نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم التكامل لإيجاد طول قوس منحنى معرف بالمعادلات البارامترية على الصورة ﺱ يساوي ﺩﻥ وﺹ يساوي ﺭﻥ. سنبدأ بتذكر صيغة طول القوس لمنحنى معرف على الصورة ﺹ يساوي دالة ما لـ ﺱ. وبعد ذلك، سنلقي نظرة على كيفية تعميم هذه الصيغة للمنحنيات المعرفة بارامتريًّا ونتناول عددًا من الأمثلة على هذه العملية.
إذا كانت لدينا المعادلة ﺹ بدلالة ﺱ وكانت قيم ﺱ أكبر من أو تساوي ﺃ وأقل من أو تساوي ﺏ، فإن طول القوس ﻝ يساوي التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ للجذر التربيعي لواحد زائد ﺩﺹ على ﺩﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. نريد إيجاد طريقة لاستخدام هذه الصيغة للمنحنيات المعرفة بارامتريًّا. تذكر أن هذه المنحنيات تكون على الصورة ﺱ يساوي ﺩﻥ وﺹ يساوي ﺭﻥ. نعرف أيضًا أن في هذه الحالة ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ، وهو ما يمكن كتابته على الصورة ﺭ شرطة ﻥ على ﺩ شرطة ﻥ.
وباستخدام حقيقة أن ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي ﺩ شرطة ﻥ، يمكننا القول بالتالي إن ﺩﺱ يساوي ﺩ شرطة ﻥ في ﺩﻥ. وبإعادة تعريف حدي التكامل لدينا ليصبحا بدلالة ﻥ، نجد أنه يمكننا إعادة كتابة طول القوس على صورة التكامل المحدد بين 𝛼 و𝛽 للجذر التربيعي لواحد زائد ﺩﺹ على ﺩﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ تربيع في ﺩ شرطة ﻥ في ﺩﻥ. نفصل مركبتي الكسر ونعيد كتابة ﺩ شرطة ﻥ على الصورة ﺩﺱ على ﺩﻥ. يبدو هذا معقدًا. لكننا سنجمع بعد ذلك الكسرين أسفل الجذر بتوحيد المقامين ليكونا ﺩﺱ على ﺩﻥ تربيع.
وبذلك يصبح لدينا داخل الجذر ﺩﺱ على ﺩﻥ الكل تربيع على ﺩﺱ على ﺩﻥ الكل تربيع زائد ﺩﺹ على ﺩﻥ الكل تربيع على ﺩﺱ على ﺩﻥ الكل تربيع. يمكننا بعد ذلك إخراج المقام عاملًا مشتركًا، ونلاحظ أنه علينا استخدام علامة القيمة المطلقة لأننا نريد أن يكون ذلك موجبًا كي يمكننا متابعة ما نفعله. ونلاحظ من ذلك أن طول القوس يساوي التكامل المحدد بين 𝛼 و𝛽 لواحد على القيمة المطلقة لـ ﺩﺱ على ﺩﻥ في الجذر التربيعي لـ ﺩﺱ على ﺩﻥ تربيع زائد ﺩﺹ على ﺩﻥ تربيع في ﺩﺱ على ﺩﻥ في ﺩﻥ. في الحقيقة، إذا افترضنا أن المنحنى مرسوم من اليسار إلى اليمين، فيمكننا أن نتخلص من القيمة المطلقة. وبالتالي، نلاحظ أن واحدًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ في ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي واحدًا. وبذلك، تتبقى لدينا الصيغة المعطاة لطول قوس المنحنى بين الحدين ﻥ يساوي 𝛼 وﻥ يساوي 𝛽.
