فيديو الدرس: العجلة العلوم • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد عجلة الأجسام التي تغير سرعتها خلال حركتها. ترتبط العجلة بالتغير في السرعة. ولدراسة هذه الفكرة، دعونا نفترض أن لدينا جسمًا هنا على مسار حيث يمكن لهذا الجسم أن يتحرك على امتداده. فيظهر الجسم، بناء على حركته، في مواضع مختلفة على امتداد المسار في أزمنة مختلفة. لنفترض أنه عند الزمن صفر ثانية، يكون الجسم هنا، وبمرور الزمن يظل في المكان نفسه. إذن بعد مرور ثانية واحدة، ثم ثانيتين، ثم ثلاث ثوان، وهكذا، يظل الجسم في مكانه. وبناء على ذلك، نستنتج أن الجسم يتحرك بسرعة ثابتة، وأن هذه السرعة تساوي صفرًا. فيظل الجسم في مكانه فحسب. وهذا أمر غير مثير للاهتمام.

لكن لنفترض الآن أن لدينا جسمًا آخر نتتبع حركته. في البداية، نلاحظ أن هذا الجسم أيضًا موجود في الطرف الأيسر من المسار. لكن بعد مرور ثانية واحدة، أصبح الجسم هنا. وبعد ثانيتين، وصل إلى هنا. وبعد ثلاث ثوان، أصبح موضعه هنا، ويستمر على هذا المنوال على امتداد المسار. خلال كل فترة زمنية تساوي ثانية واحدة، يقطع الجسم المسافة نفسها. هذا يعني أن المسافة التي يقطعها بين صفر ثانية وثانية واحدة تساوي المسافة التي يقطعها بين ثانية واحدة وثانيتين، وهكذا لكل ثانية إضافية يتحرك خلالها. إذن هذا الجسم يتحرك بسرعة ثابتة. لكن هذه السرعة لا تساوي صفرًا.

دعونا نفترض الآن أن لدينا جسمًا آخر يبدو موضعه بمرور الزمن على هذا النحو. كما هو الحال مع الجسمين الآخرين، يبدأ هذا الجسم في التحرك عند صفر ثانية. لكن هذه هي مواضعه على المسار بعد مرور ثانية واحدة، ثم ثانيتين، ثم ثلاث ثوان من الزمن. ما الذي يمكننا قوله عن حركة هذا الجسم؟ لفهم حركة هذا الجسم، دعونا نضع علامات على المسار لتوضيح المسافة. لنفترض أن الأمتار على المسار تبدو بهذا الشكل. إذن بعد ثانية واحدة قطع الجسم مسافة متر واحد، وبعد ثانيتين قطع أربعة أمتار، وبعد ثلاث ثوان قطع تسعة أمتار. بمعلومية ذلك، يمكننا حساب سرعة الجسم خلال كل فترة زمنية تساوي ثانية واحدة. خلال الثانية الأولى، تحرك الجسم مسافة متر واحد. إذن بين صفر ثانية وثانية واحدة، كانت السرعة المتوسطة للجسم مترًا واحدًا لكل ثانية.

لكن دعونا نلق نظرة على الفترة بين ثانية واحدة وثانيتين. خلال هذه الفترة، تحرك الجسم من مسافة متر واحد إلى أربعة أمتار. هذا فرق مقداره ثلاثة أمتار في ثانية واحدة. هذا يثبت أن سرعة الجسم تتغير بمرور الزمن. فهي ليست سرعة ثابتة كما كان الحال في المثالين السابقين. حينما يتحرك جسم بسرعة متغيرة، فهذا يعني أنه يتحرك بعجلة. في الحقيقة، يمكننا تعريف العجلة بأنها التغير في السرعة بمرور الزمن.

هذا التعريف يعبر بالكلمات عما يمكننا التعبير عنه أيضًا في صورة معادلة رياضية. إذا استخدمنا الحرف ﻉ لتمثيل السرعة، والحرف ﺯ لتمثيل الزمن، والحرف ﺟ لتمثيل العجلة، وإذا رمزنا إلى التغير باستخدام الحرف اليوناني Δ، يمكننا إذن تجميع هذه الرموز معًا على الصورة ﺟ تساوي Δﻉ على Δﺯ. رياضيًّا، يعني ذلك ما عبرت عنه هذه الكلمات بالضبط. العجلة هي التغير في السرعة بمرور الزمن.

