نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية إيجاد القيمة التقريبية للتكاملات المحددة باستخدام قاعدة شبه المنحرف وتقدير الخطأ عند استخدامها. لعلك لاحظت بالفعل أن المساحة الفعلية بين المنحنى والمحور 𝑥 يمكن حسابها عن طريق إيجاد التكامل المحدد للدالة التي تصف هذا المنحنى الواقع بين النقطتين المحددتين. عندما نوجد القيمة التقريبية للتكاملات، أي المساحة، فإننا عادة ما نستخدم المستطيلات. وهذا يعرف بمجموع نقاط المنتصف ومجموع ريمان. في هذا الفيديو، سنرى كيف أن استخدام أشباه المنحرف من شأنه في أغلب الأحيان أن يعطينا قيمة أقرب من التي نحصل عليها باستخدام مجموع مساحات المستطيلات الذي يستخدم عدد الفترات الجزئية نفسه. ثم سننشئ صيغة لما يعرف بقاعدة شبه المنحرف.
لنتخيل أننا نريد إيجاد قيمة تقريبية للمساحة المحصورة بين منحنى الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي ثمانية ناقص اثنين 𝑥 تربيع زائد ثلاثة 𝑥، والمحور 𝑥. ويحدها الخطان 𝑥 يساوي صفرًا، و𝑥 يساوي اثنين. في هذه المرحلة، لدينا عدد من الطرق المختلفة. قد نستخدم مجموع نقاط المنتصف، حيث نقسم المساحة إلى مستطيلات. لنقل إننا سنقسمها إلى مستطيلين ونوجد ارتفاع المستطيل بحساب قيمة الدالة عند نقطة منتصف كل فترة. حسنًا، هذه طريقة. لكن دعونا نتأمل شكل المنحنى. ألن يكون من المنطقي أن نختار شكلًا آخر غير المستطيل؟ يمكننا أن نجرب أشباه المنحرف.
لنفترض أننا نريد استخدام أربع فترات جزئية الآن. ستبدو أشباه المنحرف بهذا الشكل. لاحظ أن ذلك يعطينا ما يبدو أنه قيمة تقريبية أدق بالفعل مما سنحصل عليه باستخدام المستطيلات. ويمكننا استخدام صيغة حساب مساحة شبه المنحرف لكي نحسب المساحة الكلية بين المنحنى والمحور 𝑥. إنها نصف في 𝑎 زائد 𝑏 في ℎ. حيث 𝑎 و𝑏 هما طولا الضلعين المتوازيين في شبه المنحرف. وℎ هو الارتفاع بينهما. يمكننا ملاحظة أن ارتفاع أشباه المنحرف هنا يساوي عرض الفترة الجزئية. وهو هنا يساوي 0.5 من الوحدات.
يمكننا استخدام معادلة المنحنى لحساب طولي الضلعين المتوازيين. ومن المفيد أن نستخدم جدولًا في هذه المرحلة. وعلى غير المتوقع، ففي مقابل الفترات الجزئية الأربع، سيكون لدينا خمسة أعمدة. وفي الحقيقة، هذا ما يحدث دائمًا. دائمًا سيزيد عدد الأعمدة عن عدد الفترات الجزئية بمقدار واحد. طول الضلع الموازي الأول في شبه المنحرف الأول يساوي 𝑓 لصفر. وهذا يساوي ثمانية ناقص اثنين في صفر تربيع زائد ثلاثة في صفر، يساوي ثمانية. وطول الضلع الموازي الثاني في شبه المنحرف الأول يساوي ثمانية ناقص اثنين في 0.5 تربيع زائد ثلاثة في 0.5، ويساوي تسعة. 𝑓 لواحد يساوي ثمانية ناقص اثنين في واحد تربيع زائد ثلاثة في واحد، يساوي تسعة أيضًا، لكن الرسم غير دقيق. وبالطريقة نفسها، نحسب 𝑓 لـ 1.5 لإيجاد هذا الارتفاع. إنه يساوي ثمانية. و𝑓 لاثنين يعطينا هذا الارتفاع. إنه يساوي ستة.