من المهم هنا ملاحظة أن الصورة الكارتيزية لصيغة طول القوس لا تكون صحيحة إلا في حالة ﺹ يساوي ﺩﺱ عندما تكون ﺩ شرطة متصلة على الفترة المغلقة ﺃ إلى ﺏ. وعليه، فإن استخدام هذا الشرط للحصول على الصورة البارامترية سيكون له التأثير نفسه على المعادلات البارامترية التي يمكننا استخدام هذه الصيغة معها. وفي الحقيقة، إذا بدأنا بالمعادلتين البارامتريتين ﺱ يساوي ﺩﻥ وﺹ يساوي ﺭﻥ، يجب أن تكون ﺩ شرطة وﺭ شرطة متصلتين على الفترة المغلقة من 𝛼 إلى 𝛽. وجدير بالذكر أيضًا أنه في حالة المعادلات البارامترية، قد يلف المنحنى حول نفسه. وقد يقودنا ذلك إلى حلول أطول من طول القوس الفعلي، وفي هذه الحالة علينا تحديد مجال ﻥ، حيث يرسم القوس مرة واحدة فقط.
لنلق نظرة على كيفية استخدام هذه الصيغة.
عبر عن طول المنحنى الذي معادلتاه البارامتريتان ﺱ يساوي ﻥ تربيع ناقص ﻥ وﺹ يساوي ﻥ أس أربعة، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا وأقل من أو يساوي أربعة، على صورة تكامل.
نتذكر أن صيغة طول القوس ﻝ لمنحنى معرف بارامتريًّا بين الحدين ﻥ يساوي 𝛼 وﻥ يساوي 𝛽 هي التكامل المحدد بين 𝛼 و𝛽 للجذر التربيعي لـ ﺩﺱ على ﺩﻥ تربيع زائد ﺩﺹ على ﺩﻥ تربيع بالنسبة إلى ﻥ. وهذا المنحنى معرف بارامتريًّا بالمعادلتين ﺱ يساوي ﻥ تربيع ناقص ﻥ وﺹ يساوي ﻥ أس أربعة. ونريد إيجاد طول هذا القوس بين الحدين ﻥ يساوي واحدًا وﻥ يساوي أربعة. إذن، نجعل 𝛼 يساوي واحدًا و𝛽 يساوي أربعة. ونلاحظ أنه علينا اشتقاق ﺱ وﺹ بالنسبة إلى ﻥ.
لاشتقاق حد لدالة كثيرة الحدود، نضرب الحد بالكامل في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. إذن مشتقة ﻥ تربيع تساوي اثنين ﻥ. وعند اشتقاق سالب ﻥ، نحصل على سالب واحد. وبالتالي، فإن ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي اثنين ﻥ ناقص واحد. وهذا يحقق شرط أن تكون مشتقة هذه الدالة متصلة. ﺩﺹ على ﺩﻥ هي المشتقة الأولى لـ ﻥ أس أربعة. هذا يساوي أربعة ﻥ تكعيب، وهو أيضًا دالة متصلة. نلاحظ أن علينا تربيع هاتين القيميتين في صيغة طول القوس. لذا، دعونا نحسب ﺩﺱ على ﺩﻥ تربيع وﺩﺹ على ﺩﻥ تربيع قبل التعويض عنهما في الصيغة.
بتوزيع الأقواس، نجد أن اثنين ﻥ ناقص واحد الكل تربيع يساوي أربعة ﻥ تربيع ناقص أربعة ﻥ زائد واحد. وأربعة ﻥ تكعيب الكل تربيع يساوي ١٦ﻥ أس ستة. خطوتنا الأخيرة هي التعويض بهاتين القيميتين في صيغة طول القوس. نجد بذلك أن ﻝ يساوي التكامل المحدد بين واحد وأربعة للجذر التربيعي لأربعة ﻥ تربيع ناقص أربعة ﻥ زائد واحد زائد ١٦ﻥ أس ستة ﺩﻥ. ويمكننا إعادة كتابة التعبير داخل الجذر بترتيب قوى ﻥ تنازليًّا. وعندما نفعل ذلك، نجد أن طول قوس المنحنى المعرف بهاتين المعادلتين البارامتريتين، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا وأقل من أو يساوي أربعة، هو التكامل الموضح.