بمعلومية ذلك، لننظر مرة أخرى إلى هذه الأجسام التي تناولناها فيما سبق. تذكر أن هذا الجسم لم يكن يتحرك على الإطلاق. فكانت له سرعة ثابتة تساوي صفرًا. هذا يعني أنه بالنسبة إلى هذا الجسم، Δﻉ أو التغير في السرعة يساوي صفرًا، وهذا يعني أن عجلته تساوي صفرًا أيضًا. ماذا عن هذا الجسم؟ هذا الجسم تحرك بسرعة لا تساوي صفرًا، لكن تذكر أن سرعته كانت ثابتة. فمع أن الجسم يتحرك، تظل قيمة التغير في السرعة صفرًا. إذن هذا الجسم أيضًا يتحرك بعجلة تساوي صفرًا. لكن بالنسبة إلى الجسم الأخير، نعلم أن هناك تغيرًا في سرعته بمرور الزمن. فقد رأينا أن السرعة المتوسطة للجسم زادت من متر لكل ثانية إلى ثلاثة أمتار لكل ثانية.

لذا، دعونا نوجد عجلة هذا الجسم الأخير. التغير في سرعته، Δﻉ، يساوي ثلاثة أمتار لكل ثانية ناقص متر لكل ثانية. والآن ما قيمة Δﺯ، أي التغير في الزمن؟ للوهلة الأولى، قد نعتقد أنه يساوي هذا الزمن هنا، أي ثانيتين، ناقص زمن بداية حركة الجسم هنا، أي صفر ثانية. لكن علينا أن ننتبه. ففي الواقع، التغير في السرعة من متر واحد إلى ثلاثة أمتار لكل ثانية حدث خلال الفترة الزمنية من ثانية واحدة إلى ثانيتين. ويرجع ذلك إلى أنه عند هذه اللحظة، أي بعد مرور ثانية واحدة، يمكننا القول إن السرعة المتوسطة للجسم تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية. هذا يعني أن Δﺯ في هذه المعادلة يساوي ثانيتين ناقص ثانية واحدة. إذن الكسر لدينا يساوي ثلاثة ناقص واحد أو مترين لكل ثانية في البسط، واثنين ناقص واحد أو ثانية واحدة في المقام.

والآن لاحظ الوحدتين في هذا التعبير. لدينا متر لكل ثانية مقسومًا على الثانية، أي متر لكل ثانية لكل ثانية. توضح لنا هاتان الوحدتان أن ما نحسبه هو التغير في السرعة بمرور الزمن. في هذه الحالة، وحدة السرعة هي المتر لكل ثانية، ووحدة الزمن هي الثانية. توجد طريقة لتبسيط هاتين الوحدتين قليلًا. لنضرب مقام هذا الكسر في واحد مقسومًا على ثانية. وبما أننا فعلنا ذلك بالمقام، فلنفعل الشيء نفسه مع البسط. في المقام، عندما نضرب ثانية في واحد على ثانية، فهذا مماثل لضرب المتغير 𝑥 في واحد مقسومًا على 𝑥. حاصل ضرب هاتين القيمتين يساوي ثانية على ثانية. وهذا يساوي واحدًا.

وفي البسط، نضرب وحدة المتر في واحد، ووحدتي الثانية معًا. هذا يساوي مترًا مقسومًا على ثانية في ثانية، أي مترًا على ثانية تربيع. ولأن العدد واحدًا في المقام لا يغير الكسر، يمكننا حذفه. وبهذا، نكون قد بسطنا وحدتي القياس إلى متر لكل ثانية تربيع. كل هذا يعني أن هذا الكسر هنا يساوي اثنين على واحد متر لكل ثانية تربيع، أي مترين لكل ثانية تربيع. هذه هي قيمة عجلة الجسم الثالث خلال أول ثانيتين من حركته.

بحل هذا المثال، نجد أنه توجد طريقة أخرى لكتابة هذه المعادلة العامة للعجلة. فيمكننا صياغتها بدلالة السرعة الابتدائية والنهائية للجسم. وقد فعلنا ذلك سابقًا عندما استخدمنا ثلاثة أمتار لكل ثانية، ومترًا واحدًا لكل ثانية. ومثلما يوجد ما يسمى السرعة الثابتة، وهي السرعة التي لا تتغير بمرور الزمن، توجد عجلة ثابتة أو منتظمة. لنفسح بعض المساحة هنا، ونر إذا ما كان الجسم الثالث يحافظ على هذه العجلة التي تساوي مترين لكل ثانية تربيع طوال فترة حركته.