والآن سنحسب مساحات أشباه المنحرف. مساحة شبه المنحرف الأول تساوي نصفًا في ثمانية زائد تسعة في 0.5، يساوي 4.25 وحدات مربعة. ومساحة شبه المنحرف الثاني تساوي نصفًا في تسعة زائد تسعة في 0.5، يساوي 4.5 وحدات مربعة. ومساحة شبه المنحرف الثالث تساوي نصفًا في تسعة زائد ثمانية في 0.5، يساوي 4.25 مرة أخرى. ومساحة شبه المنحرف الأخير تساوي نصفًا في ثمانية زائد ستة في 0.5، يساوي 3.5 وحدات مربعة. ومجموع هذه المساحات يساوي 16.5. ونعرف أننا عادة ما نستخدم التكامل المحدد لإيجاد قيمة المساحة أسفل المنحنى. لذا يمكننا القول إن القيمة التقريبية للتكامل المحدد بين صفر واثنين، لثمانية ناقص اثنين 𝑥 تربيع زائد ثلاثة 𝑥، تساوي 16.5. حسنًا، هذا جيد جدًا. لكن ربما تفكر في أن هناك بالتأكيد طريقة أسرع لإجراء هذه العملية الحسابية. ولحسن الحظ، هذا صحيح. لنأخذ دالة عامة 𝑓 في المتغير 𝑥 ونقسمها إلى عدد 𝑛 من الفترات الجزئية.
سنقول إن ارتفاع كل من أشباه المنحرف يساوي 𝛥𝑥. ورأينا أنه يمكن حساب طولي الضلعين المتوازيين في شبه المنحرف الأول عن طريق التعويض بقيمة 𝑥 الأولى وقيمة 𝑥 الثانية في الدالة. لذا يمكننا القول إن 𝑎 واحد تساوي نصفًا في 𝑓 لـ 𝑥 صفر زائد 𝑓 لـ 𝑥 واحد في 𝛥𝑥. وبالمثل، مساحة شبه المنحرف الثاني تساوي نصفًا في 𝑓 لـ 𝑥 واحد زائد 𝑓 لـ 𝑥 اثنين في 𝛥𝑥. ومساحة شبه المنحرف الثالث تساوي نصفًا في 𝑓 لـ 𝑥 اثنين زائد 𝑓 لـ 𝑥 ثلاثة في 𝛥𝑥. وهكذا حتى شبه المنحرف رقم 𝑛، الذي مساحته: نصف في 𝑓 لـ 𝑥 𝑛 ناقص واحد زائد 𝑓 لـ 𝑥 𝑛 في 𝛥𝑥.
أما المساحة الكلية أسفل المنحنى، وهي القيمة التقريبية لتكامل الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 المحدد بين قيمة 𝑥 الأولى وقيمة 𝑥 الأخيرة، فتساوي مجموع تلك المساحات. وعند إيجاد هذا المجموع، يمكننا أخذ كل من نصف و𝛥𝑥 عاملًا مشتركًا. وبذلك نحصل على مساحة كلية لأشباه المنحرف تساوي 𝛥𝑥 على اثنين في 𝑓 لـ 𝑥 صفر زائد 𝑓 لـ 𝑥 واحد زائد 𝑓 لـ 𝑥 واحد مرة أخرى. ونستمر بالجمع وصولًا إلى جمع 𝑓 لـ 𝑥𝑛 ناقص واحد زائد 𝑓 لـ 𝑥𝑛 ناقص واحد زائد 𝑓 لـ 𝑥𝑛.
