة لا تساوي مصفوفة الوحدة: واحدًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا. ومن ثم، يمكننا القول: «لا»؛ كلتا المصفوفتين لا تمثل إحداهما معكوسًا ضربيًا للأخرى.

سنحسب الآن المعكوس الضربي لمصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين.

أوجد المعكوس الضربي للمصفوفة ﺃ تساوي: سالب أربعة، سالب ١٠، ثلاثة، خمسة، إن أمكن.

تذكر أنه لإيجاد المعكوس الضربي أو معكوس المصفوفة ﺃ ذات الرتبة اثنين في اثنين التي تساوي ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ؛ نضرب واحدًا على قيمة محدد ﺃ في المصفوفة ﺩ، سالب ﺏ، سالب ﺟ، ﺃ. تذكر أن هذا يعني أنه إذا كانت قيمة محدد ﺃ تساوي صفرًا، فإننا نجري بذلك العملية الحسابية واحدًا مقسومًا على صفر، وهي قيمة غير معرفة. وهذا يعني أن المعكوس غير موجود. إذن، فلنبدأ بحساب قيمة محدد المصفوفة ﺃ تساوي: سالب أربعة، سالب ١٠، ثلاثة، خمسة.

لإيجاد قيمة المحدد، نضرب العنصر العلوي الأيمن في العنصر السفلي الأيسر. ثم نطرح حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن. إذن، محدد هذه المصفوفة هو سالب أربعة في خمسة ناقص سالب ١٠ في ثلاثة. هذا يساوي سالب ٢٠ ناقص سالب ٣٠، وهو ما يساوي سالب ٢٠ زائد ٣٠. وبذلك، نجد أن قيمة محدد المصفوفة ﺃ يساوي ١٠. ويتضح لنا أن هذا لا يساوي صفرًا. إذن، معكوس المصفوفة ﺃ موجود. تخبرنا الصيغة أن نضرب واحدًا على محدد ﺃ، أي واحدًا على ١٠، في مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وهي التي نوجدها عن طريق تبديل ترتيب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر، ثم تغيير إشارة العنصرين الآخرين.

إذن، معكوس المصفوفة ﺃ يساوي عشرًا في خمسة، ١٠، سالب ثلاثة، سالب أربعة. ونعرف أنه يمكننا ضرب أي مصفوفة في عدد ثابت عن طريق ضربه في كل عنصر من عناصرها ببساطة. إذن، عشر في خمسة يساوي خمسة أعشار. وعشر في ١٠ يساوي ١٠ أعشار. وعشر في سالب ثلاثة يساوي سالب ثلاثة على ١٠. وعشر في سالب أربعة يساوي سالب أربعة على ١٠. وبذلك، كل ما تبقى لدينا لإيجاد قيمة المعكوس الضربي للمصفوفة ﺃ هو تبسيط كل كسر من هذه الكسور. إذن، نجد أن معكوس المصفوفة ﺃ يساوي: نصفًا، واحدًا، سالب ثلاثة على ١٠، سالب خمسين.

في المثال التالي، سنرى كيف نضيف هذه العملية إلى عملية أخرى على المصفوفات.

انظر المصفوفتين ﺃ وﺏ. أوجد معكوس ﺃ زائد ﺏ. لدينا هنا المصفوفة ﺃ تساوي: سالب ثلاثة، سالب اثنين، سالب خمسة، سالب سبعة. والمصفوفة ﺏ تساوي: سالب واحد، اثنين، ثمانية، تسعة.

يعني هذا التعبير أن نوجد معكوس مجموع هاتين المصفوفتين. لنبدأ ببساطة بحساب مجموع ﺃ زائد ﺏ. يمكننا إجراء ذلك عن طريق جمع العناصر الموجودة في كل صف وكل عمود. وعليه، فإن العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول هو سالب ثلاثة زائد سالب واحد، وهو ما يساوي سالب أربعة. والعنصر الثاني في الصف الأول هو سالب اثنين زائد اثنين، وهو ما يساوي صفرًا. بعد ذلك، نجمع سالب خمسة وثمانية فنحصل على ثلاثة. وأخيرًا، نجمع سالب سبعة وتسعة فنحصل على اثنين. إذن، مجموع المصفوفتين هو المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين: سالب أربعة، صفر، ثلاثة، اثنان.

علينا الآن إيجاد معكوس هذه المصفوفة. نتذكر إذن أنه في حالة مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، يكون معكوسها واحدًا على قيمة محدد المصفوفة ﺃ في ﺩ، سالب ﺏ، سالب ﺟ، ﺃ. والآن، قيمة محدد المصفوفة ﺃ تساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. أي إنها حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر من المصفوفة ناقص حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن. لاحظ أن هذا يعني أنه إذا كان المحدد يساوي صفرًا، فإننا نجري بذلك العملية الحسابية واحدًا مقسومًا على صفر، وهي قيمة غير معرفة. إذن، المصفوفة حينها لن يكون لها معكوس.

