فيديو السؤال: إيجاد قيم المجاهيل باستخدام المساحات وخواص المحددات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت النقاط ﺃ واحد، ﺱ؛ وﺏﺹ، واحد؛ وﺟ ثلاثة، سالب واحد؛ وﺩ اثنين، خمسة، فأوجد قيمتي ﺱ وﺹ إذا كانت مساحة المثلث ﺃﺏﺟ تساوي وحدتين مربعتين، وكانت النقاط ﺏ وﺟ وﺩ تقع على استقامة واحدة.

في هذا السؤال، لدينا أربع نقاط هي: ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ، ونلاحظ أن كلًّا من النقطتين ﺃ وﺏ لهما قيمة إحداثي مجهولة. علينا إيجاد قيمتي هذين الإحداثيين المجهولين باستخدام المعطيات. نعرف من المعطيات أن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ تساوي وحدتين مربعتين، ونعرف أيضًا أن النقاط ﺏ وﺟ وﺩ تقع على استقامة واحدة. ويوجد العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا من خلالها إيجاد قيمتي ﺱ وﺹ، لكننا سنتناول واحدة منهما فقط.

يمكننا أن نبدأ بملاحظة أنه يمكننا حساب مساحة مثلث من إحداثيات رءوسه وتحديد إذا ما كانت ثلاث نقاط تقع على استقامة واحدة باستخدام محددات. لذا، سنجيب عن هذا السؤال باستخدام المحددات. قد يكون من المغري أن نبدأ بأول معلومة لدينا، وهي أن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ تساوي وحدتين مربعتين. ولكن اثنين من رءوس هذا المثلث هما ﺃ وﺏ، ولا نعرف قيمة ﺱ أو قيمة ﺹ. من ثم سيصبح لدينا تعبيرًا يتضمن مجهولين. لذا بدلًا من ذلك، باستخدام حقيقة أن النقاط ﺏ وﺟ وﺩ تقع على استقامة واحدة، سنوجد تعبيرًا يتضمن ﺹ فقط.

سنبدأ بتذكر أنه إذا كانت ثلاث نقاط: ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان؛ وﺱ ثلاثة، ﺹثلاثة؛ تقع على استقامة واحدة، فإن قيمة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة: ﺱ واحد، ﺹ واحد، واحد، ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، واحد، ﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة، واحد؛ يجب أن تساوي صفرًا. ونظرًا لأننا نعرف أن النقاط ﺏ وﺟ وﺩ تقع على استقامة واحدة، يمكننا التعويض بقيم إحداثياتها في هذه المعادلة. ينتج عن هذا أن قيمة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة ﺹ: واحد، واحد، ثلاثة، سالب واحد، واحد، اثنان، خمسة، واحد؛ يجب أن تساوي صفرًا.

والآن، يمكننا إيجاد قيمة ﺹ من خلال إيجاد قيمة المحدد. لنفعل ذلك، نفك قوسي الصف الأول. تذكر أن زوجية أو فردية مجموع رقم الصف ورقم العمود ستغير إشارة الحد. وفي هذه الحالة على وجه التحديد، نضرب الحد الأول في موجب واحد، والحد الثاني في سالب واحد، والحد الثالث في موجب واحد. لنحصل على ﺹ في المحدد سالب واحد، واحد، خمسة، واحد ناقص المحدد ثلاثة، واحد، اثنان، واحد زائد المحدد ثلاثة، سالب واحد، اثنان، خمسة. والآن، لم يتبق لنا سوى حساب قيمة هذا التعبير.

تذكر أنه لإيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، علينا إيجاد الفرق بين حاصل ضرب القطرين. من ثم نحصل على ﺹ في سالب واحد ناقص خمسة ناقص ثلاثة ناقص اثنين زائد ١٥ زائد اثنين. وإذا قمنا بالتوزيع والتبسيط، نحصل على سالب ستة ﺹ ناقص واحد زائد ١٧. وتذكر أن هذا يساوي صفرًا. وأخيرًا، يمكننا إيجاد قيمة ﺹ. سالب واحد زائد ١٧ يساوي ١٦. نطرح ١٦ من كلا طرفي المعادلة، ثم نقسم الطرفين على سالب ستة. بعدها نجد أن ﺹ يساوي سالب ١٦ مقسومًا على سالب ستة، وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح ثمانية مقسومًا على ثلاثة.