والآن يمكننا تبسيط ذلك أكثر لكي نحصل على الصيغة العامة لقاعدة شبه المنحرف باستخدام عدد 𝑛 من الفترات الجزئية. نجمع الحدين 𝑓 لـ 𝑥 واحد معًا، والحدين 𝑓 لـ 𝑥 اثنين معًا، وهكذا حتى نصل إلى الحدين 𝑓 لـ 𝑥𝑛 ناقص واحد. القاعدة هي 𝛥𝑥 على اثنين في 𝑓 لـ 𝑥 صفر زائد 𝑓 لـ 𝑥𝑛 زائد اثنين في جميع القيم الأخرى. أي 𝑓 لـ 𝑥 واحد زائد 𝑓 لـ 𝑥 اثنين، وهكذا حتى 𝑓 لـ 𝑥𝑛 ناقص واحد. ويمكن الحصول على قيمة 𝛥𝑥 بسهولة. إنها 𝑏 ناقص 𝑎 مقسومًا على 𝑛، حيث 𝑎 و𝑏 هما بداية ونهاية الفترة. وأما قيم 𝑥𝑖 فيمكن إيجادها عن طريق إضافة 𝑖 مضروبًا في 𝛥𝑥 إلى الحد الأدنى للفترة. إذن، 𝑎 زائد 𝑖𝛥𝑥. والآن سنلقي نظرة على كيفية تطبيق هذه القاعدة.
استخدم قاعدة شبه المنحرف لتقدير قيمة التكامل المحدد بين صفر واثنين لـ 𝑥 تكعيب بالنسبة لـ 𝑥 باستخدام أربع فترات جزئية.
تذكر أن قاعدة شبه المنحرف تنص على أنه يمكننا إيجاد قيمة تقريبية للتكامل المحدد بين النهايتين 𝑎 و𝑏 لـ 𝑓 في المتغير 𝑥 عن طريق حساب قيمة 𝛥𝑥 على اثنين في 𝑓 لـ 𝑥 صفر زائد 𝑓 لـ 𝑥𝑛 زائد اثنين في 𝑓 لـ 𝑥 واحد زائد 𝑓 لـ 𝑥 اثنين حتى 𝑓 لـ 𝑥𝑛 ناقص واحد. حيث 𝛥𝑥 يساوي 𝑏 ناقص 𝑎 على 𝑛. و𝑥𝑖 يساوي 𝑎 زائد 𝑖 في 𝛥𝑥.
دعونا نحلها خطوة خطوة، وسنبدأ بإيجاد قيمة 𝛥𝑥. في هذا السياق، 𝛥𝑥 هو عرض كل فترة من الفترات الجزئية. ونحن هنا نتعامل مع أربع فترات جزئية. لذا يمكننا القول إن 𝑛 يساوي أربعة. 𝑎 هو الحد الأدنى للتكامل. إذن 𝑎 يساوي صفرًا، و𝑏 هو الحد الأعلى. إذن يساوي اثنين. وعليه فإن 𝛥𝑥 يساوي اثنين ناقص صفر على أربعة، يساوي نصفًا أو 0.5. أما إيجاد قيم 𝑓 لـ 𝑥 صفر و𝑓 لـ 𝑥 واحد إلى آخره، فيتطلب المزيد من العمل. لكن يمكننا جعل الأمر بسيطًا قدر الإمكان من خلال إنشاء جدول.
من المفيد أن تتذكر أن عدد أعمدة الجدول سيكون دائمًا 𝑛 زائد واحد. هنا لدينا أربعة زائد واحد، أي خمسة. لدينا خمسة أعمدة في الجدول. وقيم 𝑥 تبدأ من 𝑎 إلى 𝑏. أي من صفر إلى اثنين. ويمكن إيجاد القيم الواقعة بينهما عن طريق إضافة 𝛥𝑥 في كل مرة، أي 0.5 زائد 𝑎 الذي يساوي صفرًا. نحصل على 0.5، وواحد، و1.5. وهذا يعطينا الفترات الجزئية الأربع التي عرضها 0.5 من الوحدات. ثم سنعوض ببساطة بكل قيمة من قيم 𝑥 في الدالة. نبدأ بـ 𝑓 لصفر. هذا يساوي صفرًا مكعبًا، أي صفرًا. بعد ذلك، 𝑓 لـ 0.5. وهذا يساوي 0.5 تكعيب، أي 0.125. ثم 𝑓 لواحد، يساوي واحدًا تكعيب، أي واحدًا. ونحصل على القيمتين الأخيرتين بالطريقة نفسها. 𝑓 لـ 1.5 يساوي 3.375. و𝑓 لاثنين يساوي ثمانية. ها قد انتهينا من الخطوات الصعبة. ويتبقى التعويض بما لدينا في صيغة قاعدة شبه المنحرف.