في المثال التالي، سنرى كيف نوجد قيمة أحد هذه التعبيرات.
أوجد طول المنحنى الذي معادلتاه البارامتريتان ﺱ يساوي ثلاثة جتا ﻥ ناقص جتا ثلاثة ﻥ وﺹ يساوي ثلاثة جا ﻥ ناقص جا ثلاثة ﻥ، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي 𝜋.
نتذكر أن الصيغة التي استخدمناها لإيجاد طول القوس لمنحنى معرف بارامتريًّا لقيم ﻥ من 𝛼 إلى 𝛽 هي التكامل المحدد بين 𝛼 و𝛽 للجذر التربيعي لـ ﺩﺱ على ﺩﻥ تربيع زائد ﺩﺹ على ﺩﻥ تربيع بالنسبة إلى ﻥ. في هذه الحالة، ﺱ يساوي ثلاثة جتا ﻥ ناقص جتا ثلاثة ﻥ وﺹ يساوي ثلاثة جا ﻥ ناقص جا ثلاثة ﻥ. وما يعنينا هنا هو طول المنحنى بين ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي 𝜋.
إذن، سنجعل 𝛼 يساوي صفرًا و𝛽 يساوي 𝜋. وعلينا أيضًا إيجاد قيمتي ﺩﺱ على ﺩﻥ وﺩﺹ على ﺩﻥ. وبما أننا نتعامل مع تعبيرات لدوال مثلثية، نتذكر مشتقتي جتا ﺃﻥ وجا ﺃﻥ. وهما سالب ﺃ جا ﺃﻥ وﺃ جتا ﺃﻥ، على الترتيب، لقيم ﺃ الثابتة الحقيقية. ويعني ذلك أن ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي سالب ثلاثة جا ﻥ ناقص سالب ثلاثة جا ثلاثة ﻥ. وبالطبع، هذا سيصبح زائد ثلاثة جا ثلاثة ﻥ. وبالمثل، ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي ثلاثة جتا ﻥ ناقص ثلاثة جتا ثلاثة ﻥ.
وقبل التعويض بهاتين القيمتين في الصيغة، سيكون علينا تربيعهما وإيجاد مجموعهما. سالب ثلاثة جا ﻥ زائد ثلاثة جا ثلاثة ﻥ الكل تربيع يساوي تسعة جا تربيع ﻥ ناقص ١٨ جا ﻥ في جا ثلاثة ﻥ زائد تسعة جا تربيع ثلاثة ﻥ. وثلاثة جتا ﻥ ناقص ثلاثة جتا ثلاثة ﻥ الكل تربيع يساوي تسعة جتا تربيع ﻥ ناقص ١٨ جتا ﻥ جتا ثلاثة ﻥ زائد تسعة جتا تربيع ثلاثة ﻥ. نتذكر هنا أن المتطابقة المثلثية جا تربيع ﻥ زائد جتا تربيع ﻥ يساوي واحدًا. ونلاحظ أن لدينا تسعة جا تربيع ﻥ زائد تسعة جتا تربيع ﻥ. وهذا حتمًا يساوي تسعة. وبالمثل، لدينا تسعة جا تربيع ثلاثة ﻥ زائد تسعة جتا تربيع ثلاثة ﻥ، وهو ما يساوي أيضًا تسعة. ولدينا أيضًا سالب ١٨ في جا ﻥ جا ثلاثة ﻥ زائد جتا ﻥ جتا ثلاثة ﻥ. كل ما فعلناه هنا هو إخراج سالب ١٨ عاملًا مشتركًا.
