فيديو الدرس: حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام حذف متغير الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل أنظمة من المعادلات الخطية باستخدام طريقة الحذف.

المعادلات الخطية هي معادلات أعلى قوة لكل متغير فيها تساوي واحدًا. وليس بها أيضًا أي حد يحتوي على متغيرات مختلفة مضروبة معًا. على سبيل المثال، المعادلة اثنان ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي سبعة تمثل معادلة خطية. فهي تتضمن متغيرين أو مجهولين، هما ﺱ وﺹ. وبما أنها تتضمن متغيرين، فلا يمكننا حل هذه المعادلة بمفردها؛ حيث نحتاج إلى مزيد من المعلومات.

إذا كان لدينا معادلة خطية ثانية تتضمن أيضًا هذين المتغيرين نفسيهما، مثل المعادلة خمسة ﺱ ناقص ﺹ يساوي تسعة، فسيكون لدينا الآن ما يطلق عليه نظام من المعادلات الخطية. بوجه عام، نحتاج إلى أن يكون عدد المعادلات والمتغيرات متساويًا. إذن، في هذا النظام، لدينا متغيران ﺱ وﺹ، ومعادلتان. ومن ثم، سنتمكن من حله لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ اللتين تحققان كلتا المعادلتين. توجد عدة طرق يمكننا استخدامها لإجراء ذلك. في هذا الفيديو، سنركز على طريقة الحذف. دعونا نلق نظرة على مجموعة من الأمثلة المختلفة، ولنبدأ بهذا المثال.

باستخدام الحذف، حل المعادلتين الآنيتين ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي ١٤، وستة ﺱ ناقص اثنين ﺹ يساوي ٢٢.

المعادلات الآنية هي مجرد طريقة أخرى للتعبير عن نظام المعادلات. نلاحظ أن لدينا معادلتين. وفي كل منهما المتغيران نفساهما ﺱ وﺹ. نعرف من المعطيات أن علينا استخدام طريقة الحذف للإجابة عن هذا السؤال. لذا دعونا نر كيف سيبدو هذا. يتمثل مبدأ هذه الطريقة في أنه يمكننا حذف أحد المتغيرين من المعادلتين أو التخلص منه. ويمكننا اختيار أن نحذف إما ﺱ أو ﺹ. لكن لتيسير الأمر، نلاحظ أن لدينا في هذا السؤال اثنين ﺹ في كلا المعادلتين. لكن في المعادلة رقم واحد، يضاف اثنان ﺹ إلى حد الـ ﺱ، وفي المعادلة رقم اثنين، يطرح ذلك من حد الـ ﺱ.

مفتاح الحل الذي علينا ملاحظته هو أنه إذا أردنا جمع هاتين المعادلتين بالكامل معًا، فسنحذف حد الـ ﺹ. دعونا نر كيف سيبدو ذلك. في الطرف الأيمن، ثلاثة ﺱ زائد ستة ﺱ يساوي تسعة ﺱ. لدينا بعد ذلك موجب اثنين ﺹ زائد سالب اثنين ﺹ. أي اثنان ﺹ ناقص اثنين ﺹ، وهو ما يساوي صفرًا. في الطرف الأيسر، لدينا ١٤ زائد ٢٢، وهو ما يساوي ٣٦. إذن، حذفنا حدود المتغير ﺹ وأوجدنا معادلة في ﺱ فقط. تسعة ﺱ يساوي ٣٦.

والآن بما أن المعادلة أصبحت بدلالة ﺱ فقط، فيمكننا حلها مباشرة لإيجاد قيمة ﺱ. لدينا تسعة ﺱ يساوي ٣٦؛ لذا علينا قسمة كلا طرفي المعادلة على تسعة. بذلك، نحصل على ﺱ يساوي أربعة. ومن ثم، نكون قد أوجدنا قيمة أحد المتغيرين. بعد ذلك، علينا إيجاد قيمة المتغير ﺹ. لفعل هذا، يمكننا التعويض بقيمة ﺱ التي أوجدناها في أي من المعادلتين. لا يهم أيهما نختار. سأختار استخدام المعادلة رقم واحد لأن معامل ﺹ موجب في هذه المعادلة؛ ومن ثم سيجعل ذلك الأمر أسهل.

