نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنرى كيف نحل المعادلات التربيعية ذات المعاملات المركبة. أي كيف نحل معادلة بالصورة 𝑎𝑥 تربيع زائد 𝑏𝑥 زائد 𝑐 يساوي صفرًا، حيث 𝑎 و𝑏 و𝑐 قد تكون أعدادًا مركبة.
تذكر أن مميز المعادلة التربيعية 𝑎𝑥 تربيع زائد 𝑏𝑥 زائد 𝑐 يساوي صفرًا، هو 𝑏 تربيع ناقص أربعة 𝑎𝑐. ويرمز عادة للمميز برمز 𝛥 كبير. في المعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية، يتيح لنا المميز تحديد طبيعة جذورها.
وهناك ثلاثة احتمالات. إذا كان المميز موجبًا، فسيكون لدينا جذران حقيقيان. وإذا كان المميز صفرًا، فسيكون لدينا جذر حقيقي متكرر. أما إذا كان المميز سالبًا، فسيكون لدينا زوج مترافق مركب من الجذور المركبة. ولكن لا ينطبق ذلك إلا إذا كانت معاملات المعادلة التربيعية حقيقية، أي إذا كان 𝑎 و𝑏 و𝑐 جميعها أعدادًا حقيقية.
سنشاهد ما يمكننا أن نقوله إذا كان 𝑎 و𝑏 و𝑐 أعدادًا مركبة. ولكن دعنا نرى أولًا كيف نحل معادلة تربيعية معاملاتها مركبة. لدينا المعادلة المعروفة 𝑎𝑧 تربيع زائد 𝑏𝑧 زائد 𝑐 يساوي صفرًا. ولكن المختلف هنا هو أن المعاملات 𝑎 و𝑏 و𝑐 قد تكون أعدادًا مركبة.
الآن، إذا كان 𝑎 و𝑏 و𝑐 معاملات حقيقية، يمكننا ببساطة تطبيق القانون العام. ولكن قد لا يكون واضحًا أنه يمكن تطبيق القانون العام أيضًا عندما يكون 𝑎 و𝑏 و𝑐 أعدادًا مركبة. هيا نعيد استنتاج القانون العام عن طريق إكمال المربع، لنتأكد من أن كل خطوة نجريها ستكون صحيحة عندما يكون 𝑎 و𝑏 و𝑐 أعدادًا مركبة وليست أعدادًا حقيقية فقط.
يمكننا قسمة الطرفين على 𝑎 لنجعل معامل 𝑧 تربيع مساويًا للواحد. نريد الآن إكمال المربع، بكتابة 𝑧 تربيع زائد 𝑏 على 𝑎 𝑧 في صورة قوس تربيعي. سنحصل على 𝑧 زائد قيمة ما الكل تربيع. وهذه القيمة تساوي نصف معامل 𝑧، أي نصف 𝑏 على 𝑎، وهو ما يساوي 𝑏 على اثنين 𝑎. وإذا فككنا القوس، فسنحصل بالفعل على 𝑧 تربيع زائد 𝑏 على 𝑎 𝑧. ولكننا نحصل أيضًا على الحد 𝑏 تربيع على أربعة 𝑎 تربيع. علينا أن نطرح هذا الحد كي نحصل على 𝑧 تربيع زائد 𝑏 على 𝑎 𝑧. نجري هذا التعويض ونحن على يقين من أن كل خطوات الحل صحيحة بالنسبة للأعداد المركبة مثلما هي بالنسبة للأعداد الحقيقية.
يمكننا الآن طرح الحدين الثابتين من كلا الطرفين. ثم يمكننا جمع الكسرين في الطرف الأيمن، لنحصل على 𝑏 تربيع ناقص أربعة 𝑎𝑐 على أربعة 𝑎 تربيع. نصل الآن إلى جزء صعب، حيث علينا أخذ الجذر التربيعي للطرفين. يتضح أن الإجابة هي ما توقعناه من خلال تعاملنا مع الأعداد الحقيقية. ويمكننا التحقق من ذلك بملاحظة أنه عند تربيع السطر الأخير، نحصل على السطر السابق له. وحسب النظرية الأساسية في الجبر، لا يمكن أن تكون هناك أي حلول لم ننتبه إليها. لدينا كثيرة حدود من الدرجة الثانية، لذا نتوقع جذرين. ونحصل على هذين الجذرين باحتمالين موجب وسالب في الطرف الأيمن. ليس هناك أي احتمالات أخرى.