بعد ذلك، سنستخدم المتطابقة المثلثية جتا ﺃ ناقص ﺏ يساوي جتا ﺃ جتا ﺏ زائد جا ﺃ جا ﺏ. وهذا يعني أن جا ﻥ جا ثلاثة ﻥ زائد جتا ﻥ جتا ثلاثة ﻥ يساوي حتمًا جتا ثلاثة ﻥ ناقص ﻥ، وهو ما يساوي بالطبع جتا اثنين ﻥ. إذن، يصبح ذلك ١٨ ناقص ١٨ جتا اثنين ﻥ. وبذلك، نجد أن طول القوس يساوي التكامل المحدد بين صفر و𝜋 للجذر التربيعي لـ ١٨ ناقص ١٨ جتا اثنين ﻥ ﺩﻥ.
دعونا نفرغ مساحة ونوجد قيمة هذا التكامل. في الحقيقة، لا يزال حساب التكامل للجذر التربيعي لـ ١٨ ناقص ١٨ جتا اثنين ﻥ ليس من السهل حسابه إلى حد ما. لذا، نتذكر حقيقة أن جتا اثنين ﻥ يساوي اثنين جتا تربيع ﻥ ناقص واحد. نعوض عن جتا اثنين ﻥ بهذا المقدار ثم نوزع الأقواس. والدالة التي سنكاملها تساوي الآن الجذر التربيعي لـ ٣٦ ناقص ٣٦ جتا تربيع ﻥ. نأخذ ٣٦ عاملًا مشتركًا ثم نعيد ترتيب المتطابقة جا تربيع ﻥ زائد جتا تربيع ﻥ يساوي واحدًا. إذن، واحد ناقص جتا تربيع ﻥ يساوي جا تربيع ﻥ. والدالة التي سنكاملها هي ستة في الجذر التربيعي لـ جا تربيع ﻥ، وهو ما يساوي بالطبع ستة جا ﻥ.
عندما نكامل ستة جا ﻥ، نحصل على سالب ستة جتا ﻥ. إذن، طول القوس يساوي سالب ستة جتا ﻥ بين هذين الحدين. وهذا يساوي سالب ستة جتا 𝜋 ناقص سالب ستة جتا صفر، وهو ما يساوي ١٢. بذلك نكون قد أوجدنا طول قوس المنحنى المطلوب، وهو ١٢ وحدة. وكما هو متوقع، لا تصلح هذه الطريقة مع المنحنيات المعرفة بالمعادلات المثلثية فقط، وإنما تصلح أيضًا مع المنحنيات المعرفة بالمعادلات الأسية واللوغاريتمية.
أوجد طول المنحنى الذي معادلتاه البارامتريتان ﺱ يساوي ﻫ أس ﻥ ناقص ﻥ وﺹ يساوي أربعة ﻫ أس ﻥ على اثنين، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي اثنين.
نعرف أن الصيغة المستخدمة لإيجاد طول القوس للمنحنيات المعرفة بارامتريًّا، حيث قيم ﻥ أكبر من أو يساوي 𝛼 وأقل من أو يساوي 𝛽، هي التكامل المحدد بين 𝛼 و𝛽 للجذر التربيعي لـ ﺩﺱ على ﺩﻥ تربيع زائد ﺩﺹ على ﺩﻥ تربيع بالنسبة إلى ﻥ. في هذه الحالة، ما يعنينا هو طول المنحنى، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي اثنين. لذا، سنجعل 𝛼 يساوي صفرًا و𝛽 يساوي اثنين. والمعادلتان البارامتريتان لدينا هما ﺱ يساوي ﻫ أس ﻥ ناقص ﻥ وﺹ يساوي أربعة ﻫ أس ﻥ على اثنين.
