تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إكمال المربع

أحمد لطفي

يوضح الفيديو طريقة إكمال المربع، وكيفية استخدامها في حل المعادلات التربيعية المختلفة.

١٢:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم عن إكمال المربع، وهنشوف إزاي هنقدر نستخدم طريقة إكمال المربع في حل المعادلات التربيعية.

في البداية هنقول إن جميع المعادلات التربيعية يمكن حلها باستخدام خاصية الجذر التربيعي. وعشان نقدر نستخدم خاصية الجذر التربيعي، محتاجين نعمل معالجة للمعادلة عشان نقدر نحصل على طرف يحتوي على مقدار جبري مربع كامل، والطريقة دي اسمها إكمال المربع. يبقى المعالجة اللي هنعملها على المعادلة عشان نحصل على طرف يحتوي على مقدار جبري مربع كامل، اسمها إكمال المربع.

عشان نقدر نكمِل مربع لأي مقدار تربيعي على صورة س تربيع زائد ب س هنستخدم تلات خطوات: الخطوة الأولى إننا نِوجد نصف العدد ب اللي هو مُعامل س، والخطوة التانية نربّع الناتج اللي حصلنا عليه من الخطوة الأولى، والخطوة التالتة هنجمع الناتج اللي حصلنا عليه من الخطوة التانية على س تربيع زائد ب س. يعني بالنسبة لـ س تربيع زائد ب س، أول خطوة هنِوجد نصف العدد ب، اللي هو ب على اتنين. تاني خطوة هنربّع ناتج الخطوة الأولى، اللي هو هيبقى ب على اتنين الكل تربيع. تالت خطوة هنجمع الناتج على س تربيع زائد ب س، يبقى س تربيع زائد ب س زائد ب على اتنين الكل تربيع. ويبقى كده قدرنا نكتب المقدار التربيعي في صورة مربع كامل، وهيبقى س تربيع زائد ب س زائد ب على اتنين الكل تربيع، هنكتبها في صورة س زائد ب على اتنين الكل تربيع، ونقدر نستخدم خاصية الجذر التربيعي في إيجاد ناتج المعادلة التربيعية.

ويبقى كده المعالجة اللي عملناها على المعادلة عشان نحصل على مقدار جبري مربع كامل اسمها إكمال المربع. في صفحة جديدة هناخد مثال، لو عندنا مثال بالشكل ده، اوجد قيمة جـ اللي بتجعل المقدار س تربيع زائد ستاشر س زائد جـ مربعًا كاملًا، ومطلوب إننا نكتب المقدار الجبري المكون من ثلاثة حدود في صورة مربع كامل. يبقى الخطوة الأولانية هنِوجد نصف مُعامل س، يعني هنِوجد نصف العدد ستاشر؛ يبقى نصف العدد ستاشر هو عبارة عن ستاشر على اتنين يعني هيساوي تمنية. الخطوة التانية هنربّع ناتج الخطوة الأولى، يبقى هنربّع ناتج الخطوة الأولى، يعني تمنية تربيع هيساوي أربعة وستين. تالت خطوة هنجمع الناتج على س تربيع زائد ستاشر س، هيبقى عندنا س تربيع زائد ستاشر س زائد أربعة وستين. وعشان نقدر نكتب المقدار الجبري المكون من ثلاثة حدود في صورة مربع كامل، فهيكون في صورة س زائد تمنية الكل أُس اتنين، ويبقى كده قدرنا نكتب المقدار الجبري المكون من ثلاثة حدود في صورة مربع كامل.

في صفحة جديدة هناخد مثال آخر، لو عندنا مثال بالشكل ده، مطلوب حل المعادلة س تربيع زائد عشرة س ناقص حداشر بتساوي صفر عن طريق إكمال المربع. فالمعادلة عندنا س تربيع زائد عشرة س ناقص حداشر بتساوي صفر، هنجمع حداشر على الطرفين، فهيكون عندنا س تربيع زائد عشرة س بتساوي حداشر. هنستخدم طريقة إكمال المربع، فهيبقى عندنا الطرف الأيمن س تربيع زائد عشرة س، هنجمع عليه نص مُعامل س، يعني عشرة على اتنين الكل تربيع بتساوي حداشر … وزي ما ضِفنا مقدار في الطرف الأيمن، لازم نضيف نفس المقدار في الطرف الأيسر؛ يبقى زائد عشرة على اتنين الكل تربيع، فهيبقى عندنا س تربيع زائد عشرة س زائد … عشرة على اتنين بتساوي خمسة، خمسة تربيع هتساوي خمسة وعشرين؛ هتساوي حداشر زائد خمسة وعشرين، يعني س تربيع زائد عشرة س زائد خمسة وعشرين هتساوي ستة وتلاتين. الطرف الأيمن س تربيع زائد عشرة س زائد خمسة وعشرين ممكن أكتبها في صورة س زائد خمسة الكل تربيع هيساوي ستة وتلاتين. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، هيكون عندنا س زائد خمسة بتساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لستة وتلاتين، يعني س زائد خمسة هتساوي موجب أو سالب …، والجذر التربيعي لستة وتلاتين هتساوي ستة، هنطرح خمسة من الطرفين، فهيكون عندنا س بتساوي سالب خمسة زائد أو ناقص ستة. ومن هنا يكون عندنا قيمتين لـ س؛ أول قيمة س بتساوي سالب خمسة زائد ستة، وتاني قيمة س بتساوي سالب خمسة ناقص ستة. بالنسبة لأول قيمة س بتساوي سالب خمسة زائد ستة يعني س بتساوي واحد. وبالنسبة لتاني قيمة س بتساوي سالب خمسة ناقص ستة يعني س بتساوي سالب حداشر.

