فيديو السؤال: تكوين المعادلات التربيعية في أبسط صورة باستخدام العلاقة بين معاملاتها وجذورها الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻝ وﻡ جذري المعادلة ﺱ تربيع ناقص ١٣ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا، فأوجد المعادلة التربيعية التي جذراها ﻝ زائد واحد وﻡ زائد واحد، في أبسط صورة.

دعونا نبدأ بتذكر العلاقة بين المعادلة التربيعية على هذه الصورة؛ حيث يكون معامل ﺱ تربيع هو واحدًا، وجذري هذه المعادلة. عندما تكون لدينا معادلة على هذه الصورة؛ أي إن لدينا معادلة تربيعية تساوي صفرًا؛ حيث معامل الحد ﺱ تربيع يساوي واحدًا، فيمكننا القول إن سالب معامل الحد ﺱ يساوي مجموع جذري المعادلة، وإن الحد الثابت يساوي حاصل ضرب الجذرين.

نعرف أن ﻝ وﻡ هما جذرا المعادلة ﺱ تربيع ناقص ١٣ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا. مجموع هذين الجذرين يجب أن يكون مجموع ﻝ وﻡ؛ أي ﻝ زائد ﻡ. وهذا يساوي سالب معامل ﺱ. حسنًا، معامل ﺱ هنا هو سالب ١٣. ومن ثم، فإن ﻝ زائد ﻡ يجب أن يساوي موجب ١٣. وبعد ذلك، حاصل ضرب هذين الجذرين هو ﻝ في ﻡ. وهذا يساوي الحد الثابت. لذا، هذا يساوي سالب خمسة.

وبذلك يصبح لدينا معادلتان في المتغيرين ﻝ وﻡ. المعادلة الأولى هي ﻝ زائد ﻡ يساوي ١٣، والمعادلة الثانية هي ﻝ في ﻡ يساوي سالب خمسة. يمكننا حل هاتين المعادلتين آنيًّا، ولكننا نريد إيجاد معادلة تربيعية جذراها ﻝ زائد واحد وﻡ زائد واحد. لذا، إذا استطعنا إيجاد مجموع ﻝ زائد واحد وﻡ زائد واحد، وإيجاد قيمة حاصل ضرب هذين المقدارين، فسنتمكن من كتابة هذه المعادلة التربيعية مباشرة.

دعونا نلق نظرة على المعادلة الأولى، وهي ﻝ زائد ﻡ يساوي ١٣. وسنعيد صياغة هذه المعادلة؛ بحيث تتضمن الجذرين الجديدين. وهما ﻝ زائد واحد زائد ﻡ زائد واحد. وهذا يساوي ﻝ زائد ﻡ زائد اثنين. وعليه، إذا كان ﻝ زائد ﻡ يساوي ١٣، فإن ﻝ زائد ﻡ زائد اثنين يجب أن يساوي ١٣ زائد اثنين، وهو ما يساوي ١٥. إذن مجموع جذري المعادلة الجديدة هو ١٥. وسنعوض بذلك في الصورة العامة بعد قليل.

لكن ماذا سنفعل فيما يتعلق بحاصل ضرب هذين الجذرين؟ حسنًا، حاصل ضرب الجذرين الجديدين هو ﻝ زائد واحد في ﻡ زائد واحد. هيا نفك هذه الأقواس بالطريقة المعتادة. نضرب الحد الأول من كل مقدار معًا لنحصل على ﻝﻡ. بعد ذلك، نضرب الطرفين، وهما ﻝ في واحد يساوي ﻝ، ثم الوسطين، وهما واحد في ﻡ يساوي ﻡ. وأخيرًا، نضرب الحد الأخير في كل مقدار. حسنًا، واحد في واحد يساوي واحدًا. إذن حاصل ضرب الجذرين الجديدين هو ﻝﻡ زائد ﻝ زائد ﻡ زائد واحد.

لكن تذكر أن ﻝﻡ يساوي سالب خمسة، وﻝ زائد ﻡ يساوي ١٣. ومن ثم، فإن هذا التعبير بأكمله سيساوي سالب خمسة زائد ١٣ زائد واحد، وهو ما يساوي تسعة. إذن في المعادلة التربيعية الجديدة، مجموع الجذرين يساوي ١٥، وحاصل ضربهما يساوي تسعة. بالتعويض بهاتين القيمتين في الصيغة الأصلية، نجد أن المعادلة هي كما هو موضح. المعادلة التي نريد إيجادها هي ﺱ تربيع ناقص ١٥ﺱ زائد تسعة يساوي صفرًا.