لنبدأ إذن بحساب قيمة محدد المصفوفة ﺃ زائد ﺏ. إنه سالب أربعة في اثنين ناقص صفر في ثلاثة، وهو ما يساوي سالب ثمانية. ومن ذلك، نعلم أن معكوس مجموع المصفوفتين موجود بالفعل، ونحن الآن جاهزون لإيجاده. لدينا واحد على قيمة محدد المصفوفة، أي واحد على سالب ثمانية. ثم نحل العنصر السفلي الأيسر محل العنصر العلوي الأيمن، ونغير إشارة العنصرين الآخرين. إذن، معكوس ﺃ زائد ﺏ يساوي واحدًا على سالب ثمانية في اثنين، صفر، سالب ثلاثة، سالب أربعة. والآن، بالطبع واحد مقسومًا على سالب ثمانية هو نفسه سالب ثمن. ونعرف أنه يمكننا ضرب أي مصفوفة في عدد ثابت عن طريق ضربه في كل عنصر من عناصرها.

سالب ثمن مضروبًا في اثنين يساوي سالب ربع أو سالب ٠٫٢٥. وسالب ثمن مضروبًا في صفر يساوي بالطبع صفرًا. ثم نضرب سالب ثمن في سالب ثلاثة. حسنًا، عدد سالب مضروب في عدد سالب يساوي قيمة موجبة. إذن، نحصل على ثلاثة أثمان، وهو ما يساوي ٠٫٣٧٥. وأخيرًا، نضرب سالب أربعة في سالب ثمن، فنحصل على نصف أو ٠٫٥. إذن، معكوس المصفوفة ﺃ زائد ﺏ يساوي سالب ٠٫٢٥، صفرًا، ٠٫٣٧٥، و٠٫٥. لاحظ أنه يمكننا بالطبع التحقق من الحل من خلال التأكد من أنه عند إيجاد حاصل ضرب المصفوفة ﺃ زائد ﺏ في معكوسها، فإننا نحصل على مصفوفة الوحدة. وهي المصفوفة: واحد، صفر، صفر، واحد.

في المثال الأخير، سنتناول ما نعنيه بقولنا إن المصفوفة منفردة، وكيف سيساعدنا هذا التعريف في حل المسائل.

أوجد مجموعة الحل المكونة من قيم ﺱ الحقيقية التي تجعل المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين: ﺱ ناقص ثلاثة، ثمانية، اثنين، ﺱ زائد ثلاثة؛ منفردة.

لنبدأ بتعريف كلمة «منفردة» في سياق المصفوفات. نقول إن المصفوفة منفردة إذا كانت غير قابلة للعكس؛ أي إن ليس لها معكوس. نعلم أن أي مصفوفة تكون قابلة للعكس إذا كان محددها لا يساوي صفرًا، والعكس صحيح أيضًا. إذن، بعبارة أخرى، تكون المصفوفة منفردة إذا كان محددها يساوي صفرًا. في هذه الحالة، علينا إيجاد مجموعة الحل المكونة من قيم ﺱ الحقيقية، بحيث يكون محدد المصفوفة يساوي صفرًا. محدد أي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. فإننا نطرح حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن من حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر.

وعليه، ففي هذا المثال، لدينا ﺱ ناقص ثلاثة في ﺱ زائد ثلاثة ناقص ثمانية في اثنين. إذا وزعنا الأقواس، فسنحصل على ﺱ في ﺱ، أي ﺱ تربيع، زائد ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة في ثلاثة، أي تسعة. نبسط ذلك إلى ﺱ تربيع ناقص تسعة. وثمانية مضروبًا في اثنين يساوي ١٦. إذن، محدد هذه المصفوفة يساوي ﺱ تربيع ناقص تسعة ناقص ١٦، وهو ما يساوي ﺱ تربيع ناقص ٢٥. إننا نحاول الآن إيجاد مجموعة حل قيم ﺱ التي تجعل هذه المصفوفة منفردة. بعبارة أخرى، ما قيم ﺱ التي تجعل المحدد يساوي صفرًا؟ فلنجعل قيمة المحدد تساوي صفرًا، ونوجد قيمة ﺱ. وبذلك، يصبح لدينا ﺱ تربيع ناقص ٢٥ يساوي صفرًا.

بإضافة ٢٥ إلى كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺱ تربيع يساوي ٢٥. بعد ذلك، سنأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة، وتذكر أن نأخذ موجب وسالب الجذر التربيعي لـ ٢٥. هذا يعطينا ﺱ يساوي موجب أو سالب خمسة. يمكننا استخدام هذه الأقواس المعقوفة لمساعدتنا على تمثيل مجموعة حل القيم التي تجعل هذه المصفوفة منفردة. وهما: سالب خمسة، وخمسة. في هذه المرحلة، لاحظ أنه يمكننا التأكد من صحة هذه الحلول من خلال التعويض بكل قيمة لـ ﺱ في المصفوفة الأصلية ثم التأكد من أن المحدد يساوي بالفعل صفرًا.

سنلخص الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عرفنا أن أي مصفوفة من الرتبة ﻥ في ﻥ، أي المصفوفة المربعة، قابلة للعكس إذا وجدت مصفوفة أخرى، بحيث يكون حاصل ضرب تلك المصفوفة ومعكوسها يساوي 𝐼، وهي مصفوفة الوحدة. وعرفنا أن أي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين تكون معرفة على الصورة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، ويكون معكوسها واحدًا على محدد ﺃ في المصفوفة ﺩ، سالب ﺏ، سالب ﺟ، ﺃ. وبالطبع، نحسب قيمة محدد المصفوفة ﺃ عن طريق إيجاد حاصل ضرب ﺃﺩ، وطرح حاصل ضرب ﺏﺟ منه. وأخيرًا، عرفنا أن المصفوفة تكون منفردة إذا لم يكن لها معكوس. أو بعبارة أخرى، إذا كان محدد تلك المصفوفة يساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.