إنها 𝛥𝑥 على اثنين، أي 0.5 على اثنين، مضروبًا في القيمة الأولى لـ 𝑓 في المتغير 𝑥 زائد القيمة الأخيرة لـ 𝑓 في المتغير 𝑥. وهذا يساوي صفرًا زائد ثمانية زائد اثنين مضروبًا في باقي القيم الأخرى. وهذا يساوي اثنين في 0.125 زائد واحد زائد 3.375. وهذا يعطينا قيمة تساوي 17 على أربعة. إذن باستخدام أربع فترات جزئية، فإن قاعدة شبه المنحرف تعطينا قيمة تقريبية للتكامل المحدد لـ 𝑥 تكعيب بين صفر واثنين، تساوي 17 على أربعة. ويمكننا التحقق من صحة ذلك بعدة طرق. يمكنك إيجاد مجموع ريمان أو مجموع نقاط المنتصف أو حساب التكامل ببساطة.
عندما نكامل 𝑥 تكعيب، نحصل على 𝑥 أس أربعة مقسومًا على أربعة. وحساب قيمة ذلك بين النهايتين صفر واثنين يعطينا اثنين أس أربعة مقسومًا على أربعة ناقص صفر أس أربعة مقسومًا على أربعة، وهو ما يساوي 16 على أربعة. وهذا قريب جدًا من الإجابة التي حصلنا عليها، ما يعني أننا أجرينا العمليات الحسابية بشكل صحيح.
والآن سنتناول مثالًا يتطلب مزيدًا من الدقة.
استخدم قاعدة شبه المنحرف لتقدير قيمة التكامل المحدد بين النهايتين واحد واثنين لـ 𝑒 أس 𝑥 على 𝑥 𝑑𝑥 باستخدام أربع فترات جزئية. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
تذكر أن قاعدة شبه المنحرف تنص على أنه يمكننا إيجاد قيمة تقريبية للتكامل المحدد لدالة ما 𝑓 في المتغير 𝑥 بين النهايتين 𝑎 و𝑏 عن طريق حساب قيمة 𝛥𝑥 على اثنين في 𝑓 لـ 𝑥 صفر زائد 𝑓 لـ 𝑥𝑛 زائد اثنين في 𝑓 لـ 𝑥 واحد زائد 𝑓 لـ 𝑥 اثنين حتى 𝑓 لـ 𝑥𝑛 ناقص واحد. حيث 𝛥𝑥 يساوي 𝑏 ناقص 𝑎 على 𝑛، حيث 𝑛 عدد الفترات الجزئية. و𝑥𝑖 يساوي 𝑎 زائد 𝑖 في 𝛥𝑥. سنبدأ ببساطة بإيجاد قيمة 𝛥𝑥. في هذا السياق، 𝛥𝑥 هو عرض كل فترة من الفترات الجزئية. ونحن نتعامل هنا مع أربع فترات جزئية. إذن 𝑛 يساوي أربعة. و𝑎 يساوي واحدًا. و𝑏 يساوي اثنين. وعليه فإن 𝛥𝑥 يساوي اثنين ناقص واحد على أربعة، يساوي ربعًا أو 0.25. وهذا هو الارتفاع العمودي لأشباه المنحرف.