نتذكر أن المسافات حددت على المسار بهذا الشكل. وما يعنينا الآن هو هذه الفترة الثالثة من الزمن التي تبدأ من ثانيتين إلى ثلاث ثوان. خلال هذه الفترة التي تساوي ثانية واحدة، تحرك الجسم مسافة خمسة أمتار، أي تسعة ناقص أربعة. وعليه، فإن السرعة المتوسطة للجسم تساوي خمسة أمتار لكل ثانية، خلال هذه الفترة المحددة التي تساوي ثانية واحدة. يمكننا الآن حساب عجلة الجسم بين الزمن ثانيتين والزمن ثلاث ثوان. هذه العجلة تساوي السرعة النهائية، وهي خمسة أمتار لكل ثانية، ناقص السرعة الابتدائية التي تساوي ثلاثة أمتار لكل ثانية، على فترة زمنية تساوي ثلاث ثوان ناقص ثانيتين. خمسة ناقص ثلاثة يساوي اثنين، وثلاثة ناقص اثنين يساوي واحدًا. إذن، مرة أخرى، نجد أن العجلة تساوي مترين لكل ثانية تربيع.

وعليه، يمكننا القول إن الجسم يتحرك بالعجلة نفسها. ومن ثم، فإن هذا الجسم يتحرك بعجلة منتظمة أو ثابتة. فسرعته تتغير، لكنها تتغير بالقدر نفسه خلال كل ثانية إضافية من الزمن. بعبارة أخرى، تغيرت المسافة من متر إلى ثلاثة أمتار لكل ثانية، بفارق مترين لكل ثانية على ثانية واحدة، ثم تغيرت من ثلاثة إلى خمسة أمتار لكل ثانية على ثانية واحدة، وهذا الفارق أيضًا يساوي مترين لكل ثانية. بمعرفة كل ما سبق عن العجلة، لنلق نظرة الآن على بعض الأمثلة.

املأ الفراغ. يتحرك جسم بعجلة عندما (فراغ) سرعته؛ (أ) تزداد، (ب) تقل، (ج) تزداد أو تقل.

لنفترض أن لدينا جسمًا هنا تزداد سرعته بمرور الزمن. هذا يعني أننا إذا نظرنا إلى موضع الجسم على فترات زمنية يساوي كل منها ثانية واحدة، فإن المسافات بين مواضع الجسم ستزداد. يمكننا أن نتذكر أن العجلة تعرف بأنها التغير في السرعة على التغير في الزمن. ومن ثم، فإن هذا الجسم الذي تزداد سرعته بمرور الزمن يتحرك بعجلة. لكن لاحظ أن تغير سرعة الجسم لا يعني بالضرورة أنها تزداد.

لنفترض أن لدينا جسمًا آخر هنا، وأننا نعلم مواضع هذا الجسم عند الزمن صفر، وثانية، وثانيتين، وثلاث ثوان. في هذا المثال، تقل المسافات بين مواضع الجسم بمرور الزمن. لكن سرعة الجسم، Δﻉ، تتغير. إذن يمكننا القول إن سرعة الجسم الوردي تقل. المسمى الذي يطلق على الجسم الذي تقل سرعته بمرور الزمن هو معدل التباطؤ. يمكننا التفكير في معدل التباطؤ على أنه عجلة سالبة. فهو نوع من العجلة. وبما أن سرعة الجسم تتغير، سواء ازدادت سرعته أو تناقصت، يمكننا الإجابة بأن الجسم يتحرك بعجلة عندما تزداد أو تقل سرعته.

لنتناول مثالًا آخر.

أي من الآتي وحدة صحيحة للعجلة؟ (أ) متر لكل ثانية، (ب) متر لكل ثانية تربيع، (ج) متر لكل ثانية الكل تربيع.

للبدء في حل هذه المسألة، دعونا نتذكر تعريف العجلة. رياضيًّا، العجلة هي التغير في السرعة، Δﻉ، مقسومًا على التغير في الزمن. لنفترض إذن أن لدينا جسمًا كان يتحرك عند زمن يساوي صفر ثانية بسرعة تساوي أربعة أمتار لكل ثانية. وبعد مرور ثانيتين، تحرك الجسم بسرعة سبعة أمتار لكل ثانية. يمكننا حساب عجلة الجسم باستخدام هذه العلاقة. وسنفعل ذلك كي نتمكن من معرفة وحدة العجلة. حسنًا، في بسط هذا الكسر، نريد وضع التغير في سرعة هذا الجسم. وهذا يساوي سرعته النهائية، وهي سبعة أمتار لكل ثانية، ناقص سرعته الابتدائية التي تساوي أربعة أمتار لكل ثانية.