إذن، بالتعويض بـ ﺱ يساوي أربعة نحصل على ثلاثة في أربعة زائد اثنين ﺹ يساوي ١٤. ثلاثة في أربعة يساوي ١٢ بالطبع. إذن، يصبح لدينا المعادلة ١٢ زائد اثنين ﺹ يساوي ١٤، وهي معادلة في ﺹ فقط. لحل هذه المعادلة، علينا أولًا طرح ١٢ من كلا الطرفين لنحصل على اثنين ﺹ يساوي اثنين، ثم نقسم كل طرف من طرفي المعادلة على اثنين لنحصل على ﺹ يساوي واحدًا. وهكذا أوجدنا أيضًا قيمة ﺹ. وبذلك، نكون قد توصلنا إلى حل المعادلتين الآنيتين. الحل هو زوج من القيم: ﺱ يساوي أربعة وﺹ يساوي واحدًا.

من الأفضل دائمًا التحقق من إجابتنا إن أمكن. ولكي نفعل ذلك، سنعوض بزوج القيم الذي أوجدناه لـ ﺱ وﺹ، في المعادلة التي لم نستخدمها عند تحديد القيمة الثانية. لذا سنعوض في المعادلة رقم اثنين. بالتعويض بـ ﺱ يساوي أربعة وبـ ﺹ يساوي واحدًا في الطرف الأيمن نحصل على ستة مضروبًا في أربعة ناقص اثنين مضروبًا في واحد. أي ٢٤ ناقص اثنين، وهو ما يساوي ٢٢. وهذه بالفعل القيمة التي ينبغي أن تكون لدينا في الطرف الأيسر من المعادلة. إذن، يؤكد هذا أن الحل صحيح.

والمبدأ الأساسي لطريقة الحذف في هذا السؤال هو ملاحظة أنه كان لدينا معامل ﺹ نفسه تقريبًا في كل معادلة، لكن أحدهما موجب والآخر سالب. ومن ثم، وجدنا أنه إذا ما أردنا جمع المعادلتين معًا، فسيحذف متغيرا ﺹ، وتتبقى معادلة في ﺱ فقط. الحل هو ﺱ يساوي أربعة وﺹ يساوي واحدًا.

في المثال التالي، سنرى كيف يمكن استخدام طريقة الحذف إذا لم نتمكن من حذف أحد المتغيرين بجمع المعادلتين معًا.

استخدم طريقة الحذف لحل المعادلتين الآنيتين التاليتين: ثلاثة ﺃ زائد اثنين ﺏ يساوي ١٤، أربعة ﺃ زائد اثنين ﺏ يساوي ١٦.

إذن، لدينا زوجان من المعادلات الآنية أو نظام من المعادلات الخطية في متغيرين هما ﺃ وﺏ. ونعرف من المعطيات أن علينا استخدام طريقة الحذف لحل هذا النظام من المعادلات. سنسمي المعادلتين المعادلة رقم واحد والمعادلة رقم اثنين لسهولة الإشارة إليهما. وبالنظر إلى المعادلتين، نلاحظ أولًا أن معامل ﺏ بهما هو نفسه بالضبط. كلاهما يحتوي على موجب اثنين ﺏ. ومن ثم، ربما يتبادر إلى ذهنك أنه يمكننا حذف المتغير ﺏ بجمع المعادلتين معًا. لكن دعونا نر كيف سيبدو ذلك.

في الطرف الأيمن، ثلاثة ﺃ زائد أربعة ﺃ يعطينا سبعة ﺃ. ثم لدينا موجب اثنين ﺏ زائد موجب اثنين ﺏ مرة أخرى؛ وهو ما يعطينا موجب أربعة ﺏ. وفي الطرف الأيسر، لدينا ١٤ زائد ١٦، وهو ما يساوي ٣٠. إذن، يصبح لدينا المعادلة سبعة ﺃ زائد أربعة ﺏ يساوي ٣٠. ما تزال هذه المعادلة تتضمن كلا المتغيرين؛ ومن ثم لم نحقق هدفنا المتمثل في حذف أحدهما؛ ما يعني أن جمع المعادلتين معًا لم يكن الخطوة الصحيحة التي كان يجب اتباعها.

بدلًا من ذلك، دعونا نحاول طرح معادلة من الأخرى. وبما أن معامل المتغير الآخر، أي ﺃ، أكبر في المعادلة رقم اثنين منه في المعادلة رقم واحد، سأحاول طرح المعادلة رقم واحد من المعادلة رقم اثنين. في الطرف الأيمن، أربعة ﺃ ناقص ثلاثة ﺃ يعطينا ﺃ. ثم لدينا اثنان ﺏ ناقص اثنين ﺏ. إذن، يلغي كل منهما الآخر ليساوي صفرًا. وفي الطرف الأيسر، ١٦ ناقص ١٤ يساوي اثنين. ومن ثم، يصبح لدينا ﺃ يساوي اثنين. لقد حذفنا المتغير ﺏ. وفي الواقع، لقد أوجدنا قيمة ﺃ في الوقت نفسه. إذن، الطريقة الصحيحة لحذف أحد المتغيرين هي طرح معادلة من الأخرى. والسبب في ذلك هو أن معاملي المتغير الذي نحاول حذفه، أي حدي ﺏ، متطابقان في كلتا المعادلتين ولهما الإشارة نفسها.