ويتضح من ذلك أن علينا حساب ﺩﺱ على ﺩﻥ وﺩﺹ على ﺩﻥ. نتذكر أولًا أن مشتقة ﻫ أس ﻥ تساوي ﻫ أس ﻥ. ومشتقة سالب ﻥ تساوي سالب واحد. إذن، ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي ﻫ أس ﻥ ناقص واحد. سنستخدم الآن قاعدة السلسلة لاشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﻥ. سنجعل ﻉ تساوي ﻥ على اثنين. ومن ثم فإن ﺩﻉ على ﺩﻥ يساوي نصفًا. إذن، ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ في ﺩﻉ على ﺩﻥ. وﺹ يساوي أربعة ﻫ أس ﻉ. إذن ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي أربعة ﻫ أس ﻉ في نصف، وهو ما يساوي اثنين ﻫ أس ﻉ. لكننا نريد ﺩﺹ على ﺩﻥ بدلالة ﻥ. لذا، نعوض عن ﻉ بـ ﻥ على اثنين. ونجد بذلك أن ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي اثنين ﻫ أس ﻥ على اثنين.
في الحقيقة عند استخدام صيغة طول القوس، علينا تربيع ﺩﺱ على ﺩﻥ وﺩﺹ على ﺩﻥ. لذلك فإن ما سنفعله هو تربيع كل من هذين المقدارين. عند فعل ذلك، نجد أن ﻫ أس ﻥ ناقص واحد تربيع يساوي ﻫ أس اثنين ﻥ ناقص اثنين ﻫ أس ﻥ زائد واحد. وﺩﺹ على ﺩﻥ تربيع يساوي أربعة ﻫ أس ﻥ. والآن نعوض بكل القيم التي أوجدناها في هذه الصيغة لإيجاد طول القوس. وسنحصل على التكامل المحدد بين صفر واثنين للجذر التربيعي لـ ﻫ أس اثنين ﻥ ناقص اثنين ﻫ أس ﻥ زائد واحد زائد أربعة ﻫ أس ﻥ بالنسبة إلى ﻥ.
نلاحظ أن سالب اثنين ﻫ أس ﻥ زائد أربعة ﻫ أس ﻥ يساوي اثنين ﻫ أس ﻥ. وهذا جيد؛ إذ نلاحظ أنه يمكننا تحليل ﻫ أس اثنين ﻥ زائد اثنين ﻫ أس ﻥ زائد واحد مثلما نفعل نوعًا ما مع المقدار التربيعي. فنحصل على ﻫ أس ﻥ زائد واحد في ﻫ أس ﻥ زائد واحد أو ﻫ أس ﻥ زائد واحد تربيع. وبالطبع، الجذر التربيعي لـ ﻫ أس ﻥ زائد واحد تربيع هو ﻫ أس ﻥ زائد واحد. وعندما نكامل ﻫ أس ﻥ، نحصل على ﻫ أس ﻥ. وتكامل واحد يساوي ﻥ.
هذا يعني أن طول القوس يساوي ﻫ تربيع زائد اثنين ناقص ﻫ أس صفر زائد صفر. وبالطبع، ﻫ أس صفر يساوي واحدًا. وبالتالي، نبسط ذلك إلى ﻫ أس اثنين زائد واحد. إذن، طول المنحنى الذي معادلتاه البارامتريتان لقيم ﻥ من صفر إلى اثنين هو ﻫ أس اثنين زائد واحد من الوحدات.
في هذا الفيديو، تعلمنا أن المنحنى المعرف بارامتريًّا بالمعادلتين ﺱ يساوي ﺩﻥ وﺹ يساوي ﺭﻥ يكون طول قوسه لقيم ﻥ أكبر من أو يساوي 𝛼 وأقل من أو يساوي 𝛽 يساوي التكامل المحدد بين 𝛼 و𝛽 للجذر التربيعي لـ ﺩﺱ على ﺩﻥ تربيع زائد ﺩﺹ على ﺩﻥ تربيع بالنسبة إلى ﻥ. وفي هذه الحالة، يجب أن تكون ﺩ شرطة وﺭ شرطة دالتين متصلتين على الفترة المغلقة من 𝛼 إلى 𝛽. ورأينا أنه يجب علينا التذكر أيضًا أنه في حالة المعادلات البارامترية، يمكن أن يلف المنحنى حول نفسه. وفي هذه الحالة، علينا تحديد مجال ﻥ حيث يرسم القوس مرة واحدة فقط.