بعد ذلك، لنفكر في Δﺯ، وهو الزمن المستغرق. وهذا يساوي ثانيتين ناقص صفر ثانية. إذن هذا الكسر، وهو عجلة الجسم، يساوي ثلاثة أمتار لكل ثانية مقسومًا على ثانيتين. وهنا سنركز على الوحدات فقط. لدينا وحدة السرعة، وهي متر لكل ثانية، مقسومة على وحدة الزمن، وهي الثانية. السؤال الآن هو: أي خيار من الخيارات الثلاثة يتوافق مع هذا؟ يمكننا أن نلاحظ على الفور أننا لن نختار الخيار (أ). فالمتر لكل ثانية هو وحدة السرعة، لا وحدة التغير في السرعة بمرور الزمن.

لمعرفة كيف نختار بين الخيارين (ب) و(ج)، دعونا نجر بعض التعديلات على هذا التعبير. لدينا الآن كسر هنا، ولدينا كسر هنا. يمكننا تعديلهما بحيث نتعامل مع كسر كلي واحد فقط. لفعل ذلك، سنضرب بسط هذا الكسر الكلي ومقامه في نفس القيمة. ويمكننا اختيار أي قيمة.

لكن إذا اخترنا قيمة معينة، وقررنا أن تساوي واحدًا على الثانية، فعند الضرب في المقام، نحصل على وحدة الثانية مقسومة على وحدة الثانية، وهو ما يمكن تبسيطه إلى واحد. ثم في البسط، نضرب المتر في واحد، والثانية في الثانية. وهذا يعطينا مترًا مقسومًا على ثانية في ثانية، أي مترًا لكل ثانية تربيع. قسمة المتر لكل ثانية تربيع على واحد لا يغير القيمة على الإطلاق. لذا، يمكننا حذف العدد واحد. وبذلك، يتبقى لدينا متر لكل ثانية تربيع، أي الخيار (ب).

لاحظ أن هذا يختلف عن الخيار (ج). ففي الخيار (ج)، لدينا متر لكل ثانية الكل تربيع، وهو ما يعني تربيع كل من البسط والمقام. وهذا يعطينا وحدة متر تربيع لكل ثانية تربيع، بينما وحدة القياس الصحيحة للعجلة هي متر لكل ثانية تربيع.

لنتناول الآن مثالًا أخيرًا.

تحركت سيارة من السكون بعجلة منتظمة. بعد التحرك بعجلة لمدة ثلاث ثوان، أصبحت سرعة السيارة ١٨ مترًا لكل ثانية. ما عجلة السيارة؟

لنفترض أن هذه النقطة هي السيارة. وإذا بدأنا في حساب الزمن عند صفر ثانية، فإننا نعرف أنه عند البداية، بما أن السيارة تحركت من السكون، فإن سرعتها تساوي صفر متر لكل ثانية. لكن بعد ثلاث ثوان، علمنا من المعطيات أن سرعة السيارة أصبحت ١٨ مترًا لكل ثانية. لكي نبدأ في إيجاد العجلة، دعنا نتذكر المعادلة الرياضية للعجلة. العجلة ﺟ لجسم ما تساوي سرعته النهائية، وسنسميها ﻉ اثنين، ناقص سرعته الابتدائية، الكل مقسوم على الزمن المستغرق لكي يغير الجسم سرعته من ﻉ واحد إلى ﻉ اثنين.

في هذا المثال، السرعة الابتدائية للجسم ﻉ واحد تساوي صفر متر لكل ثانية، وﻉ اثنان تساوي ١٨ مترًا لكل ثانية، والتغير في الزمن الذي يحدث خلاله هذا التغير في السرعة يساوي ثلاث ثوان ناقص صفر ثانية، أي ثلاث ثوان. إذن ستكون معادلة عجلة الجسم كالآتي: ١٨ مترًا لكل ثانية ناقص صفر متر لكل ثانية يساوي ١٨ مترًا لكل ثانية. و ١٨ مقسومًا على ثلاثة يساوي ستة. إذن بتبسيط وحدتي القياس، نحصل على ستة أمتار لكل ثانية تربيع. وهذه هي عجلة السيارة.

لنختتم الدرس الآن بمراجعة بعض النقاط الرئيسية. في هذا الفيديو، تعلمنا أن العجلة هي التغير في السرعة بمرور الزمن. ويمكننا التعبير عنها بالمعادلة: ﺟ تساوي Δﻉ على Δﺯ، أو ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد على Δﺯ. تعلمنا أيضًا أن العجلة تقاس بوحدة المتر لكل ثانية تربيع، وهي ناتج قسمة السرعة بوحدة المتر لكل ثانية على الزمن بوحدة الثانية. وأخيرًا، تعلمنا أن العجلة المنتظمة تعني أن سرعة الجسم تتغير بمقادير متساوية خلال فترات زمنية متساوية. وهذا ملخص درس العجلة.