فيديو السؤال: استخدام القيم المثلثية للزوايا الخاصة لإيجاد قياس إحدى الزوايا الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت الزاوية 𝜃 في الوضع القياسي، وجتا 𝜃 يساوي سالب جذر اثنين على اثنين، وجا 𝜃 يساوي سالب جذر اثنين على اثنين، فهل يمكن أن تكون 𝜃‏ قياسها ‏١٣٥ درجة؟

فلننظر في دائرة الوحدة. تذكر أن طول الخط الذي يصل نقطة الأصل بأي نقطة على هذه الدائرة يمثل وحدة واحدة. إنها دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا. تتقاطع الدائرة مع المحاور عند النقاط واحد وصفر، وصفر وواحد، وسالب واحد وصفر، وصفر وسالب واحد.

تذكر، بما أننا نقيس بعكس اتجاه دوران عقارب الساعة، يمكننا البدء من النقطة واحد وصفر عند صفر درجة. النقطة الثانية هي المقابلة لـ ٩٠ درجة. والثالثة ١٨٠ درجة. والرابعة ٢٧٠. وعندما نعود إلى حيث بدأنا، نكون عند الزاوية ٣٦٠ درجة.

والآن هيا نختر أي نقطة على محيط هذه الدائرة. سنسمي هذا الزوج المرتب ﺃ، ‏ﺏ. ومن ثم، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية من هذه النقطة. هذه تمثل الزاوية 𝜃. وسيساعدنا ذلك في تحديد ما إذا كانت قيمة كل من جا 𝜃 وجتا 𝜃 لهذه الزاوية موجبة أو سالبة.

ونحن نعرف في هذا المثلث القائم الزاوية أن طول الوتر، وهو نصف القطر، يساوي واحدًا. طول الضلع المقابل للزاوية 𝜃 قيمته ﺏ من الوحدات، بما أننا اخترنا إحداثي ﺹ ليكون ﺏ. وطول الضلع المجاور قيمته ﺃ من الوحدات، بما أننا اخترنا إحداثي ﺱ ليكون ﺃ.

والآن دعونا نسترجع تعريفنا للجيب وجيب التمام. جا 𝜃‏‏ يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر. بالنسبة إلى هذا المثلث إذن، جا 𝜃 يساوي ﺏ على واحد. بما أن طول الضلع المقابل في هذا المثلث يساوي ﺏ وطول الوتر يساوي واحدًا. ويبسط ذلك إلى ﺏ. وبالمثل جتا 𝜃 يساوي ﺃ على واحد، بما أننا قلنا إن طول الضلع المجاور هو ﺃ. وﺃ على واحد يبسط إلى ﺃ.

وبما أن ﺃ وﺏ يقعان في الربع الأول، نعرف أنهما يمثلان قيمتين موجبتين. ومن ثم، نعرف أنه في حالة أي قيمة للزاوية 𝜃 تقع بين صفر و٩٠ درجة — بعبارة أخرى، أي قيمة للزاوية 𝜃 في الربع الأول — يجب أن تكون قيمة كل من جا 𝜃 وجتا 𝜃 أكبر من صفر. كلاهما موجب.

فلنرجع إلى رأس المسألة. قيمتا جا 𝜃 وجتا 𝜃 سالبتان. إذن، نريد إيجاد الربع الذي تقع فيه الزاوية 𝜃 وتنطبق عليه هذه الحالة. فلننتقل إلى الربع الثاني. في هذا الربع، يمكننا اختيار زوج مرتب ونسميه سالب ﺃ، ‏ﺏ. مرة أخرى، سنستخدم تعريفنا للجيب وجيب التمام لمعرفة ما إذا كانت قيم الجيب وجيب التمام موجبة أم سالبة.

طول الضلع المقابل في هذا المثلث هو ﺏ. إذن مرة أخرى، جا 𝜃 يساوي ﺏ على واحد، ويبسط ذلك إلى ﺏ. أما جتا 𝜃، فهو يساوي سالب ﺃ على واحد، ويبسط ذلك إلى سالب ﺃ. والسبب أنه يمكن حساب طول الضلع المجاور في هذا المثلث باستخدام إحداثي ﺱ من هذا الزوج المرتب. هذا يعني أنه في الربع الثاني، قيمة جا 𝜃 أكبر من صفر. إنها موجبة. وقيمة جتا 𝜃 أقل من صفر. إنها سالبة.

في الربع الثالث، الزوج المرتب هو سالب ﺃ، سالب ﺏ. في هذه الحالة، يمكن حساب قيمة جا 𝜃 عن طريق قسمة سالب ﺏ على واحد، ما يساوي سالب ﺏ. ويمكن إيجاد قيمة جتا 𝜃 عن طريق حساب سالب ﺃ على واحد، ما يساوي سالب ﺃ. ثم في الربع الثالث، قيمة كل من الجيب وجيب التمام سالبة.

وكنا قد سمينا قياسات الزوايا بعكس اتجاه دوران عقارب الساعة. وقلنا إنه في الربع الثالث، تقع الزاوية 𝜃 بين ١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة. عندما يساوي جتا 𝜃 سالب جذر اثنين على اثنين ويساوي جا 𝜃 سالب جذر اثنين على اثنين، فإن قيمة 𝜃 يجب أن تكون بين ١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة.

إذن الإجابة هي: لا، لا يمكن لـ 𝜃 أن تساوي ١٣٥ درجة.