نسخة الفيديو النصية
أوجد مجموعة حل ﺱ زائد ١٧ على ﺱ يساوي ستة في مجموعة الأعداد الحقيقية، مقربًا إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
في هذا السؤال، قد لا يتضح مباشرة كيف يمكننا حل المعادلة. إحدى طرق الحل التي تنجح عادة هي محاولة التخلص من أي كسور أولًا. إذا ضربنا الحد الثاني ١٧ على ﺱ في ﺱ، فسنجد أن كلا الرمزين ﺱ لدينا سيحذفان معًا. ونتيجة لذلك، سنبدأ الحل بضرب طرفي المعادلة في ﺱ. عند فك القوسين في الطرف الأيمن بالتوزيع، نجد أن ﺱ مضروبًا في ﺱ يساوي ﺱ تربيع. وكما ذكرنا من قبل، ضرب ﺱ في ١٧ على ﺱ يعطينا ١٧ﺱ على ﺱ، وهو ما يبسط إلى ١٧. الطرف الأيمن من المعادلة هو ﺱ تربيع زائد ١٧، وهذا يساوي ستة ﺱ.
بعد ذلك، يمكننا طرح ستة ﺱ من طرفي المعادلة. وهذا يعطينا ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد ١٧ يساوي صفرًا. هذه معادلة تربيعية مكتوبة على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. إحدى طرق حل معادلة من هذا النوع عندما يكون ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت، وﺃ لا يساوي صفرًا، هي استخدام القانون العام. وهو ينص على أن ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسوم على اثنين ﺃ. في هذه المعادلة، معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا. ومن ثم ﺃ يساوي واحدًا. ومعامل ﺱ هو سالب ستة، إذن ﺏ يساوي سالب ستة. والحد الثابت ﺟ يساوي ١٧. بالتعويض بهذه القيم، نحصل على ﺱ يساوي سالب سالب ستة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لسالب ستة تربيع ناقص أربعة مضروبًا في واحد مضروبًا في ١٧ الكل مقسوم على اثنين مضروبًا في واحد.
في هذه المرحلة، تجدر الإشارة إلى نقطتين أساسيتين. أولًا، لكي يكون لهذه المعادلة حلول حقيقية، نعلم أن قيمة ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ، التي تعرف باسم «المميز»، يجب أن تكون أكبر من أو تساوي صفرًا. هذا لأنه لا توجد حلول حقيقية للجذر التربيعي لعدد سالب. ومن المهم أيضًا ملاحظة أنه عند تربيع أي عدد سالب على الآلة الحاسبة، يجب أن نضع العدد بين قوسين. فإذا كتبنا ببساطة سالب ستة تربيع، فسنحصل على الإجابة سالب ٣٦. لكننا نعلم أنه عند تربيع أي عدد سالب، يجب أن نحصل على إجابة موجبة. مربع سالب ستة يساوي ٣٦؛ لأننا نضرب سالب ستة في نفسه.
تبسط المعادلة إلى ﺱ يساوي ستة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ٣٦ ناقص ٦٨ الكل مقسوم على اثنين. ٣٦ ناقص ٦٨ يساوي سالب ٣٢. وبما أن الجذر التربيعي لسالب ٣٢ ليس له حلول حقيقية، فلن تكون هناك حلول حقيقية لهذه المعادلة التربيعية. وهذا يعني أن الحل هو المجموعة الخالية. إذن، لا توجد حلول حقيقية للمعادلة ﺱ زائد ١٧ على ﺱ يساوي ستة.