كل ما تبقى هو أن نطرح 𝑏 على اثنين 𝑎 من كلا الطرفين. ثم سنحصل على القانون العام الذي نعرفه ونستخدمه. 𝑧 يساوي سالب 𝑏 زائد أو ناقص جذر 𝑏 تربيع ناقص أربعة 𝑎𝑐 الكل على اثنين 𝑎. هيا نرى بعض أمثلة تطبيقات هذا القانون.
حل ثلاثة 𝑧 تربيع زائد خمسة 𝑖𝑧 ناقص اثنين يساوي صفرًا.
يمكننا حل هذه المسألة باستخدام القانون العام. ينص القانون على أن حل المعادلة التربيعية 𝑎𝑧 تربيع زائد 𝑏𝑧 زائد 𝑐 يساوي صفرًا، هو 𝑧 يساوي سالب 𝑏 زائد أو ناقص جذر 𝑏 تربيع ناقص أربعة 𝑎𝑐 الكل على اثنين 𝑎. وهذا القانون قابل للتطبيق حتى إذا كانت المعاملات 𝑎 و𝑏 و𝑐 أعدادًا مركبة وليست فقط أعدادًا حقيقية. إذن، يمكننا تطبيقه على هذه المسألة.
ما هو سالب 𝑏؟ حسنًا، معامل 𝑧 هو خمسة 𝑖. إذن، سالب خمسة 𝑖. ثم زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ 𝑏 تربيع، وهو بالطبع خمسة 𝑖 تربيع. ويمكننا أن نطرح من ذلك أربعة في 𝑎، وهو ثلاثة، في 𝑐، وهو سالب اثنين. وأخيرًا، نقسم على اثنين 𝑎، و𝑎 بالتأكيد يساوي ثلاثة.
الآن، كل ما علينا فعله هو التبسيط. ما من شيء نفعله مع سالب خمسة 𝑖 حتى الآن. لكن خمسة 𝑖 تربيع يساوي سالب 25. وأربعة في ثلاثة في سالب اثنين يساوي سالب 24. واثنان في ثلاثة يساوي ستة بالتأكيد. يمكننا تبسيط ما تحت الجذر أكثر. سالب 25 ناقص سالب 24 يساوي سالب 25 زائد 24، وهو ما يساوي سالب واحد. يمكننا ملاحظة أن لدينا مميزًا سالبًا هنا. ونحن نعرف الجذر التربيعي لسالب واحد. إنه 𝑖. إذن، الحلان هما 𝑧 يساوي سالب أربعة 𝑖 على ستة و𝑧 يساوي سالب ستة 𝑖 على ستة. يمكننا تبسيط هذين الحلين إلى 𝑧 يساوي سالب ثلثي 𝑖 و𝑧 يساوي سالب 𝑖.
لاحظ أنه على الرغم من أن لدينا مميزًا سالبًا هنا، فالحلان ليسا مترافقين مركبين. إذا كان لمعادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية مميز سالب، فسنحصل على حلين مترافقين مركبين. ولكن ذلك ليس مؤكدًا عند وجود معامل غير حقيقي كما في هذه المسألة.
حل 𝑧تربيع زائد اثنين زائد 𝑖 في 𝑧 زائد 𝑖 يساوي صفرًا.
سنستخدم القانون العام، ونعوض بالمعاملات 𝑎 و𝑏 و𝑐. يمكننا تبسيط ما تحت الجذر. اثنان زائد 𝑖 تربيع يساوي اثنين تربيع، أي أربعة، زائد اثنين في اثنين في 𝑖، وهو ما يساوي أربعة 𝑖، زائد 𝑖 تربيع، وهو ما يساوي سالب واحد. ثم نطرح أربعة في واحد في 𝑖، وهو ما يساوي أربعة 𝑖. نلاحظ أن حدي 𝑖 سيلغي كل منهما الآخر. وسيتبقى فقط أربعة ناقص واحد، وهو ما يساوي ثلاثة، تحت الجذر.