أما إيجاد قيم 𝑓 لـ 𝑥 صفر و𝑓 لـ 𝑥 واحد إلى آخره، فيتطلب المزيد من العمل. لكن يمكننا جعل الأمر بسيطًا قدر الإمكان من خلال إنشاء جدول. تذكر أنه سيكون لدينا دائمًا قيمة واحدة إضافية لـ 𝑓 في المتغير 𝑥 زيادة على عدد الفترات الجزئية. والعدد هنا هو أربعة زائد واحد، أي خمس قيم لـ 𝑓 في المتغير 𝑥. وقيم 𝑥 نفسها تبدأ من 𝑎 إلى 𝑏. أي من صفر إلى اثنين. ويمكن إيجاد القيم الواقعة بينهما عن طريق إضافة 𝛥𝑥 في كل مرة، أي 0.25 زائد 𝑎 الذي يساوي واحدًا. إذن هذه القيم هي 1.25، و1.5، و1.75. وهذا يعطينا أربع فترات جزئية عرضها 0.25 من الوحدات. ثم سنعوض بكل قيمة من قيم 𝑥 في الدالة.
وهنا علينا أن نتخذ قرارًا يتعلق بالدقة. فعلى الرغم من أن السؤال يطلب منا التقريب لأقرب منزلتين عشريتين، فهذا لا ينطبق إلا على الإجابة النهائية. لدينا قاعدة عامة جيدة، وهي استخدام خمس منازل عشرية على الأقل. نبدأ بـ 𝑓 لواحد. هذا يساوي 𝑒 أس واحد على واحد، ما يساوي 2.71828 لأقرب خمس منازل عشرية. ولدينا 𝑓 لـ 1.25، يساوي 𝑒 أس 1.25 على 1.25. وهذا يساوي 2.79227 لأقرب خمس منازل عشرية. نكرر هذه العملية مع 1.5. 𝑓 لـ 1.5 يساوي 2.98779. و𝑓 لـ 1.75 يساوي 3.28834. و𝑓 لاثنين يساوي 3.69453 مقربًا لأقرب خمس منازل عشرية. ولا يتبقى إلا التعويض بما لدينا في صيغة قاعدة شبه المنحرف. 𝛥𝑥 على اثنين. أي 0.25 على اثنين، في 𝑓 لواحد. أي 2.71828، زائد 𝑓 لاثنين. أي 3.69453، زائد اثنين في باقي القيم الأخرى. وهي 2.79227، و2.98779، و3.28834. هذا يعطينا 3.0687، أي 3.07 لأقرب منزلتين عشريتين.
من المفيد أن تتذكر أنه يمكننا التحقق من معقولية الإجابة باستخدام دالة التكامل على الآلة الحاسبة. وعندما نفعل ذلك، سنحصل على 3.06 لأقرب منزلتين عشريتين. وهذا قريب جدًا من الإجابة التي حصلنا عليها، ما يعني أننا على الأرجح أجرينا العمليات الحسابية بشكل صحيح. إذن فالقيمة التقريبية لتكامل 𝑒 أس 𝑥 على 𝑥 𝑑𝑥 بين واحد واثنين تساوي 3.07.
في المثال الأخير، سنعرف طريقة إيجاد مقدار الخطأ في حساب القيمة التقريبية. ليس من ضمن أهداف هذا الفيديو أن نشرح مصدر هذه الطريقة. لكن الصيغة التي سنستخدمها هي كالتالي. القيمة المطلقة للخطأ أقل من أو تساوي 𝑚 في 𝑏 ناقص 𝑎 تكعيب على 12𝑛 تربيع. ويمكن استخدام هذه الصيغة عندما تكون المشتقة الثانية للدالة متصلة. و𝑚 هو الحد الأعلى لمقياس المشتقة الثانية على الفترة المغلقة من 𝑎 إلى 𝑏.