وعلينا معرفة هذه القاعدة لمساعدتنا في الحل. وتنص أنه إذا كان لدينا الإشارتان نفساهما، فإننا نطرح. يجب أن نتذكر أن المهم هو إشارتا المتغير الذي نريد حذفه. ومن ثم، فإن حدي ﺏ هما ما يعنينا هنا. بما أن إشارتي حدي ﺏ متماثلتان، فقد حذفناهما بطرح معادلة من الأخرى.

والآن بعد أن أوجدنا قيمة ﺃ، علينا إيجاد قيمة ﺏ، وهو ما يمكننا فعله بالتعويض بقيمة ﺃ في أي من المعادلتين. لنختر المعادلة رقم واحد. لدينا ثلاثة مضروبًا في اثنين زائد اثنين ﺏ يساوي ١٤. أي ستة زائد اثنين ﺏ يساوي ١٤. وبطرح ستة من كلا الطرفين نحصل على اثنين ﺏ يساوي ثمانية. ثم نوجد قيمة ﺏ بقسمة طرفي المعادلة على اثنين؛ وهو ما يعطينا ﺏ يساوي أربعة.

إذن، توصلنا إلى حل المعادلتين الآنيتين وهو: ﺃ يساوي اثنين وﺏ يساوي أربعة. لكن علينا التحقق من إجابتنا، وهو ما يمكننا فعله بالتعويض بزوج القيم الذي أوجدناه في المعادلة الأخرى. وهي المعادلة رقم اثنين. بالتعويض بـ ﺃ يساوي اثنين وبـ ﺏ يساوي أربعة في الطرف الأيمن من المعادلة رقم اثنين نحصل على أربعة في اثنين زائد اثنين في أربعة. أي ثمانية زائد ثمانية، وهو ما يساوي ١٦، وهي القيمة التي في الطرف الأيسر من المعادلة رقم اثنين. إذن، يؤكد هذا أن الحل صحيح.

إذن، علينا تذكر أنه إذا كانت إشارتا المتغير الذي نريد حذفه متماثلتين، فإننا نطرح. وبالطبع، العكس صحيح أيضًا. إذا كانت إشارتا المتغير التي نريد حذفه مختلفتين، فإننا نجمع. وحل هذه المجموعة المكونة من معادلتين آنيتين والذي تحققنا منه هو ﺃ يساوي اثنين وﺏ يساوي أربعة.

والآن، في المثالين اللذين استعرضناهما حتى الآن، تمكنا من حذف أحد المتغيرين مباشرة بجمع أو طرح المعادلتين الأصليتين. لكن ربما نحتاج أحيانًا إلى خطوة إضافية قبل أن نفعل هذا، وهو ما سنراه في المثال التالي.

استخدم الحذف لحل المعادلتين الآنيتين: خمسة ﺱ ناقص أربعة ﺹ يساوي ٢١، أربعة ﺱ زائد ١٢ﺹ يساوي ٣٢.

إذن، مطلوب منا حل هذا النظام من المعادلات باستخدام طريقة الحذف، وهو ما يعني أننا نريد حذف إما المتغير ﺱ أو المتغير ﺹ بجمع المعادلتين أو طرحهما. لكن إذا حاولنا ذلك بالصورة الحالية التي عليها المعادلتان، فسنجد أنه في كلتا الحالتين ما يزال لدينا المتغيران ﺱ وﺹ في المعادلة المتبقية لدينا. إذا جمعنا، سيصبح لدينا المعادلة تسعة ﺱ زائد ثمانية ﺹ يساوي ٥٣. وإذا طرحنا، سيصبح لدينا المعادلة ﺱ ناقص ١٦ﺹ يساوي سالب ١١. فلم يساعدنا هذا في الواقع.