لاحظ أن المميز موجب هنا. يمكننا التبسيط أكثر من ذلك. اثنان في واحد في المقام يساوي اثنين فقط. ثم يمكننا توزيع الإشارة السالبة على القوس. بالتوزيع ثم ترتيب الحدود، نحصل على سالب اثنين زائد أو ناقص جذر ثلاثة ناقص 𝑖 على اثنين. إذن، الحلان هما 𝑧 يساوي سالب اثنين زائد جذر ثلاثة على اثنين ناقص 𝑖 على اثنين، و𝑧 يساوي سالب اثنين ناقص جذر ثلاثة على اثنين ناقص 𝑖 على اثنين.
لاحظ أنه على الرغم من وجود مميز موجب في المعادلة، لم نحصل على حلين حقيقيين. إذا كان لمعادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية مميز موجب، فسنحصل على حلين حقيقيين. ولكن المعادلة التربيعية هنا فيها بعض المعاملات غير الحقيقية. وكما لاحظنا، لا ينبغي أن نتوقع الحصول على جذرين حقيقيين.
حل اثنين زائد ثلاثة 𝑖 في 𝑧 تربيع زائد أربعة 𝑧 ناقص ستة 𝑖 زائد أربعة يساوي صفرًا.
سنستخدم القانون العام. نعوض بقيم المعاملات 𝑎 و𝑏 و𝑐. ويمكننا التبسيط الآن. في المقام، نحصل على أربعة زائد ستة 𝑖. في البسط، نحصل على سالب أربعة زائد أو ناقص جذر كبير. وداخل هذا الجذر، أربعة تربيع يساوي 16. ونطرح من هذا العدد أربعة في حاصل ضرب 𝑎 في 𝑐. بعد التوزيع، نلاحظ أن حدي 𝑖 يلغي كل منهما الآخر. ويتبقى فقط ثمانية زائد 18، وهو ما يساوي 26. و 16 ناقص أربعة في 26 يساوي سالب 88.
لاحظ أن المميز سالب هنا. الجذر التربيعي لسالب 88 يساوي 𝑖 في الجذر التربيعي لـ 88 أو اثنين 𝑖 في الجذر التربيعي لـ 22. قد تنخدع وتظن أن هذا هو الحل النهائي. لكننا نود أن تكون المقامات أعدادًا حقيقية إن أمكن. يمكن أن تكون كذلك بضرب كل من البسط والمقام في المرافق المركب لهذا المقام.
لنفعل ذلك مع الجذر الأول. نجري التوزيع في البسط والمقام أيضًا. ونلاحظ في المقام أن حدي 𝑖 يلغي كل منهما الآخر، وبذلك يتبقى فقط مربع مقياس العدد المركب في المقام. وهو أربعة تربيع زائد ستة تربيع. نحسب قيمة المقام ثم نجمع الأجزاء الحقيقية والتخيلية معًا في البسط. ونلاحظ أنه يمكننا حذف العامل المشترك أربعة. بالتالي، يمكننا كتابة الجذر الأول في أبسط صورة كما هو موضح. ويمكننا كذلك استخدام العملية نفسها لتبسيط الجذر الثاني.
لاحظ أنه على الرغم من وجود مميز سالب في المعادلة التربيعية، فهذان الجذران ليسا مترافقين مركبين. ولا يمتلكان الأجزاء الحقيقية نفسها حتى.
أوجد حل 𝑧 تربيع ناقص أربعة زائد أربعة 𝑖 𝑧 زائد ثمانية 𝑖 يساوي صفرًا.