وبالتالي مجموعة الحل هتساوي المجموعة سالب حداشر وواحد، أو ممكن نكتبها في صورة المجموعة س؛ حيث س بتساوي سالب حداشر وواحد.

ويبقى كده قدرنا نحل المعادلة س تربيع زائد عشرة س ناقص حداشر بتساوي صفر عن طريق إكمال المربع.

هناخد مثال آخر، لو عندنا مثال بالشكل ده، مطلوب حل المعادلة اتنين س تربيع ناقص سبعة س زائد خمسة بتساوي صفر عن طريق إكمال المربع. هنلاحظ إن مُعامل س تربيع مش بيساوي واحد، وعشان نقدر نخلي مُعامل س تربيع بيساوي واحد، هنقسم المعادلة كلها على مُعامل س تربيع؛ يعني المعادلة اتنين س تربيع ناقص سبعة س زائد خمسة بتساوي صفر. هنقسم الطرفين على اتنين، فهيكون عندنا س تربيع ناقص سبعة على اتنين س زائد خمسة على اتنين بيساوي صفر. هنطرح خمسة على اتنين من الطرفين، فهيكون عندنا س تربيع ناقص سبعة على اتنين س بتساوي سالب خمسة على اتنين. وعشان نقدر نستخدم طريقة إكمال المربع، فهنجمع على الطرف الأيمن والطرف الأيسر نص مُعامل س مرفوع لأُس اتنين، يعني س تربيع ناقص سبعة على اتنين س زائد سالب سبعة على أربعة الكل تربيع هيساوي سالب خمسة على اتنين زائد سالب سبعة على أربعة الكل تربيع؛ يعني س تربيع ناقص سبعة على اتنين س زائد تسعة وأربعين على ستاشر هيساوي سالب خمسة على اتنين زائد تسعة وأربعين على ستاشر؛ يعني س تربيع ناقص سبعة على اتنين س زائد تسعة وأربعين على ستاشر هيساوي تسعة على ستاشر.

هنكتب الطرف الأيمن في صورة س ناقص سبعة على أربعة الكل تربيع هيساوي تسعة على ستاشر. وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين، هيكون عندنا س ناقص سبعة على أربعة هيساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لتسعة على ستاشر. هنجمع سبعة على أربعة على الطرفين، فهيكون عندنا س بتساوي سبعة على أربعة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لتسعة على ستاشر هيساوي تلاتة على أربعة. وبالتالي هيكون عندنا قيمتين لـ س؛ أول قيمة إن س بتساوي سبعة على أربعة زائد تلاتة على أربعة، يعني س بتساوي خمسة على اتنين؛ وتاني قيمة إن س بتساوي سبعة على أربعة ناقص تلاتة على أربعة، يعني س بتساوي واحد؛ وبالتالي مجموعة الحل هتساوي خمسة على اتنين وواحد، أو ممكن نكتبها في صورة المجموعة س؛ حيث س بتساوي خمسة على اتنين وواحد.

هنلاحظ إن حلول المعادلات التربيعية في المثالين هي حلول حقيقية، طيب بالنسبة لحلول المعادلات التربيعية اللي بتكون أعداد مركبة، في صفحة جديدة هناخد مثال لمعادلات تربيعية حلولها أعداد مركبة، فعندنا مثال بالشكل ده، مطلوب حل المعادلة س تربيع زائد تمنية س زائد اتنين وعشرين بتساوي صفر عن طريق إكمال المربع. فأول خطوة س تربيع زائد تمنية س زائد اتنين وعشرين بتساوي صفر هنطرح اتنين وعشرين من الطرفين، فهيكون عندنا س تربيع زائد تمنية س بتساوي سالب اتنين وعشرين. هنجمع عَ الطرف الأيمن والطرف الأيسر نص مُعامل س مرفوع لأُس اتنين، يعني س تربيع زائد تمنية س زائد تمنية على اتنين الكل أُس اتنين هيساوي سالب اتنين وعشرين زائد تمنية على اتنين الكل أُس اتنين، يعني س تربيع زائد تمنية س زائد ستاشر هيساوي سالب ستة. هنكتب الطرف الأيمن في صورة س زائد أربعة الكل تربيع هيساوي سالب ستة. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، هيكون عندنا س زائد أربعة بيساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لسالب ستة، يعني س زائد أربعة هيساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لستة مضروبة في ت. هنطرح أربعة من الطرفين، فهيكون عندنا س بتساوي سالب أربعة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لستة مضروبة في ت، يعني عندنا قيمتين لـ س؛ أول قيمة س بتساوي سالب أربعة زائد الجذر التربيعي لستة مضروب في ت، وتاني قيمة س بتساوي سالب أربعة ناقص الجذر التربيعي لستة مضروب في ت.

وبالتالي مجموعة الحل هتساوي سالب أربعة زائد الجذر التربيعي لستة في ت، وسالب أربعة ناقص الجذر التربيعي لستة في ت، أو ممكن نكتب مجموعة الحل في صورة س؛ حيث س بتساوي سالب أربعة زائد الجذر التربيعي لستة في ت، وسالب أربعة ناقص الجذر التربيعي لستة في ت.

ويبقى كده عرفنا إزاي نقدر نستخدم طريقة إكمال المربع في حل المعادلات التربيعية.