(أ) إذا كان 𝑛 يساوي أربعة، فأوجد مقدار الخطأ في حساب القيمة التقريبية باستخدام قاعدة شبه المنحرف للتكامل المحدد لواحد على 𝑥 بين واحد واثنين. و(ب) ما أكبر قيمة لـ 𝑛 تضمن لنا أن تكون القيمة التقريبية المحسوبة باستخدام قاعدة شبه المنحرف لتكامل واحد على 𝑥 بين واحد واثنين، دقيقة حتى 0.0001 ؟
نلاحظ أنه سيكون علينا إيجاد قيمة 𝑓 شرطتين في المتغير 𝑥، أي المشتقة الثانية للدالة واحد على 𝑥. دعونا نكتب 𝑓 في المتغير 𝑥 في صورة 𝑥 أس سالب واحد. إذن، 𝑓 شرطة في المتغير 𝑥، أي المشتقة الأولى، تساوي سالب 𝑥 أس سالب اثنين. و𝑓 شرطتان في المتغير 𝑥 تساوي اثنين 𝑥 أس سالب ثلاثة أو اثنين على 𝑥 تكعيب. نعرف أن 𝑥 أكبر من أو يساوي واحدًا وأقل من أو يساوي اثنين. وهذا يعني أن واحدًا على 𝑥 لا بد أن يكون أقل من أو يساوي واحدًا.
دعونا نر ما يعنيه ذلك بخصوص القيمة المطلقة للمشتقة الثانية للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥. إنها القيمة المطلقة لاثنين على 𝑥 تكعيب. لذا فهي أقل من أو تساوي اثنين على واحد تكعيب، وهو ما نعلم أنه اثنان. لدينا إذن 𝑚 يساوي اثنين، بما أن هذا هو الحد الأعلى للمشتقة الثانية في هذا السؤال. ولدينا 𝑎 يساوي واحدًا، و𝑏 يساوي اثنين. ويخبرنا السؤال بأن 𝑛 يساوي أربعة. وهذا يعني أن القيمة المطلقة للخطأ أقل من أو تساوي اثنين في اثنين ناقص واحد تكعيب على 12 في أربعة تربيع، ما يساوي تقريبًا 0.01041 وهكذا مع توالي الأرقام. بذلك، يمكننا القول إن القيمة المطلقة للخطأ أقل من 0.01042 لأقرب خمس منازل عشرية.
الجزء (ب) من السؤال، سنستخدم فيه ما استخدمناه في الجزء الأول. ولكن هذه المرة، سنحاول إيجاد قيمة 𝑛. إذن، نقول إن القيمة المطلقة للخطأ أقل من أو تساوي اثنين في اثنين ناقص واحد تكعيب على 12 في 𝑛 تربيع، وهو ما يمكن تبسيطه إلى واحد على ستة 𝑛 تربيع. نريد أن تكون هذه القيمة أقل من 0.0001. لذا، سنكتب المتباينة: واحد على ستة 𝑛 تربيع أقل من 0.0001. ونحل لإيجاد قيمة 𝑛. بإعادة ترتيب المتباينة، يصبح 𝑛 تربيع أكبر من واحد على 0.0006. ثم سنأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. لن نهتم هنا بالجذر التربيعي السالب لواحد على 0.0006. فكما نعرف، لا بد أن 𝑛 عدد موجب بالضرورة. بالتالي نحصل على 𝑛 أكبر من 40.824. فلكي نضمن أن تكون القيمة التقريبية دقيقة حتى 0.0001، سنجعل قيمة 𝑛 مساوية لـ 41.
في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكن استخدام قاعدة شبه المنحرف في إيجاد القيمة التقريبية للتكاملات المحددة. وحصلنا على صيغة قاعدة شبه المنحرف كما هو موضح. ورأينا أنه وفقًا لشروط معينة، يمكننا تحديد مقدار الخطأ في حساب تلك القيم التقريبية، وذلك باستخدام هذه الصيغة.