والآن بعد أن أوجدنا قيمة ﺹ، يمكننا استخدام مساحة المثلث ﺃﺏﺟ لإيجاد قيمة ﺱ. لنفعل ذلك، نبدأ بإفراغ بعض المساحة مع الوضع في اعتبارنا أن ﺹ يساوي ثمانية على ثلاثة. علينا الآن أن نتذكر كيف نوجد مساحة مثلث بمعلومية إحداثيات رءوسه باستخدام المحددات. نتذكر أن مساحة المثلث الذي رءوسه ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ ﺱ اثنان، ﺹ اثنان؛ ﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة؛ تساوي نصف القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة: ﺱ واحد، ﺹ واحد، واحد؛ ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، واحد؛ ﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة، واحد.

ومن ثم، يمكننا التعويض بإحداثيات ﺃ وﺏ وﺟ في هذه الصيغة لإيجاد مساحة المثلث. ينتج عن هذا أن مساحة المثلث تساوي نصفًا في القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة: واحد، ﺱ، واحد؛ ثمانية على ثلاثة، واحد، واحد؛ ثلاثة، سالب واحد، واحد. ونعلم من السؤال أن مساحة هذا المثلث تساوي وحدتين مربعتين؛ لذا هذا يجب أن يساوي اثنين.

نريد الآن الحل لإيجاد قيمة ﺱ. سنبدأ بضرب كلا طرفي المعادلة في اثنين. والآن، علينا إيجاد قيمة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. وسنفعل ذلك مرة أخرى عن طريق فك المحدد باستخدام الصف الأول. ينتج عن هذا أربعة يساوي القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: واحد، واحد؛ سالب واحد، واحد ناقص ﺱ في محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: ثمانية على ثلاثة، واحد؛ ثلاثة، واحد زائد محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: ثمانية على ثلاثة، واحد؛ ثلاثة، سالب واحد.

بعد ذلك، سنوجد قيمة محدد المصفوفات من الرتبة اثنين في اثنين. نحسب الفرق بين حاصل ضرب القطرين. ينتج عن هذا أن أربعة يساوي القيمة المطلقة لواحد زائد واحد ناقص ﺱ في ثمانية على ثلاثة ناقص ثلاثة زائد سالب ثمانية على ثلاثة ناقص ثلاثة. والآن، سنوزع على الأقواس لدينا ونبسط. لنحصل على أربعة يساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ على ثلاثة ناقص ١١ على ثلاثة. والآن كل ما علينا فعله هو حل معادلة القيمة المطلقة هذه. لتسهيل الأمر، سنبدأ بأخذ العامل ثلث وكتابته خارج رمز القيمة المطلقة. لنحصل على أربعة يساوي ثلثًا في القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص ١١. ويمكننا تبسيط ذلك أكثر من خلال ضرب كلا طرفي المعادلة في ثلاثة. لنحصل على ١٢ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص ١١.

وأخيرًا، لكي تساوي القيمة المطلقة لعدد ما ١٢، فإما أن هذا العدد هو ١٢ أو سالب ١٢. بعبارة أخرى، الحلان الوحيدان لهذه المعادلة هما: عندما يكون ﺱ ناقص ١١ يساوي ١٢، أو عندما يكون ﺱ ناقص ١١ يساوي سالب ١٢. ويمكننا حل هاتين المعادلتين كل على حدة. في المعادلة الأولى، نضيف ١١ إلى كلا الطرفين؛ لنحصل على ﺱ يساوي ٢٣. وفي المعادلة الثانية، نضيف ١١ إلى كلا الطرفين؛ لنحصل على ﺱ يساوي سالب واحد. وهذا يعطينا الإجابة النهائية: ﺱ يمكن أن يساوي ٢٣ أو سالب واحد، وﺹ لا بد أن يساوي ثمانية على ثلاثة.