سنستخدم القانون العام. نعوض بقيم المعاملات 𝑎 و𝑏 و𝑐. تحت علامة الجذر، سالب أربعة زائد أربعة 𝑖 تربيع، يصبح 16 زائد 32𝑖 ناقص 16، وهو ما يساوي 32𝑖 فقط. ثم نطرح أربعة في واحد في ثمانية 𝑖، أي 32𝑖، ما يعني أن لدينا صفرًا تحت الجذر. ولدينا في المقام اثنان. عندما نعيد كتابة ذلك دون اختصارات، نلاحظ أن المميز هنا صفر. والجذر التربيعي لصفر هو صفر. إذن، لن نجمع أو نطرح أي عدد، ما يعني أن لدينا جذرًا واحدًا فقط. 𝑧 يساوي أربعة زائد أربعة 𝑖 على اثنين، أي اثنان زائد اثنان 𝑖.
طبقًا للنظرية الأساسية في الجبر، لا بد أن يكون ذلك جذرًا متكررًا. ويمكنك التحقق من ذلك. نلاحظ أن هذه المعادلة التربيعية لها جذر واحد متكرر غير حقيقي. نستنتج من ذلك أنه عندما يكون المميز صفرًا، فإننا نضمن وجود جذر متكرر. إذا كانت معاملات المعادلة التربيعية حقيقية، فلا بد وأن يكون الجذر نفسه حقيقيًّا. ولكن إذا كانت المعاملات مركبة، فقد تكون الجذور مركبة.
يمكننا التحقق من ذلك بالنظر إلى القانون العام. إذا جعلنا المميز صفرًا، فسيتبقى 𝑧 يساوي سالب 𝑏 على اثنين 𝑎 فقط. وهي قيمة الجذر المتكرر. إذا كان المعاملان 𝑏 و𝑎 حقيقيين، فإن الجذر المتكرر، سالب 𝑏 على اثنين 𝑎، يجب أن يكون حقيقيًّا أيضًا. لكن إذا كان 𝑎 أو 𝑏 أو كلاهما غير حقيقي، فقد يكون سالب 𝑏 على اثنين 𝑎 غير حقيقي أيضًا.
في الأمثلة التي تناولناها في هذا الفيديو حتى الآن، كان المميز حقيقيًّا دائمًا. ولكن يجب اختيار الأعداد بدقة حتى يتحقق ذلك. بوجه عام، يمكن أن تكون المميزات غير حقيقية. هيا نرى مثالًا.
أوجد حل واحد زائد اثنين 𝑖 في 𝑧 تربيع ناقص ثلاثة زائد 𝑖 يساوي صفرًا. قرب إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.
نظرًا لعدم وجود حد به 𝑧، فمن غير المعقول أن نستخدم القانون العام. ولكن ما يمكننا فعله هو طرح سالب ثلاثة زائد 𝑖 من كلا الطرفين ثم قسمة كلا الطرفين على واحد زائد اثنين 𝑖 لنجد أن 𝑧 تربيع يساوي ثلاثة ناقص 𝑖 على واحد زائد اثنين 𝑖.
الآن، كل ما علينا فعله هو إيجاد الجذر التربيعي لهذا العدد المركب. لكن أولًا، سنضرب البسط والمقام في المرافق المركب للمقام. يمكننا التوزيع ثم التبسيط. لنحصل على خمس ناقص سبعة أخماس 𝑖.
والآن، كيف نوجد الجذر التربيعي لهذا العدد؟ حسنًا، يمكننا كتابته في الصورة القطبية ثم نطبق نظرية ديموافر لإيجاد الجذور. ما مقياس هذا العدد المركب؟ نجد أنه جذر اثنين. ونظرًا لأن هذا العدد المركب يقع في الربع الرابع، فإن سعته تساوي الدالة العكسية للظل لجزئه التخيلي على جزئه الحقيقي. نجد أن السعة تساوي الدالة العكسية لـ tan سالب سبعة. بالتالي، يمكننا كتابة العدد المركب بصورته القطبية.
نظرية ديموافر لإيجاد الجذور تعطينا الجذر 𝑛 للعدد المركب بصورته القطبية. ونحن نبحث عن الجذور التربيعية، لذا، 𝑛 يساوي اثنين. بتطبيق هذه الصيغة على المثال، حيث 𝑟 يساوي جذر اثنين و𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ tan سالب سبعة، نحصل على ما يلي. بكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على 𝑧 يساوي 0.898 ناقص 0.779𝑖 و𝑧 يساوي سالب 0.898 زائد 0.779𝑖 مقربًا لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.