إذن، لماذا لم يصلح ذلك؟ حسنًا، لاستخدام طريقة الحذف، نبحث عن معاملين لأحد المتغيرين يكونان متماثلين في المعادلتين، أو على الأقل لهما المقدار نفسه مثل موجب وسالب ثلاثة. لكن في هذه المسألة، الأمر ليس كذلك. لدينا معامل ﺱ يساوي خمسة في المعادلة الأولى وأربعة في المعادلة الثانية. ولدينا معامل ﺹ يساوي سالب أربعة في المعادلة الأولى و ١٢ في المعادلة الثانية. لذلك، جمع هاتين المعادلتين أو طرحهما بالصورة الحالية لا يحذف أيًّا من المتغيرين.

لكننا نعلم من السؤال أن علينا استخدام طريقة الحذف. فماذا نفعل؟ حسنًا، ما سنفعله هو إعادة صياغة هاتين المعادلتين قليلًا بحيث يكون لدينا المعامل نفسه، أو على الأقل مقدار المعامل نفسه في أحد المتغيرين. ولتحقيق ذلك، نستخدم خاصية الضرب للمساواة، التي تنص على أنه إذا ضربنا طرفي المعادلة في القيمة نفسها، فسيظل التساوي صحيحًا. سنبحث عن قيمة يمكننا ضربها في معادلة منهما لنحصل بعد ذلك على المعامل نفسه، أو معامل له المقدار نفسه، لأحد المتغيرين في كلتا المعادلتين.

بالنظر إلى المتغيرين ﺹ في المعادلتين، نجد أن أربعة من عوامل العدد ١٢. لذلك، إذا ضربنا المعادلة رقم واحد في ثلاثة، فسنحصل على سالب ١٢ﺹ. ومن ثم، سيكون مقدار معاملي ﺹ هو نفسه في المعادلتين. دعونا نجرب ذلك. لنضرب المعادلة رقم واحد في ثلاثة. إذن، نضرب كل ما في المعادلة رقم واحد في ثلاثة، فنحصل على ١٥ﺱ ناقص ١٢ﺹ يساوي ٦٣. معاملا ﺹ في المعادلتين لهما الآن المقدار نفسه لكن بإشارتين مختلفتين؛ ما يعني أنه يمكننا حذف المتغيرين ﺹ بجمع المعادلتين معًا.

عندما نفعل ذلك، يصبح لدينا ١٥ﺱ زائد أربعة ﺱ، وهو ما يساوي ١٩ﺱ؛ وسالب ١٢ﺹ زائد ١٢ﺹ، وهو ما يساوي صفرًا؛ وفي الطرف الأيسر ٦٣ زائد ٣٢، وهو ما يساوي ٩٥. ومن ثم، نكون قد حذفنا المتغير ﺹ من المعادلتين، لنحصل على معادلة واحدة في ﺱ، والتي يمكننا حلها بقسمة الطرفين على ١٩. بذلك، نحصل على قيمة ﺱ. ‏ﺱ يساوي خمسة.

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة ﺹ بالتعويض بـ ﺱ يساوي خمسة في أي من المعادلات الثلاث، إما في المعادلتين الأصليتين أو المعادلة التي أوجدناها عند ضرب المعادلة رقم واحد في ثلاثة. سأستخدم المعادلة رقم اثنين لأن جميع المعاملات في هذه المعادلة موجبة. عند القيام بذلك، نحصل على أربعة في خمسة، وهو ما يساوي ٢٠، زائد ١٢ﺹ يساوي ٣٢. يمكننا بعد ذلك طرح ٢٠ من كلا الطرفين والقسمة على ١٢، لنحصل على ﺹ يساوي واحدًا. إذن، توصلنا إلى الحل؛ ﺱ يساوي خمسة وﺹ يساوي واحدًا. لكن بالطبع علينا التحقق من ذلك. سأختار التحقق بالتعويض بالقيمتين في المعادلة رقم واحد. وهي خمسة ﺱ ناقص أربعة ﺹ يساوي ٢١. بالتعويض بـ ﺱ يساوي خمسة، وبـ ﺹ يساوي واحدًا نحصل على خمسة في خمسة ناقص أربعة في واحد. أي ٢٥ ناقص أربعة، وهو ما يساوي بالفعل ٢١. إذن، هذا يؤكد أن الحل صحيح.

الخطوة الأساسية في حل هذا السؤال كانت ملاحظة أنه لا يمكننا حذف أي من المتغيرين بجمع المعادلتين أو طرحهما وهما بصورتهما الأصلية. بدلًا من ذلك، كان علينا أولًا ضرب معادلة واحدة في ثابت لتكوين معادلة مكافئة يكون فيها معامل ﺹ بالمقدار نفسه الذي عليه في المعادلة الثانية. حينئذ فقط يمكننا استخدام طريقة الحذف لحل هاتين المعادلتين الآنيتين.

