فيديو السؤال: جمع متجهين ثم إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمجموعهما في متجه ثالث الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان المتجه ﺃ يساوي سبعة ﺱ زائد اثنين ﺹ، والمتجه ﺏ يساوي سالب ﺱ زائد اثنين ﺹ، والمتجه ﺟ يساوي ستة ﺱ زائد ستة ﺹ، فأوجد حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺟ زائد ﺃ وﺏ.

في هذا السؤال، لدينا ثلاثة متجهات في بعدين بدلالة مركبتي ﺱ وﺹ لكل منها. علينا أولًا إيجاد مجموع المتجه ﺟ والمتجه ﺃ. بعد ذلك، علينا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لهذا المتجه والمتجه ﺏ. دعونا نبدأ بإيجاد مجموع المتجهين ﺟ وﺃ. هذا يساوي ستة ﺱ زائد ستة ﺹ زائد سبعة ﺱ زائد اثنين ﺹ. يمكننا إيجاد مجموع مركبتي ﺱ ومركبتي ﺹ كلًّا على حدة. ستة ﺱ زائد سبعة ﺱ يساوي ١٣ﺱ، وستة ﺹ زائد اثنين ﺹ يساوي ثمانية ﺹ، وبذلك يصبح لدينا المتجه ١٣ﺱ زائد ثمانية ﺹ.

علينا بعد ذلك إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لهذا المتجه والمتجه ﺏ. وهذا يساوي حاصل الضرب الاتجاهي لـ ١٣ﺱ زائد ثمانية ﺹ وسالب ﺱ زائد اثنين ﺹ. إننا نعلم أنه لأي متجهين ﻡ وﻥ في المستوى الإحداثي، حيث ﺱ وﺹ متجها الوحدة وﻡ يساوي ﻫﺱ زائد ﻭﺹ وﻥ يساوي ﺯﺱ زائد ﺡﺹ، فإن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﻡ وﻥ هو محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ ﻫ، ﻭ، ﺯ، ﺡ مضروبًا في متجه الوحدة ﻉ. هذا يساوي ﻫﺡ ناقص ﺯﻭ مضروبًا في متجه الوحدة ﻉ.

في هذا السؤال، علينا إيجاد قيمة محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين؛ ١٣، ثمانية، سالب واحد، اثنين. هذا يساوي ١٣ مضروبًا في اثنين ناقص سالب واحد مضروبًا في ثمانية، وبذلك يصبح لدينا ٢٦ زائد ثمانية. وبالضرب في متجه الوحدة ﻉ، نحصل على ٣٤ﻉ. إذن، إذا كان ﺃ يساوي سبعة ﺱ زائد اثنين ﺹ، وﺏ يساوي سالب ﺱ زائد اثنين ﺹ، وﺟ يساوي ستة ﺱ زائد ستة ﺹ، فإن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺟ زائد ﺃ وﺏ يساوي ٣٤ﻉ.