حل 𝑧 تربيع زائد اثنين ناقص اثنين 𝑖 𝑧 ناقص سبعة زائد 26𝑖 يساوي صفرًا.
نستخدم القانون العام. نعوض بقيم المعاملات 𝑎 و𝑏 و𝑐. نبسط ما تحت علامة الجذر، مع ملاحظة وجود عمليات حذف. سالب ثمانية 𝑖 زائد 28 زائد 104𝑖 يساوي 28 زائد 96𝑖. نلاحظ أن لدينا تحت الجذر عددين من مضاعفات العدد أربعة. لذا يمكننا قسمة الحدين على مضاعفي العدد أربعة هذين وإخراج العامل المشترك اثنين خارج علامة الجذر. وبذلك سنتمكن من التخلص من العدد اثنين الذي في المقام. إذن، نحصل على سالب واحد زائد 𝑖 زائد أو ناقص الجذر التربيعي لسبعة زائد 24𝑖.
نستخدم نظرية ديموافر لإيجاد الجذور التربيعية. لكننا نحتاج أولًا إلى كتابة سبعة زائد 24𝑖 بالصورة القطبية. مقياس العدد هو 25 وسعته هي الدالة العكسية لـ tan 24 على سبعة. وتخبرنا نظرية ديموافر للجذور بطريقة إيجاد الجذور التربيعية.
فمقياس الجذر التربيعي هو الجذر التربيعي لهذا المقياس. إذن، الناتج هو الجذر التربيعي لـ 25، وهو ما يساوي خمسة. علينا أن نقسم السعة على اثنين. سعة الجذر التربيعي تساوي الدالة العكسية لـ tan 24 على سبعة، مقسومة على اثنين. بكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نجد أن cos هذه القيمة يساوي 0.8 وsin هذه القيمة يساوي 0.6. بعد الضرب في المقياس خمسة، نجد أننا نجمع أو نطرح أربعة زائد ثلاثة 𝑖. إذن، الجذران هما 𝑧 يساوي ثلاثة زائد أربعة 𝑖 و𝑧 يساوي سالب خمسة ناقص اثنين 𝑖.
ونظرًا لأن المميز مركب هنا، كان علينا استخدام نظرية ديموافر لإيجاد الجذرين التربيعيين. لقد أوجدنا بالفعل أحد الجذرين التربيعيين باستخدام نظرية ديموافر. ولكننا نعلم أن الجذر الآخر يلزم أن يكون عكسه في الإشارة. فلدينا هنا إشارة زائد أو ناقص.
ها هي النقاط الرئيسية التي تناولها هذا الفيديو. يمكننا حل المعادلات التربيعية ذات المعاملات المركبة باستخدام القانون العام. إذا كان المميز صفرًا، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد متكرر. بخلاف المعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية، هذا الجذر المتكرر ليس حقيقيًّا بالضرورة. إذا كانت قيمة المميز لا تساوي صفرًا، فلدينا جذران مختلفان. إذن، نلاحظ أن المميز يخبرنا بما إذا كانت المعادلة التربيعية لها جذر متكرر أم جذران مختلفان.
لاحظنا أنه في المعادلات التربيعية ذات المعاملات الحقيقية، تخبرنا إشارة المميز بما إذا كانت الجذور حقيقية أم غير حقيقية. إذا كان المميز موجبًا، فلدينا جذران حقيقيان مختلفان. وإذا كان المميز يساوي صفرًا، فلدينا جذر حقيقي واحد متكرر. وإذا كان المميز سالبًا، فلدينا جذران مترافقان مركبان. لا ينطبق ذلك على المعادلات التربيعية ذات المعاملات المركبة. إذ لا يمكن أن نستخدم إشارة المميز لتحديد ما إذا كانت الجذور حقيقية أم غير حقيقية. فكل ما يمكننا استنتاجه من إشارة المميز هو ما إذا كان لدينا جذر واحد متكرر أم جذران مختلفان. وفي الحقيقة، بوجه عام، لا يكون المميز عددًا حقيقيًّا بالضرورة.
