فيديو السؤال: إيجاد قيمة محدد من الرتبة الثالثة في مصفوفة معطاة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة محدد المصفوفة واحد، اثنان، ثلاثة؛ ثلاثة، اثنان، اثنان؛ صفر، تسعة، ثمانية.

حسنًا، في هذه المسألة، المطلوب منا هو إيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة. لإيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة، لدينا قاعدة عامة. إذا ألقينا نظرة هنا، فسنرى أن لدينا مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، ﻫ، ﻭ، ﺯ، ﺣ، ﻁ. توضح لنا هذه الخطوط الرأسية أننا نتعامل مع المحدد. يعني هذا محدد المصفوفة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، ﻫ، ﻭ، ﺯ، ﺣ، ﻁ.

ولإيجاد قيمة المحدد، فإنه يساوي ﺃ — لأنه الحد الأول في الصف الأول — مضروبًا في محدد المصفوفة الفرعية التي تتكون عند حذف الصف والعمود اللذين يوجد فيهما ﺃ. ومن ثم، ستكون المصفوفة الفرعية ﻫ، ﻭ، ﺣ، ﻁ، أي ﺃ مضروبًا في الحد الموجود في هذه المصفوفة الفرعية. ثم ناقص ﺏ. وذلك لأن لدينا نمطًا للمعاملات. لذا، نختار كلًّا من الحدود الأولى في الصف الأول. لكنها تتبع النمط: موجب، سالب، موجب.

ولذا، كما ذكرت سابقًا، سيكون ناقص ﺏ مضروبًا في المصفوفة الفرعية التي رتبتها اثنان في اثنين، والتي تتكون إذا حذفت العمود والصف اللذين يوجد فيهما ﺏ. موجب ﺟ مضروبًا في المصفوفة الفرعية التي رتبتها اثنان في اثنين، هو محدد هذه المصفوفة، التي عناصرها ﺩ، ﻫ، ﺯ، ﺣ. رائع، أصبحنا نعرف الآن كيفية الحل. لنواصل العمل ونوجد قيمة محدد المصفوفة المذكورة في المسألة.

يمكننا القول إنه باستخدام القاعدة السابقة، يمكن حساب محدد المصفوفة واحد، اثنان، ثلاثة؛ ثلاثة، اثنان، اثنان؛ صفر، تسعة، ثمانية من خلال ضرب واحد في محدد المصفوفة الفرعية التي رتبتها اثنان في اثنين: اثنان، اثنان، تسعة، ثمانية ناقص اثنين مضروبًا في محدد المصفوفة الفرعية التي رتبتها اثنان في اثنين: ثلاثة، اثنان، صفر، ثمانية زائد ثلاثة مضروبًا في محدد المصفوفة الفرعية: ثلاثة، اثنان، صفر، تسعة. وسألقي نظرة على الجزء الثالث فقط لتذكير أنفسنا بكيفية إيجاد ذلك.

اخترنا العدد ثلاثة لأنه الحد الثالث في الصف العلوي. وهو يحمل إشارة موجبة؛ لأن النمط يسير على النحو الآتي: العمود الأول موجب، والعمود الثاني سالب، والعمود الثالث موجب، وهكذا. وأوجدنا المصفوفة الفرعية: ثلاثة، اثنان، صفر، تسعة، من خلال حذف الصف والعمود اللذين يوجد فيهما العدد ثلاثة. ثم لدينا ثلاثة، اثنان، صفر، تسعة.

رائع. والآن، لنوجد قيمة ذلك المحدد. لحساب قيمة محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، علينا إيجاد محددات المصفوفات الفرعية التي رتبتها اثنان في اثنين. لنفعل ذلك، نستخدم القاعدة العامة الآتية. إذا كان لدينا محدد المصفوفة: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، فإنه يساوي ﺃ مضروبًا في ﺩ ناقص ﺏ مضروبًا في ﺟ. سنستخدم هذه القاعدة لإيجاد قيمة محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة.

أولًا، سنضرب واحدًا فيما يلي. لدينا اثنان مضروبًا في ثمانية — واللذان يمثلان الرمزين ﺃ وﺩ — ناقص اثنين مضروبًا في تسعة، أي ﺏ وﺟ. بعد ذلك، سيكون لدينا ناقص اثنين مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ثمانية ناقص اثنين مضروبًا في صفر، وأخيرًا موجب ثلاثة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في تسعة ناقص اثنين مضروبًا في صفر.

رائع. أصبح لدينا الآن صورة تمكننا من الاستمرار وإيجاد قيمة المحدد. سيعطينا هذا سالب اثنين. وذلك لأن اثنين مضروبًا في ثمانية يساوي ١٦، أي ١٦ ناقص ١٨، لأن اثنين مضروبًا في تسعة يساوي ١٨، نحصل على سالب اثنين. وهذه القيمة مضروبة في واحد تساوي سالب اثنين. إذن، سالب اثنين ناقص ٤٨ زائد ٨١، يساوي ٣١. ومن ثم، يمكننا القول إن محدد المصفوفة واحد، اثنان، ثلاثة؛ ثلاثة، اثنان، اثنان؛ صفر، تسعة، ثمانية يساوي ٣١.