قد لا يكون من الممكن دائمًا ضرب معادلة واحدة في ثابت. بدلًا من ذلك، قد نحتاج إلى ضرب كلتا المعادلتين في ثابتين مختلفين. دعونا نلق نظرة على مثال لذلك.

باستخدام الحذف، حل المعادلتين الآنيتين أربعة ﺱ زائد ستة ﺹ يساوي ٤٠ وثلاثة ﺱ زائد سبعة ﺹ يساوي ٤٠.

في المعادلتين المعطاتين، معاملا ﺱ مختلفان وكذلك معاملا ﺹ؛ ما يعني أنه لا يمكننا حذف أحد المتغيرين بجمع المعادلتين معًا أو طرحهما. ونلاحظ أيضًا أن أيًّا من معاملي ﺱ ليس من عوامل الآخر، ولا يمثل أي من معاملي ﺹ عاملًا للآخر. نريد إيجاد معادلتين يكون فيهما معاملا كلا المتغيرين متماثلين أو على الأقل متساويين في المقدار لكن بإشارتين مختلفتين. إذن، كيف سنفعل ذلك؟

حسنًا، علينا ضرب المعادلتين في ثابت ما. سأختار ضرب المعادلة رقم واحد في ثلاثة والمعادلة رقم اثنين في أربعة؛ لأن ذلك سينتج عنه ١٢ﺱ في كل معادلة. كان بإمكاننا أيضًا اختيار ضرب المعادلة رقم واحد في سبعة والمعادلة رقم اثنين في ستة؛ لأن ذلك سينتج عنه ٤٢ﺹ في كل معادلة. ولا يهم المتغير الذي نختار حذفه.

والآن، بعد أن أصبح لدينا معادلتان جديدتان، نجد أن لدينا ١٢ﺱ في كل منهما. وبما أن الإشارتين متماثلتان، فيمكننا حذف المتغير ﺱ بالطرح. سنطرح في الواقع المعادلة العليا من السفلى لأن معامل ﺹ أكبر في المعادلة الثانية. لدينا ١٢ﺱ ناقص ١٢ﺱ، فيلغي كل منهما الآخر؛ و٢٨ﺹ ناقص ١٨ﺹ، يعطينا ١٠ﺹ؛ و١٦٠ ناقص ١٢٠، وهو ما يساوي ٤٠. وبذلك نكون قد حذفنا المتغير ﺱ من المعادلة. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة ﺹ بقسمة طرفي هذه المعادلة على ١٠؛ ما يعطينا ﺹ يساوي أربعة.

لإيجاد قيمة ﺱ، نعوض بقيمة ﺹ هذه في أي من المعادلات الأربع. سأختار المعادلة رقم واحد. بذلك، نحصل مباشرة على معادلة خطية في ﺱ يمكننا حلها بطرح ٢٤ والقسمة على أربعة لنحصل على ﺱ يساوي أربعة. وهكذا توصلنا إلى الحل. كل من ﺱ وﺹ يساوي أربعة. كالمعتاد، يجب أن نتحقق من الحل بالتعويض بالقيمتين في أي من المعادلات الأخرى. لقد استخدمت المعادلة رقم اثنين. وتؤكد أن الحل صحيح.

إذن، الخطوة الأساسية في هذا السؤال كانت ضرب كلتا المعادلتين في عدد ما للحصول على المعامل نفسه لأحد المتغيرين. يمكننا بعد ذلك استخدام طريقة الحذف لحذف هذا المتغير وحل المعادلتين الآنيتين.

دعونا نراجع بعض النقاط الأساسية المستخلصة من هذا الدرس. هدفنا في هذه الطريقة هو حذف أحد المتغيرين بجمع المعادلتين أو طرحهما. إذا كان لمعاملا المتغير الذي نريد حذفه إشارتان مختلفتان، فإننا نجمع المعادلتين معًا. وإذا كانت الإشارتان متماثلتين، فإننا نطرح المعادلتين. ورأينا أيضًا أنه في بعض الحالات قد نحتاج لضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في ثابت قبل الجمع أو الطرح لحذف أحد المتغيرين.

بمجرد حذف أحد المتغيرين وإيجاد قيمة الآخر، علينا التعويض بهذه القيمة في إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة المتغير الذي حذفناه. وعلينا دائمًا أن نتحقق من إجابتنا بالتعويض بكلتا القيمتين في المعادلة التي لم نستخدمها عند إيجاد القيمة الثانية.